Math.an.I (532676), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Арифметические операции над непрерывными функциями.Теорема. Сумма функций, непрерывных в точке x0, есть функция непрерывная вэтой точке.Доказательство. Пусть функции f ( x ) и g ( x) , определенные в некоторойокрестности точки x0 непрерывны в этой точке. По определению непрерывности (перваяформулировка) это означает, что lim f ( x)  f ( x0 ) и  lim g ( x)  g ( x0 ) .x  x0x x0Значение функции  ( x )  f ( x)  g ( x ) в точке x0 очевидно равно  ( x0 )  f ( x0 )  g ( x0 ) .В силу теоремы о пределе суммы, существуетlim  ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  f ( x0 )  g ( x0 )   ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции  ( x ) в точке x0 .Теорема доказана.Очевидно, что эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.Аналогично доказываются две следующие теоремы.Теорема. Произведение функций, непрерывных в точке x0, есть функциянепрерывная в этой точке.Следствие.

Произведение непрерывной функции на число – функция непрерывная.Действительно, число (т.е. постоянная) есть функция непрерывная на R .Теорема. Частное двух функций непрерывных в точке x0 есть функциянепрерывная в этой точке, при условии, что делитель (функция, стоящая в знаменателе) неравен нулю.§4. Переход к пределу под знаком непрерывной функции.

Непрерывность сложнойфункции (композиции функций).Теорема. Пусть функция z  g ( y ) непрерывна в точке y0 , а функция, y  f ( x )имеет конечный предел при x  x0 равный y0 : lim f ( x)  y0 .x x0Тогда lim g ( f ( x))  g ( lim f ( x))x  x0x  x0Доказательство.Поскольку g(y) непрерывна в точке y0,46 lim g ( y)  g ( y0 ) .y  y0По условию теоремы, существует такжеlim f ( x)  y0 . Но, по теореме о пределе сложной функции, из этих двух фактов вытекает,x x0что lim g ( f ( x))  g ( y0 )  g lim f ( x) .x  x0x  x0Теорема доказана.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y  f ( x )непрерывна в точке x0 , а функция g ( y ) непрерывна в точке y0 , причем y0  f ( x0 ) . Тогдасложная функция F ( x )  g ( f ( x)) непрерывна в точке x0 .Доказательство. Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0Но, в силу предыдущей теоремы, lim F ( x)  lim g ( f ( x))  g lim f ( x)  g ( f ( x0 ))  F ( x0 ) ,x  x0x  x0x  x0что и означает непрерывность функции F ( x )  g ( f ( x)) в точке x0 .Теорема доказана.§5.

Локальные свойства функции, непрерывной в точке.Теорема. Если функция f ( x ) непрерывна в точке x0 и f ( x0 )  0 , то существуетокрестность u ( x0 ) , в которой знак функции совпадает с ее знаком в точке x0 .Доказательство. . Поскольку функция f ( x ) непрерывна в точке x0 , lim f ( x)  f ( x0 ) .x  x0В силу теоремы о сохранении функцией знака предела, существует окрестностьu ( x0 ) , в которой знак функции совпадает со знаком f ( x0 ) .Теорема доказана.Данная теорема проиллюстрирована на рис.

4. Очевидно, что раз непрерывная функцияположительна в точке x0 , то она останется положительной и в некоторой (хотя бы малой)окрестности этой точки.Рис. 4. Иллюстрация сохранения знака непрерывной функцией.47Теорема. Функция, непрерывна в точке x0, локально ограничена в этой точке.Справедливость этой теоремы вытекает из теоремы о локальной ограниченности функции,имеющей предел и определения непрерывности. Доказательство опустим.Лекция 7§1. Непрерывность функции на промежутке.Опр.

Функция f ( x ) , определенная на интервале (a, b) называется непрерывной наэтом интервале, если она непрерывна в каждой его точке.Опр. Функция f ( x ) , определенная на полуинтервале [a, b) , называетсянепрерывной на этом полуинтервале, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. правосторонне непрерывна в точке a .Опр. Функция f ( x ) , определенная на полуинтерваленепрерывной на этом полуинтервале, если она1.

непрерывна на интервале (a, b) ;2. левосторонне непрерывна в точке b .( a, b] ,называетсяОпр. Функция f ( x ) , определенная на отрезке [a, b] , называется непрерывной наэтом отрезке, если она1. непрерывна на интервале (a, b) ;2. правосторонне непрерывна в точке a .3. левосторонне непрерывна в точке b .Пример. Функция y  1  x 2 непрерывна на отрезке x  [1,1] .Класс (множество) функций, непрерывных на промежутке X обозначается C ( X ) .Соответственно, факт непрерывности функции на промежутке X можно записать в виде:f ( x )  C ( X ) . Например, если функция непрерывна на интервале (a, b) , то f ( x)  C (a, b) .§2. Непрерывность элементарных функций.Справедлива следующая теорема.Теорема.

Основные элементарные функции непрерывны в области определения.Эта теорема доказывается для каждой из основных элементарных функций (степенной,показательной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических)по отдельности, на основе определения непрерывности функции в точке.В качестве примера, докажем, что функция y  sin x непрерывна на R .

Очевидно,что она является непрерывной в точке x  0 : lim sin x  sin 0  0 , т.е. при x достаточноx0близких к нулю, значения этой функции будут сколь угодно близки к нулю. Рассмотримпроизвольную точку x0  R . Приращению x аргумента в этой точке отвечаетприращение функции48y  sin( x0  x )  sin x0  2sinxx cos( x0  ) .22x) ограничена на R :2x| 2cos( x0  ) | 2 ,2xа функция sin– б.м. при x  0 , по теореме о пределе сложной функции и в силу2того, что lim sin x  0 . По теореме о произведении б.м.

функции на локальноФункция 2cos( x0 x0ограниченную, y  0 при x  0 , а последнее и означает непрерывность функцииy  sin x в точке x0 . В силу произвольности выбора точки x0 , функция y  sin xнепрерывна на R .Как уже говорилось в лекции 2, элементарной функцией называется любаяфункция, полученная из основных элементарных функций и постоянных с помощьюарифметических операций (сложения, умножения и деления), а также композиции(построения сложной функции).Теорема.

Элементарные функции непрерывны в области определения.Справедливость этой теоремы очевидна из предыдущей теоремы и теорем онепрерывности суммы, произведения, отношения и композиции непрерывных функций. Вкачестве примера докажем непрерывность многочлена.Многочлен Pn ( x)  c0  c1 x  ...  cn x n определен на R . Покажем, что он непрерывен наR .

Очевидно, что постоянная y  c есть непрерывная на R функция: для любого x  R идля любого xy  c  c  0 ,а следовательно при x  0 y  0 .(Впрочем, для того чтобы убедиться в непрерывности постоянной, достаточно изобразитьее график).

Функция y  x тоже непрерывна на R :y  x , следовательно, при x  0 y  0 .Функция y  x 2  x  x непрерывна на R , как произведение непрерывных функций.Следовательно, непрерывна и функция y  x 3  x 2  x и т.д., вплоть до функцииy  x n  x n 1  x . Функции y  ck  x k ( k  0,1,..., n ) тоже непрерывны на R , какпроизведения двух непрерывных функций. Наконец, многочлен Pn ( x) непрерывен на R ,как сумма непрерывных функций.Теорема о непрерывности элементарных функций играет важнейшую роль длявычисления пределов. Действительно, именно из нее по определению непрерывностиследует, что если элементарная функция y  f ( x ) определена в точке x0 , тоlim f ( x)  f ( x0 ) , чем мы постоянно пользуемся при вычислении пределов, заменяяx  x0предел функции на ее значение в предельной точке (см.

лекцию 3). Например,tgxsin xsin x1lim lim lim lim 11  1 .x0 xx  0 x cos xx 0x0xcos xsin x1lim 1 , как первый замечательный предел, а lim 1 , поскольку значение этойx0x0xcos xфункции в предельной точке равно единице.49§3. Классификация точек разрыва.Опр. Пусть функция f ( x ) определена в некоторой проколотой окрестности точкиx0 . И пусть она непрерывна в любой точке этой окрестности, но не является непрерывнойв самой точке x0 . В этом случае, точка x0 называется точкой разрыва функции f ( x ) .При классификации точек разрыва, будем отталкиваться от второй формулировкиопределения непрерывности функции в точке:функция f ( x ) называется непрерывной в точке x0 , если существуют оба одностороннихпредела данной функции в этой точке, причемlim f ( x )  lim f ( x )  f ( x 0 ) .x  x0 x  x0 Выделим несколько случаев нарушения указанных условий.Опр.

Если x0 – точка разрыва функции f ( x ) , но существуют (конечные) пределыlim f ( x )  f ( x 0  ) и lim f ( x)  f ( x0 ) ,x  x0 x  x0 точка x0 называется точкой разрыва первого рода.Можно выделить два подкласса таких точек разрыва.Опр. Если f ( x0  )  f ( x0 ) , точка разрыва первого рода x0 называется точкойконечного разрыва (точкой скачка). При этом разность   f ( x0  )  f ( x0 ) называетсяскачком функции в точке x0.Пример точки конечного разрыва представлен на рис.

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий