1005168_1 (540912)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

8.9. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 9sin 4ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; 3π4) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к.

в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π9, n = 3;π nϕ94nϕ9sin4sind=sin4sind=ϕϕϕϕ∫03π3π ∫00, n ≠ 3.4ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 9r 4 ⋅ sin 4ϕ .113.9. Решить смешанную задачу.U tt = 16U xx ; U ( x, 0 ) = 9sin 9π x, U t ( x, 0 ) = 0;U ( 0, t ) = 0, U x ( 4,5; t ) = 0..Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к. в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим2An =4,54,5∫ 9sin 9π x sin0(π + 2π n ) x dx =9π + 2π n 4,5π + 2π n ) x(189π = 9, n = 40;=sin9xcosdx=π9=4,5 ∫09⇒ n = 40 0, n ≠ 40.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = 9cos36π t sin 9π x .28.1.

Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = sin 6ϕ , U ( r ; 0 ) = U r ; π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля. Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ ( 0 ) = Φ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = sinπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) sin0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π1, n = 2;π nϕ1sin6sind=sin6sin3nd=ϕϕϕϕϕ∫0ππ ∫00, n ≠ 2.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = r 6 ⋅ sin 6ϕ .313.1.

Решить смешанную задачу.U tt = 4U xx , U ( x; 0 ) = sin 9π x, U t ( x; 0 ) = 0,U ( 0; t ) = 0, U x ( 0,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ( 0 ) = X ′ ( l ) = 0 , тоX n = sin(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) sinl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0sinBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим0,5(π + 2π n ) x dx =2πAn =sin9xsin0,5 ∫010,59π = π + 2π n  1, n = 4;2πππ=x+nxdx=sin9cos2()=∫0,5 0⇒ n = 4 0, n ≠ 4.Bn = 0ПолучилиU ( x; t ) = cos18π t sin 9π x .48.14. Найти решение уравнения Лапласа ∆U = 0 в круговом секторе 0 < r < 1 ,0 < ϕ < α ( r , ϕ – полярные координаты, α < 2π ), на границе которого искомаяфункция U ( r ;ϕ ) удовлетворяет следующим условиям:(U (1; ϕ ) = 14cos3ϕ , U ϕ ( r ; 0 ) = U ϕ r ; 4π3) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( r ; ϕ ) = ∑ Rn ( r ) Φ n (ϕ ) ,n =1где Φ n (ϕ ) – собственные функции задачи Штурма-Лиувилля; Rn ( r ) = Cn r n ;λλn –собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.

Т.к. в данном случае граничные условиядля задачи Штурма-Лиувилля примут вид Φ′ ( 0 ) = Φ′ (α ) = 0 , тоΦ n (ϕ ) = cosπ nϕπn, λn =ααи1Cn =π Rn2π∫ U ( R; ϕ ) cos0π nϕdϕ .αНаходим1Cn =π ⋅ 1n2π2π14, n = 4;π nϕ143nϕϕϕϕϕ14cos3cosd=cos3sind=∫04ππ ∫040, n ≠ 4.3ПолучилиU ( r ; ϕ ) = 14r 3 ⋅ cos3ϕ .513.14. Решить смешанную задачу.U tt = 25U xx ; U ( x, 0 ) = 14cos3π x, U t ( x, 0 ) = 0;U x ( 0, t ) = 0, U (1,5; t ) = 0.Общее решение данного уравнения:∞U ( x; t ) = ∑ Tn ( t ) X n ( x ) ,n =1гдеX n ( x)собственные–функциизадачиШтурма-Лиувилля;Tn ( t ) = An cos aλnt + Bn sin aλnt ; λn – собственные числа задачи Штурма-Лиувилля.Т.к.

в данном случае граничные условия для задачи Штурма-Лиувилля примут видX ′ ( 0 ) = X ( l ) = 0 , тоX n = cos(π + 2π n ) x , λ2ln=π + 2π n2lиl(π + 2π n ) x dx ,2An = ∫ U ( x; 0 ) cosl 02ll(π + 2π n ) x dx4;0cosBn =Ux()2l(π + 2π n ) a ∫0 tНаходим1,5(π + 2π n ) x dx =2An =14cos3xcosπ1,5 ∫03π + 2π n 1,5π + 2π n ) x(283π = 14, n = 4;=cos3xcosdx=π3=1,5 ∫030, n ≠ 4.⇒ n = 4Bn = 0 .ПолучилиU ( x; t ) = 14cos15π t cos3π x .6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания