876503 (540782)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ч _ 2 _16 _ 03n m47опыт состоит из последовательного брасания монеты (n + m) раз.Очевидно, что1) каждое бросание монеты событие независемое2)вероятность выпадения герба или цифры при каждом бросании 1/ 2интересующие нас событие состоится, если осуществятся одновременнодва взаимно независемых события :А = {при первых ( n + m − 1) бросках герб выпадет ровно (n − 1) раз}B = {при последнем броске выпадает герб}Очевидно, что по биномиальному распределениюn −1m101111P( A) = C⋅   ⋅   = C103 ⋅   , а P( B ) =2222т.к. события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1  1 10!  1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 5.85% 2  2 3!⋅ 7!  2 1031011Ч _ 2 _18 _ 03n n115 2n22p1p20.15 0.15n3 = n − n1 − n2 = 11p3 = 1 − p1 − p2 = 0.7A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша.

Причем эти события попарно несовместны. Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!15!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.152 ⋅ 0.152 ⋅ 0.711 = 8.19%2!⋅ 2!⋅ 11!n1!⋅ n2!⋅ n3!Ч _ 2 _ 20 _ 03np k1 k2100 0.8 70 95т.к. n достаточно велико, воспользуемся приближенной формулой , основанной наинтегральной теореме Муавра − Лапласа. x = x( k1 ) = −2.5k − npk − np=⇒ 1npqn ⋅ p ⋅ (1 − p ) x2 = x( k2 ) = 3.75Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )x=Pn ( k1 ; k2 ) = 0.499 + 0.493 = 99.37%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа (таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_3Дана плотность распределения вероятностей p ( x) .

Найти: γ , математическоеoжидание M ξ , дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 .1)2)3)1/(γ −1.5),p ( x) = 0,2.51x∫1.5 γ − 2.5 dx = 1 ⇒ γ − 1.5Mξ =+∞2.5−∞1.5∫ xp( x)dx = ∫x ∈ [1.5; 2.5]2.51.5=1⇒xdxx2=⋅2.5 − 1.52Dξ = M ξ − ( M ξ ) =22x1 = 2.x2 = 2.3x ∈ [1.5; 2.5]2.5∫1.52.5 − 1.5= 1 ⇒ γ = 2.5 .γ − 1.52.5= 2.

.1.5x2x3dx − 22 = ⋅2.5 − 1.532.5−4=1.51(15.625 − 3.375) − 4 =312.250.25 1=−4==.3312x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ 1.5F ( x) = 01.5 < x ≤ 2.5 F ( x) =∫1.5припоэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞1dx = x2.5 −1.5x1.5= x − 1.5 .x > 2.5 F ( x) = 1 .5)P ( 2 < ξ < 2.3 ) = F (2.3) − F ( 2 ) = 2.3 − 2 = 0.3 , т.к. числа x1 , x2принадлежат интервалу ( 1.5; 2.5].Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .23a = −2 , b = −8 , c = 2 , x1 = − , x2 = −1 , p ( x) = γ e − 2 x − 8 x + 22Ч_2_22_3+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 2 x2 − 8 x + 2dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞−2x∫ γeПолучаем:2∫e2π ⋅ σ−8 x + 2dx = γ−∞=+∞1+∞∫e−( x − a )2при σ = 0.5− 2 x2 − 8 x + 2+∞dx = γ∫e−∞Mζ =2)∫ x⋅−∞+∞2+∞γ e10 ⋅ 2π ⋅ 0.5 .22+∞22Dζ = M ζ 2 − ( M ζ ) 2 =3)2+∞∫x22⋅2==2π+∞22π=делаем замену переменнойt = x + 2 Тогда dt = dx+∞2 − 2 t2( ∫ (t e−∞+∞dt − 4 ∫ t e− 2 t2dt + 4−∞+∞∫22πe − 2 ( x + 2) .=t2+∞2π ⋅ 0.5) = − 2 .e− 2 ( x + 2 ) dx − ( − 2 )2 =+∞22π2 − 2 t2∫ (t − 2) edt − 4 =−∞ используем результаты вычис −= ления интегралов из пункта 2e − 2 t dt ) − 4 =2−∞( ∫ t 2 e − 2 t dt − 4 ⋅ 0 + 4 ⋅ 2π ⋅ 0.5) − 4 .2−∞u = t,Используем метод интегрирования по частям:v = ∫ te− 2 t dt = ∫ te − 2 t22du = dt ,dv = te− 2 t dt ,22d ( − 2t 2 )1= − e− 2 t .− 4t4+∞2222111Dζ =( − lim te − 2 t + lim te − 2 t + ∫ e− 2 t dt + 4 2π ⋅ 0.5) − 4 =x→+∞x→−∞4442π−∞2 11=( ⋅ 2π ⋅ 0.5 + 4 ⋅ 2π ⋅ 0.5) − 4 =42π 44)Функция Лапласа есть−1Φ ( x) =12πx∫e−t 2 / 2dt .Получаем:0−12 − 2 ( x + 2 )23P (−< ζ < −1 ) = ∫ p ( x)dx = ∫edx = t = ( x + 2) ⋅ 2 =22π−3 / 2−3 / 221 − t2 / 2edt = Φ( 2 ) − Φ( 1 ) = 0.4772 − 0.3413 = 0.1359 .2π1При этом значение Ф( 2 ), Ф( 1 ) нашли по таблице.=∫x5)222π−∞=e − 10 .

Тогда p ( x) =−2d ( − 2t 2 )⋅− 2 ∫ e 2( 0.5 ) dt ) =− 4t−∞( ∫ te − 2 t dt − 2 ∫ e − 2 t dt ) =( ∫ te − 2 t2π −∞2π−∞−∞22 согласно 211=( − lim e − 2 t + lim e − 2 t − 2 ⋅ =(2)4 x →+∞4 x →−∞2π=2dx =2πДелаем замену переменнойt = x+2. Тогда dt = dxe − 2 ( x + 2) dx = 2π2− 2 ( x + 2 ) 2 + 10−∞Согласно (1) получаем γ e10 ⋅ 2π ⋅ 0.5 = 1 ⇒ γ =+∞(2)−∞+∞210=γee − 2 ( x + 2 ) dx =∫−∞используем (1)dx = 12σ 2Функция распределения F ( x ) равна:F ( x) =∫−∞xp ( x) dx =∫−∞22e − 2 ( x + 2) dx .2π=ξ . Найти плотностьДана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_03распределенияpη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной ξ .x ∈ [ a; b]x ∈ [ 2; 3] 1/(b − a) 1;pξ ( x) = ,a = 2, b = 3, pξ ( x) = ,0x ∈ [ a; b ]x ∈ [ 2 ;3] 03, причем ξ ≥ 0 . Значит, функция η является4монотонно возрастающей.

Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,(1)Решение. 1. Площадь треугольника равна: η = ξ 2 ⋅где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = x 2x=4y3= 2 y / 4 3 = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) =pη ( y ) = pξ [2 y43]⋅1y⋅ 34=1.y⋅431 /( y ⋅ 4 3) ,pη ( y ) = , 02.3.Согласно формулеDη =Mη =3−∞222∫ [ϕ ( x) − Mη ] pξ ( x)dx = ∫ ( x−∞=2533 x 38 x 361( −+x)16 59932=.

Подставляя в (1), получаем:y ∈ [ 3; 9 3 / 4] . В итогетоy ∈ [ 3; 9 3 / 4]2∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = ∫ x3y⋅43y ∈ [ 3; 9 3 / 4]+∞+∞12 ≤ x ≤ 3,Т.к.3= ϕ ( x) ⇒ при x ≥ 04.33 x3⋅ 1 dx =⋅44 333=219 3.1233 19 3 2319338361−) dx = ∫ (x 2 − ) 2 dx = ∫ (x 4 − x 2 +) dx =41216 2316 2393 211 722 3613 211 361 141(−+)= (−)== 0.3917 .16 59916 59360Ч_2_27_03Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x ) . Найтиплотность распределения вероятностейpη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .1 π ,pξ ( x) = 0 ,x ∈ (−x ∈ (−π2π2π;2π;2),η=ξ .).Решение.Функция y = x = ϕ ( x)монотонна на интервале ( −∞; 0) и монотонна наинтервале (0; + ∞) .Поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ (Ψ1 ( y )) ⋅ Ψ1 '( y ) + pξ (Ψ 2 ( y )) ⋅ Ψ 2 '( y ) ,(1)где x = Ψ1 ( y ) - функция, обратная функции y = x , x ∈ ( −∞; 0) , а x = Ψ 2 ( y ) обратная функция для y = x , x ∈ (0, + ∞) .

Находим x = Ψ1 ( y ) и x = Ψ 2 ( y ) :приx<0y = x = − x ⇒ x = − y = Ψ1 ( y ), Ψ1 '( y ) = −1 ;приx≥0y = x = x ⇒ x = y = Ψ 2 ( y ), Ψ 2 '( y ) = 1 .при этом y ≥ 0 .Получаем в итоге :а) при y ≤ 0pη ( y ) = 0 , т.к. pη ( y ) = Fη '( y ) , аFη ( y ) = ∑∫pξ ( x)dx, где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенствоk ∆k ( y )ϕ ( x) < y . У нас ϕ ( x) = x ≥ 0 , поэтому при y ≤ 0 неравенство x < y не выполняется.Значит, Fη ( y ) = 0, pη ( y ) = 0 .b) при y ∈ ( 0, π/2 ) по формуле (1)с)приy≥( у насπ2y≥pη ( y ) =1π⋅ −1 +1π⋅1 =2π,pη ( y ) = 0 , т.к. неравенство ϕ ( x) < y ⇒ x < y выполняется всегдаπ2, x<π2).Значит, Fη ( y ) = 1 ⇒ pη ( y ) = Fη '( y ) = 0 .Плотность распределения случайной величины η равна: 2 ,pξ ( x) =  π 0 ,x ∈ (0;x ∈ (0;π2π2).)Ч_2_28_03По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 . 0.5 ,p1 ( x) =  0 ,x ∈ [−1;1].x ∈ [−1;1]Решение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y ) = ∑k∫∆k ( y )(1)p1 ( x) dxгде ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .

Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. 0 , ξ1 < −1Из условий примера следует, что ξ 2 =  2 , ξ1 ∈ [−1;1] . 0, ξ > 11Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения только из отрезка [ 0;2]a) y < 0. Неравенство ϕ ( x) < y не выполняется. Поэтому F2 ( y ) = 0 .b) y=0. Тогда P (ξ 2 = 0) = 0 , т.к. вне отрезка [-1;1] p1 ( x) = 0 .c) 0 < y ≤ 2. Тогда F2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = 0 .11d) y=2.

Тогда P (ξ 2 = 2 ) = P ( −1 ≤ ξ1 ≤ 1) = ∫ 0,5dx = 0, 5 | = 1 = p1 .−1−1e) y>2. Тогда F2 ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда .0 , y ≤ 2Таким образом F2 ( y ) = 1, y > 2График функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk - скачки 1,функции в точках yk . При этом η ( y ) =  0,y>0y≤0, η ' ( y ) = δ ( y ) − дельта - функцияФормула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 1 ⋅ η ( y − 2 ) = η ( y − 2 )Где напрерывная часть есть F% ( y ) = 0 .2nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) ,находим плотность распределения: p2 ( y ) = δ ( y − 2 )(3).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания