Math.an.I (532676), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2 представлена иллюстрация этой теоремы для случая конечно-удаленнойпредельной точки (   x0 ) и a  0 .Рис. 3. Иллюстрация следствия теоремы о сохранении функцией знака предела.Следствие. Еслиlim f ( x)  a , то a  0 .f ( x)  0в некоторой окрестностиu ()и существуетx *Действительно, если бы выполнялось неравенство a  0 , то из доказанной теоремыследовало бы, что u 1 (*) , внутри которой f ( x)  0 , что противоречит условию(существованию окрестности, в которой f ( x)  0 ).Рис.

3 иллюстрирует данное следствие для случая   x0  .Теорема (о переходе к пределу в неравенстве). Пусть в некоторой окрестностиu () выполняется неравенство f ( x)  g ( x ) , и пусть существуют пределы функций f ( x )и g ( x) при x  * : lim f ( x)  a , lim g ( x)  b .x *x *Тогда имеет место неравенство: a  b .32Рис. 4. Иллюстрация теоремы о переходе к пределу в неравенстве.Доказательство.Внутриu () ,вкоторой ( x )  g ( x)  f ( x)  0 , но в силу следствия теоремы lim( g ( x)  f ( x))  0 .g ( x)  f ( x) ,функция1 это значит, чтоx *Используя арифметические свойства предела, получим: lim( g ( x)  f ( x))  lim g ( x)  lim f ( x )  0 ,x *x *x *следовательноlim g ( x)  lim f ( x) ,x *x *т.е.ab.Теорема доказана.Рис.

4 иллюстрирует данную теорему для случая   x0  .Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестностиu 0 (*) выполняется неравенство f ( x )   ( x)  g ( x ) и пусть существуют пределы функцийf ( x ) и g ( x) при x  * , причем они равны:lim f ( x)  lim g ( x)  ax *x *Тогда существует lim  ( x) и он равен a .x *Доказательство. Зададим произвольное число   0 .lim f ( x)  a    0 : x  ulim g ( x)  a    0 : x  ux *x *(*) | f ( x )  a |   ,1122(*) | g ( x )  a |  Обозначим u (*)  u1 (*)  u 2 (*) . Видим, что, при x  u () ,| f ( x)  a |  a    f ( x)  a  | g ( x)  a |  a    g ( x)  a  33Рис.

5. Иллюстрация теоремы о пределе промежуточной функции.Имеем:a    f ( x )   ( x)  g ( x)  a   .Таким образом, внутри окрестности u () выполняется неравенство a     ( x )  a   .Итак, мы показали, что  0   0 : x  u (*) |  ( x)  a |  ,но это и означает, что существует lim  ( x)  a .x *Теорема доказана.Рис.

5 иллюстрирует данную теорему для случая   x0 .§8. Предел сложной функции.Теорема (о пределе сложной функции). Пусть y  f ( x ) , z  g ( y ) и пустьсуществуют пределы lim f ( x)  a и lim g ( y )  b . Тогда существует предел сложнойx *y aфункции g ( f ( x )) при x   и этот предел равен b :lim g ( f ( x))  b .x *Доказательство. Выберем произвольное   0 . Т.к. lim g ( y )  b , тоy a  0 : | y  a |  | g ( y )  b |  ,но т.к.lim f ( x)  a , то   0 : x  u (*) | f ( x)  a |  .x *Итак  0  : x  u () | f ( x )  a |  | g ( y )  b |  ,т.е.lim g ( f ( x))  b .x *Теорема доказана.34n 1Пример.

Известно, что lim  1    e отсюда следует, чтоn  nknn 1 1lim  1    e k . При этом роль внутренней функции играет y  f (n)   1   , а рольn  n nkвнешней функции – g ( y )  y . Теорема о пределе сложной функции позволяетиспользовать при вычислении пределов метод, называемый заменой переменной:kn 1lim  1    lim y k  e k ,n y e nn 1где y  1   , при n   y  e . nЗдесь n – старая переменная, а y – новая переменная. Замена переменной описана вфигурных скобках.Пример. Пределlim 2x 0 1x0,1  при x  0  , а внешняя функция g ( y )  2 y  0xпри y   (представьте себе график функции y  2 x ).т.к. внутренняя функция y  Лекция 5§1. Первый замечательный предел и его следствия.sin xТеорема (о первом замечательном пределе).

Предел lim1.x0xsin xДоказательство. Т.к. функция y четная, тоxдостаточно ограничиться случаем, когда x  0  ( x  0 ).Очевидно, что характер стремления y при x  0  тот жесамый.На рис. 1 представлен тригонометрический круг радиусом R=1.x - это угол, отрезок BC – линия синуса ( BC  sin x ), отрезокAD – линия тангенса ( AD  tgx ). Сравним площадиРис. 1. Иллюстрация к теоремео первом замечательном пределе.треугольника AOB, кругового сектора AOB и треугольника AOD. Очевидно,S AOB  SсектораAOB  SAOD .Подставляя в это неравенство выражения для площадей:11S AOB  OA  BC  sin x22351 21R x x2211 OA  AD  tgx ,22SсектораAOB S AODполучимsin x  x  tgx .Или, после деления на sin x :x1sin x1, т.е. cos x 1.sin x cos xxТ.к. lim cos x  1 и lim1  1 , то на основании теоремы о пределе промежуточной функцииx0x 0заключаем, чтоsin xlim 1.x 0 xВ силу четности функцииsin x, очевидно, что двусторонний пределxsin x1.x0xТеорема доказана.limПределsin x1x0xназывается первым замечательным пределом.Рассмотрим ряд следствий доказанной теоремы.sin(ax)Следствие 1.

Предел lim a.x0xДействительно, выполнив замену переменной y  ax (при x  0 y  0 ), получим:sin(ax )sin ylim a lim a,x0y 0xytgxСледствие 2. Предел lim1.x0 xtgxsin xsin x1Действительно, lim lim lim lim1x0 xx  0 x cos xx0x x 0 cos x(поскольку оба последних предела равны единице). При доказательстве использованатеорема о пределе произведения функций.arcsin xСледствие 3. Предел lim 1.x0xДействительно, после замены переменной y  arcsin x (при x  0 y  0 ),рассматриваемый предел преобразуется к видуlim1arcsin xy1lim lim lim y 01x0y  0 sin yy 0  sin y sin yx y  limy 0y(поскольку и предел числителя, и предел знаменателя равны единице). Здесьиспользовалась теорема о пределе отношения двух функций.arctgxСледствие 4.

Предел lim1x0xlim36Доказывается аналогично предыдущему.1  cos x 1Следствие 5. Предел lim .x0x22Действительно,2xxx2  sin sinsin1  cos x22  lim2  2 1  1  1 .lim lim  2   2lim2x0x0x0xxx x 0 x2 2 2Здесь использовано следствие 1.§2. Второй замечательный предел.n 1Как известно, предел последовательности lim 1    e  2.718 . Это равенствоn  nсправедливо и для соответствующего предела функции R  R .x 1Теорема (о втором замечательном пределе). Предел lim  1    e .x  xx 1Предел lim  1    e называют вторым замечательным пределом.x  xДокажем ряд следствий сформулированной теоремы.1Следствие 1.

Предел lim 1  x  x  e .x011( x  , при x  0 y   ),xyрассматриваемый предел преобразуется ко второму замечательному:11lim(1  x) x  lim(1  ) y  e .x0y yДействительно, после замены переменной y Отметим, что предел lim(1  x)1xx0также называют вторым замечательным пределом.ln(1  x ) 1.x0xСледствие 2. Предел limДействительно,1ln(1  x )1lim lim ln(1  x )  lim ln(1  x) x  lim ln y  ln e  1 .x0x0 xx 0y ex1Здесь использовано свойство логарифма: k ln t  ln t k и замена переменной y  (1  x) x(при x  0 y  e ).ex 1Следствие 3. Предел lim1.x0xДействительно, путем замены переменной y  e x  1 (при x  0 y  0 ) ииспользования теоремы о пределе отношения, данный предел сводится к предыдущему.x aСледствие 4.

Предел lim  1    e a .x  xДействительно, введя замену переменной y aa( x  , при x  0 y  0 ),xyполучим37axa1 alim  1    lim 1  y  y  lim 1  y  y   ea ,x y0y0xв силу следствия 1 и теоремы о пределе сложной функции.§3. Сравнение функций при данном стремлении аргумента.Пусть две б.м. (две б.б.) функции f ( x ) и g ( x) определены в окрестности u (*) , иf ( x)пусть существует конечный или бесконечный предел lim.x * g ( x )f ( x) 0 , говорят, что б.м. f ( x ) имеет высший порядок малостиОпр. Если limx * g ( x )(в.п.м.) по сравнению с б.м.

g ( x) при x   (б.б. g ( x) имеет высший порядок роста(в.п.р.) по сравнению с б.б. f ( x ) при x   ). При этом используется следующееобозначение:f ( x)  o( g ( x)), x   .Примеры.(sin x) 2  o( x) при x  0 .Действительно,(sin x) 2sin xlim limsin x  0 ,x0x0xxт.к. первый сомножитель под знаком предела стремится к единице, а второй – кнулю.11 o   при x   ,2xxно1 1  o  2  при x  0xx (докажите самостоятельно).f ( x)g ( x)  , очевидно, это означает, что lim 0 (поЗамечание. Если limx * g ( x)x * f ( x )теореме о связи между б.м.

и б.б.), т.е. g ( x)  o( f ( x)), x   .f ( x) a  0 , то f ( x ) и g ( x) называются б.м.Опр. Если существует конечный limx * g ( x)(б.б.) одного порядка малости (роста) при x  * .Примеры.Функции y  shx и y  e x имеют одинаковый порядок роста при x   .Действительно,shxe x  e x 11lim x  lim lim 1  e 2 x   0  xx  ex 2e2 x 22 x(здесь использовано то, что e  0 при x   ).Функции y  e x  1 и y  sin 2 x имеют одинаковый порядок малости при x  0(докажите самостоятельно).38f ( x) 1 , то функции f ( x ) и g ( x) называются эквивалентными приg ( x)x   . При этом используется обозначение:Опр.limx *f ( x ) ~ g ( x) при x  * .Примеры.sin x ~ x при x  0 , в силу теоремы о первом замечательном пределе.tgx ~ x при x  0 , в силу следствия из теоремы о первом замечательном пределеtgx( lim 1 ).x0 xМногочлен3 x3  x 2  5 x ~ 3x3 при x   .Действительно,3x 3  x 2  5 x15lim lim  1   2   1 ,3x x 3x 3x x т.к.

два последних слагаемых под знаком предела стремятся к нулю.Тот же многочлен3 x3  x 2  5 x ~ 5x при x  0 .(докажите самостоятельно).Опр. Если существует конечный пределf ( x)lim k a  0 , где k  0 ,x * g ( x )число k называется порядком малости (роста) f ( x ) относительно g ( x) при x  * .Пример. Сравним функции f ( x )  sin x 2 , g ( x )  x 3 при x  0 .limx0f ( x)sin x 2sin x 2 1limlim.x0g k ( x ) x 0 x 3 kx 2 x 3k  2Этот предел конечен и отличен от нуля только при k 2.

Действительно, в этом случае3получаемsin x 2sin t lim 1,2x0t 0xtгде t  x 2 .22При k  предел равен  , а при k  – нулю.33Таким образом, порядок малости б.м. f ( x ) относительно б.м. g ( x) при x  0 равен2k .3lim§4. Основные соотношения эквивалентности.Из определения эквивалентности функций, а также теорем о первом и второмзамечательных пределах и их следствий, вытекают следующие соотношенияэквивалентности при x  0 :sin x ~ xtgx ~ xarcsin x ~ xarctgx ~ x39x22ln(1  x) ~ x1  cos x ~log a (1  x ) ~xln ae x  1~ xa x  1 ~ x ln axp1 x 1 ~pИсходя из определения эквивалентности, легко доказать также, что многочленэквивалентен старшей степени при x   и младшей степени (если a0  0 ) при x  0(см. последние два примера к определению эквивалентности):a0  a1 x  ...

Характеристики

Список файлов вопросов/заданий