1625913952-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (532682), страница 5
Текст из файла (страница 5)
По смыслу самого определения наши ячейки у конечны. Но с макроскопической точки зрения их можно считать бесконечно малыми; обозначим их объем через а3 де1 сЦ. Тогда при образовании средних значений можно будет заменить суммы интегралами ;)~й "-. ~~ ~ ~Цс(ис(ь,, где пределами каждого интеграла будут — аа и +аа. В дальнейшем мы будем интересоваться только средними значениями величин о, иа, ...
Я, е1 и Ь исчезают, что ясно из соображений симметРии, а Д туг, ькй='/зУ), поэтомУ поДЫНтеГРальиые выражения в каждом вычисляемом интеграле будут зависеть только от о, что побуждает нас ввести сферические координаты в пространстве скоростей, приняв э за радиус. Интегрирование по углам проводится сразу и дает множитель 4п — поверхность Га. т, Киивгиавскаи теории гавое единичной сферы.
Поэтому ОЭ ~~~ Цвчк ...=4 )т етао .... е Полное число молекул п получают нз распределения Больцмана, вычисляя интеграл а=4яА ) оае-Зтс "'птг, е а полную энергню — вычисляя интеграл Е=4пА ~ -~-осе-~Йт о*сго. о Этн два уравнения однозначно определяют две постоянные А Фнг. 5. Максаеааово распределение но екороствм. уксааки каааоаса асроаткаа ско. рость (о ), срсаааа скорость (о1 к сроаааа коаарвтачааа иссрость р от. н Р, которые доснх пор оставались неизвестными. Интегралы легко берутся (см. приложение 1) н приводят к соотношениям = ~'Ж)' 1 =Ф) З /йс з и зи Е=алгАУ' ьт Т ь з р ' Но мы уже видели ($4 этой главы), что в среднем кннетнческая энергия молекулы (соответственно наличию у нее трех поступательных степеней свободы) составляет 5а йТ; поскольку отсюда следует, что кинетическая энергия всего газа равна а1а плТ, то мы полУчаем 1 В= у.
Итак, постоянные в законе Больцмана выражаются через число молекул газа н нх абсолютную температуру. р Е. Закон риснрсдслсния не анарсиям и скоростям 2$ Найдем теперь число молекул, имеющих скорости в интервале от с до а+асс. Это число пасЬ, очевидно, дается подынтегральным выражением в записанном выше интеграле для п: и = 4яАе-дчсттз= 4ярй (-~ — ) е- очтйгчтт. яа ччй о — Бау) Это соотношение известно как максвеллоео распределение молекул по скоростям (Максвелл, 18БР г.); график зависимости м, от о приведен на фиг. 5. Чтобы получить представление о порядке величин скоростей, с которыми движутся молекулы газа, можно, пользуясь законом распределения, вычислить наиболее вероятную скорость И насосу Ф иг. 6.
Схема иелучеиив молекулярного пучка. Пачь о, в которой вадодвтсв таа, водотраааетсв сварумв. Л софра Пень 0 ср, среднюю скорость с или другую подобную среднюю величину (см. приложение 1). Например, для наиболее вероятной скорости мы получим так что, скажем, для молекулярного водорода (1а* 2) при 0'С (Т 273' К) тт = 15.06 ° 10а см~сек. Экспериментальную проверку распределения Максвелла можно осуществить следующим образом.
Пусть газ при определенной температуре Т помещен з печь О, в стенке которой имеется отверстие, позволяющее молекулам газа вылетать и трубку, откачанную до высокого вакуума (фнг. Б). Вылетающая из отверстия молекула движется в вакууме прямолинейно с той скоростью, которую она имела в момент вылета. С помощью Гя. К Кинетическая теория газов системы диафрагм из потока молекул, распространяющихся во всех направлениях, можно вырезать молекулярный луч (Дюнуайе, 1911 г.), Распределение скоростей в луче (илн лучке) может быть непосредственно измерено.
Для этого существуют различные методы, наиболее важные нз которых мы сейчас опишем. Надо только, если мы хотим получить нз этого распределения распределение по скоростям в газе; заключенном в замкнутый сосуд, иметь в виду, что в пучке доля быстрых молекул больше, чем в газе. В самом деле, луч образован всеми молекулами, вылетающими из отверстия за единицу времени, н число нх (5 3 этой главы) пропорционально н,Ыо, в то'время как в газе число молекул, скорости которых лежат в тех же пределах, составляет н,йэ. Таким образом, два распределения отличаются друг от друга множителем о. Прямой метод измерения скорости в пучке (Штерн, 1920 г.) основан на следующей' идее. Пучок, состоящий, к примеру, нз атомов серебра, легко обнаружить, поместив на его пути стеклянную пластинку, на которой будет осаждаться серебро.
Если теперь прибор вращать вокруг оси, перпендикулярной пучку, то молекулы будут осаждаться не в одной и той же точке, как в случае неподвижной пластинки, а на большем нли меньшем расстоянии от этой точки в зависимости от своей скорости, так как за время пролета от печки до пластинки вся трубка, а вместе с ней н пластинки повернутся на некоторый угол. Распределение скоростей в пучке можно непосредственно определить, измерив плотность осадка в зависимости от расстояния до первоначального пятна. Более современный способ основывается на том же принципе, который применил Физо (1849 г.) для измерения скорости света,— именно на использовании системы вращающихся зубчатых колес. Мы не будем вдаваться в подробности этого метода.
Измерения, проведенные в основном Штерном и его учениками, показали, что распределение по скоростям для молекул в замкнутом сосуде действительно удовлетворяет закону Максвелла. В другом методе используется эффект Допплера (1842 г.): когда молекула, в состоянии покоя излучающая свет некоторой частоты тс, движется в направлении к наблюдателю с относительной скоростью о„частота света, принимаемого наблюдателем, оказывается смещенной в сторону высоких частот, именно равной те(1+о,/с); прн движении молекулы з противоположном направлении соответствующий коэффициент равен (1 — о,/с). Непосредственное подтверждение этого эффекта дал Штарк (1905 г.) при помощи канаяоеых лучей (гл.
П, 5 2), т. е. пучка быстрых положительных ионов водорода. В спектре э 7. Алана ееаводиоео «робееа излучения светящегося газа присутствует не только основная частота ~,„но н все другие частоты, получающнеся нз т9 вследствие эффекта Допплера, вызванного движением молекул. Прн этом интенсивность излучения на определенной частоте пропор. циональна числу молекул, имеющих одно и то же значение компоненты скорости в направлении к наблюдателю. Поэтому каждая спектральная линия имеет конечную ширину, а распределение интенсивности в пределах одной линии непосредственно иллюстрирует максвеллово распределение. ф У. Ялама свободного аробвга Мы говорили выше о молекулярном луче. Он состоит из молекул, которые прошли через систему диафрагм и пролетают узким пучком в откачанной.
трубке. При этом необходимым условием является высокий вакуум. Если, однако, в трубке все же остались частицы газа (нз тех же нлн каких-либо других молекул), то часть молекул пучка — ббльшая нли меньшая в зависимости от давления — будет сталкиваться с молекуламгг газа н в результате рассеиваться. Соответственно молекулярный пучок по мере увеличения пройденного пути будет ослабевать, причем ясно, что по экспоненциальному закону, так как число актов рассеяния пропорционально числу молекул в пучке. Поэтому если обозначить через л(з) число молекул пучка, которые, пройдя путь з от отверстия в печи, пересекают за единицу времени плоскость, перпендикулярную к направлению пучка„ то мы получим зависимость вида и(з)=н(0) е-'з.
Здесь 1 — величнна, имеющая размерность длины (ее определение будет дано ниже). Простое рассуждение показывает, что эта величина равна длине пути, который в среднем проходят молекула пучка, прежде чем столкнуться с молекулой окружающего газа. В самом деле, положив 1/1=11, получим для этого среднего пути ОЭ ~ за(з) ее З~ ее з'ез о 3= СО О~Э л(з) ие З) в а~ее о — — 1п„~ е-з'бе~= — — ()п-1= — (1п р) = — =1 о Гя. 1.
Кииетиеесиия теория лаана Поэтому мы назовем 1 средней длиной свободного пробега для пучка молекул в газе (Клаузиус, 1858 г.). Боры н Борман (1921 г.) показали, как можно найти эту величину, основываясь на том, что она, по определению, фигурирует в экспоненциальном законе. Они предложили измерять уменьшение интенсивности пучка атомов серебра по мере прохождения пучка сквозь покоящийся газ (воздух).
Более важен, однако, случай, когда и пучок, н газ состоят из одинаковых молекул. Тогда. средняя длина свободного пробега является характеристикой самого гааа. В вопросе о величинах, от которых зависит средняя длина свободного пробега, можно разобраться теоретически. Ясно, что она определяется числом соударений, испытываемых данной молекулой прн движении в газе, Остальные молекулы газа Фнт. 7. Эффективное тааокинетическое сечении рассаииин Пав столквовавкв вектрм масс лаут олквакоамк молекул ве могут солвавтеск аолаиа там ва расставвве в(в реево лмкметру моаекулмЬ можно считать неподвижными — результат от этого практически не изменится.
Допустим, что каждая молекула представляет собой шарик диаметра о, и выясним, сколько соударений испытывает такой шарик, двигаясь в газе, состоящем из таких же, но неподвижных шариков. Так как соударение происходит каждый раз, когда центр движущейся молекулы приближается к центру неподвижной на расстояние меньше су, то число соударений можно найти, рассматривая движение точки че. рез систему покоящихся шаров, для которых а — радиус, а не диаметр (фнг. 7). Таким образом, мы пришли н той же задаче, какую решает стреляющий из ружья в лесу человек, пожелав узнать, сколько деревьев заденет его пуля. Ясно, что это число пропорционально толщине каждого отдельного дерева и количеству деревьев на единице площади. Ясно также, что величина, обратная числу задетых деревьев, определяет среднюю дальность полета пули.
Так же н в случае газа — число соударений должно быть пропорционально количеству п молекул газа в единице объема и их (газокннетнческому) эффективному сечению поа. Поскольку средняя длина свободного пробега обратно пропорциональна этому числу соударений, то она прямо про- д д. Овргдеягмие число Авогадро порциональна величине где У в объем одного моля газа. Поэтому измерение средней длины свободного пробега 1 позволает сУдить о величине пРоизведениЯ Мгоа. ПРЯмой метод определения 1 (для пучка чужеродных молекул) уже был описан выше. Из косвенных методов необходимо прежде всего отметить метод, предложенный Максвеллом (1860 г.) и основанный на явлении теплопроводности в газе (см.
приложение 2, стр. 366). Если бы молекулы газа не сталкивались друг с другом, то повышение температуры в какой-либо части объема газа (т. е. увеличение кинетической энергии частиц) распространялось бы в газе с той огромной скоростью, с которой движутся его молекулы, скажем порядка тысячи метров в секунду. Но, как показывает эксперимент, газы — сравнительно плохие проводники тепла. Причина состоит в том, что молекула может пролететь в газе лишь сравнительно небольшое расстояние— порядка длины свободного пробега. Затем она столкнется с другой молекулой и при этом не только изменит направление движения, но и передаст другой молекуле часть своей энергии. Другие методы определения 1 основаны на изучении вязкости и диффузии (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
