1625914689-e957c8b7a8e4003fe3539e4e0e465a65 (532400), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Если k < kmax , то k := k + 1 и переходим опятьк п. 1 этапа пошагового интегрирования.Явная схема интегрирования основана на использовании уравнения движения, записанного в виде (6.121). Алгоритм интегрирования уравнений упругопластичности появной конечно-разностной схеме совпадает с алгоритмом интегрирования задач линейнойтеории упругости по этой же схеме в модификации 3 (см. п.
6.1.4.1).6.2.4.Определение напряжений в процессе пошагового интегрирования уравнений движения упругопластических телПусть в некоторой точке тела в момент времени t известны векторы t ε̄ и t σ̄. Требуется найти векторы t+∆t σ̄ (или t+∆t σ̄ (i) ) в этих же точках тела в момент времени t + ∆t.Отметим, что при использовании МКЭ такими точками тела являются точки интегрирования, т. е. такие точки в конечном элементе, которые используются при вычисленииинтегралов величин с использованием формул численного интегрирования (обычно используются формулы приближенного интегрирования Гаусса – Лежандра).Интегрирование напряжений надо всегда проводить от значений вектора t σ̄, полученного в равновесном состоянии в момент времени t, но не от значений вектора t+∆t σ̄ (i−1) ,полученного в итерации, так как иначе могут возникать и накапливаться ложные пластические деформации, полученные на итерациях.
Для того, чтобы решить систему (6.158)относительно вектора приращений перемещений ансамбля узловых точек на итерациях∆U(i) , надо определить эффективную матрицу касательной жесткости t+∆t K̂(i−1) и эффективный вектор несбалансированной нагрузки t+∆t R̂(i−1) . Для их вычисления надо вкаждой точке интегрирования определить векторы t+∆t σ̄ (i−1) . Эти векторы не надо сохранять в памяти компьютера на каждой итерации, требуется только запоминать векторыtσ̄ при переходе на следующий шаг интегрирования.
После решения системы линейныхалгебраических уравнений (6.158), в результате которого находится вектор ∆U(i) , надоопределить значение вектора перемещений ансамбля узловых точек на i-ой итерации изследующего выражения (полученного из (6.123)):t+∆tU(i) = t+∆t U(i−1) + ∆U(i) .(6.160)Далее для простоты изложения материала верхний правый индекс «(i)» у величин опускаем.
Используя компоненты найденного вектора перемещений t+∆t U, находим векторперемещений узловых точек элемента t+∆t Ue . Используя этот вектор, находим векторыt+∆tε̄ в точках интегрирования элемента, применяя формулу t+∆t ε̄ = B t+∆t Ue .Формулируем задачу : по известным значениям векторов t ε̄ и t σ̄ и известному значению вектора t+∆t ε̄ требуется найти в некоторой точке тела векторt+∆tσ̄.Процесс интегрирования напряжений рассматриваем как решение следующей задачиКоши на сегменте времени [t, t + ∆t]:˙ = Cε̄,˙σ̄σ̄(t) = t σ̄,(6.161)где C – симметричная матрица размера 6 × 6, составленная из компонент тензора Cep .136Глава 6. Основы численных методов решения задач деформирования тел .
. .Эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируем по явнойсхеме Эйлера.Дано:t+∆tε̄ – вектор деформаций в момент времени t + ∆t;tε̄ – вектор деформаций в момент времени t;tσ̄ – вектор напряжений в момент времени t.Требуется определить вектор напряжений t+∆t σ̄ в момент времени t + ∆t.Рассмотрим алгоритм вычисления напряжений для теории пластического течения сизотропным упрочнением с поверхностью текучести Мизеса. Он состоит из следующихшагов:1. Определяем вектор приращения деформаций:∆ε̄ = t+∆t ε̄ − t ε̄.(6.162)2.
Вычисляем пробное значение вектора приращений напряжений, используя матрицу CE , которую получим, полагая в матрице C значение параметра c = 0 (эта матрицасовпадает с матрицей C в (6.4)):˜ = CE ∆ε̄.∆σ̄(6.163)3. Определяем пробное значение напряжений в момент времени t + ∆t:t+∆t ˜˜.σ̄ = t σ + ∆σ̄(6.164)4. Находим вектор девиаторов напряжений t+∆t˜s̄ и вычисляем функцию текучестиf(σ̄ ).˜ ) ≤ 0, предполагаем упругое поведение материала в рассматриваемой5.
Если f (t+∆t σ̄˜ и заканчиваем вычисления. Если f (t+∆t σ̄˜) >точке. Присваиваем значение t+∆t σ̄ := t+∆t σ̄0, то продолжаем вычисления.6. Если на предыдущем шаге по времени состояние было пластическим, полагаемзначение параметра r = 0 и переходим к п. 8. В противном случае определяется та частьприращения деформации, которая вычисляется по закону упругого деформирования, азначение параметра r определяем из уравненияt+∆t ˜˜ ) = 0.f (t σ̄ + r∆σ̄7.
Перевычисляем векторчести:(6.165)t+∆t ˜σ̄ как вектор напряжений в начальный момент текуt+∆t ˜˜σ̄ := t σ̄ + r∆σ̄(6.166)и находим ту часть вектора приращений деформаций, которая отвечает за пластическоетечение:∆ε̄p = (1 − r)∆ε̄.(6.167)8. Используем подынкрементальный метод интегрирования: задаем целое число M ≥1, находим значение шага интегрирования ∆t1 = ∆t/M , вектор ∆ε̄p подразделяется на Mподвекторов ∆ε̄p1 = ∆ε̄p /M , и для каждого подынтервала при вычислении напряженийиспользуется вновь определенная матрица τ C:τ +∆t1σ̄ = τ σ̄ + τ C∆ε̄p1(τ = t, t + ∆t1 , .
. . , t + (M − 1)∆t1 ).(6.168)После последнего вычисления (для момента времени τ = t + (M − 1)∆t1 ) находим окончательное значение вектора t+∆t σ̄.Предложенный выше способ определения вектора напряжений t+∆t σ̄ иллюстрируетсяна рис. 6.5 (на этом рисунке для простоты иллюстрируется случай для значения M = 1).Этот способ интегрирования компонент тензора напряжений годится для любой теориипластического течения при модификации п. 4, в котором вычисляется функция текучести.Отметим, что в этот алгоритм входит неустранимая погрешность интегрирования, котораяуменьшается при уменьшении шага ∆t1 , т. е.
при увеличении числа подынтервалов M .6.3.. Заключительные замечания137~Dstf ( s) = 0~rDsповерхность текучестив момент времени tttCDeистинная поверхность текучестив момент времени t +Dtst+Dt~ newst+Dt ~st+Dtf(t+Dts) = 0s~tf ( s+rDs) = 0пробная поверхность текучестив момент времени t +DtРис. 6.5. Иллюстрация алгоритма определения вектора напряженийском деформировании6.3.t+∆t σ̄при упругопластиче-Заключительные замечанияВ настоящее время существует ряд кодов, реализующих МКЭ для решения задачупругопластического деформирования твердых тел и конструкций (стержней, пластин,оболочек). Эти коды можно разделить на два класса: коммерческие и «домашние». Какправило, коммерческие коды разрабатываются корпорациями, представляющими открытые акционерные общества. Главная цель этих корпораций состоит в разработке и распространении на коммерческой основе вычислительных кодов, работающих совместно скодами, осуществляющими визуализацию результатов, полученных в результате работывычислительных кодов.
Эти коды являются кодами общего назначения, предназначенными для решения широкого круга задач моделирования термомеханических процессов.Моделирование упругопластического квазистатического и низкоскоростного деформирования твердых тел и конструкций на базе неявных схем интегрирования уравнений движения можно осуществлять, например, с помощью таких коммерческих кодов, как ABAQUS,ADINA, ANSYS, MSC.Marc, MSC.Nastran.
Моделирование высокоскоростного упругопластического деформирования твердых тел и конструкций на базе явных схем интегрирования уравнений движения можно осуществлять, например, с помощью таких коммерческихкодов, как ABAQUS Explicit, LS DYNA. «Домашние» коды, как правило, разрабатываютсяв университетах и других научных учреждениях. Эти коды предназначены для внутреннего использования в тех исследовательских группах, где они разработаны.
В качествепримера «домашнего» кода можно привести код PIONER, разработанный в Институтегидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН (Новосибирск) в кооперации с некоторымиприкладными институтами г. Москвы. Этот код предназначен для моделирования упругопластического квазистатического и низкоскоростного динамического деформированиятвердых тел, конструкций и наноструктур (например, графенов, углеродных нанотрубоки т.
д.) на базе неявных схем интегрирования уравнений движения. Визуализация результатов моделирования деформирования твердых тел и конструкций, полученных с использованием кода PIONER, осуществляется с помощью коммерческого кода MSC.Patran.ЗаключениеВ настоящем пособии представлены физические основы пластического деформирования твердого тела, основы экспериментальных методов механики деформируемого твердого тела, основные понятия механики деформируемого твердого тела, представляютсяосновные положения линейной теории упругости, приводятся уравнения движения/равновесия в сильной, слабой и вариационной формулировках, уравнения жесткопластическогодеформирования при условии плоской деформации, уравнения упругопластического деформирования твердых тел, даются основы численных методов решения задач деформирования тел из упругих и упругопластических материалов.Отметим, что в настоящем пособии представлены только начальные сведения о теоретических положениях механики упругого и упругопластического деформирования, основанные на геометрически линейной формулировке уравнений (кроме материала, представленного в главе 4 «Жесткопластическое деформирование твердого тела при условииплоской деформации»).
Учет геометрической нелинейности деформирования существенноусложняет уравнения механики деформируемого твердого тела, но в то же время существенно увеличивает и область математического моделирования процессов деформирования упругих и неупругих тел, имея приложения в таких разделах механики, как «механика эластомеров», «нелинейная теория устойчивости деформируемых тел», «механикабольших упругопластических деформаций» и др. Уравнения механики деформируемоготвердого тела с учетом геометрической нелинейности и теоретические основы их численной реализации даются в курсе лекций «Нелинейные задачи механики деформируемоготвердого тела», который читается в Новосибирском государственном университете длямагистрантов первого года обучения механико-математического факультета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
