tihonova (523116), страница 4
Текст из файла (страница 4)
средняя потенциальная энергия есть постоянная величина. Границы кристалларассматриваем как бесконечно высокие, тонкие, непроницаемые потенциальные стенки иприходим к задаче о движении в "ящике" частиц, подчиняющихся квантовой механике истатистике Ферми. Закон распределения для описания электронов в металле известен подназванием распределения Ферми.Поскольку потенциальная энергия постоянна во всем объеме кристалла, ее значениевыбираем за начало отсчета энергии.
Соотношение между энергией электрона и еговолновым числом:График этой зависимости приведен на рис. 3.1.Энергия Е равна кинетической энергии классической частицывыраженной черезпараметр k. Из формулы де Бройля:Для трехмерной решетки разрешение волнового вектора имеет видгде n - вектор с составляющимиЭнергия, соответствующая выбранной волновой функции, зависит от трех целых чиселРассматривается кристалл присоответствуетНа низшем электронном уровне, которомуможет находиться два электрона с противоположнонаправленными спинами. Для. При этомна каждом уровне может находиться один электрон с данным направлением спина,следовательно, энергетический уровень сможет содержать 12 электронов.
Таким путемпродолжаем заполнение уровней всеми имеющимися электронами.При абсолютном нуле последний заполненный уровень есть уровень Ферми Ef=0. Можновычислить энергию Ферми для кристалла с линейными размерами L, содержащего Nэлектронов в 1 см3:График этой функции представлен на рис. 3.2.Зная зависимость плотности состояния от энергии и вид распределения Ферми, можновычислить теплоемкость электронного газа. Удельная теплоемкость при постоянном объемеопределяется какЗдесь U - полная энергия единицы объема, равнаягде f(E) - распределение Ферми.
Вычисление теплоемкости представляет простую задачу,поэтому, не повторяя вычислений, подробно разобранных в литературе, приведем результатгде kB - постоянная Больцмана, Tf - температура, соответствующая энергии Ферми, т.е. Ef(0) =kBTf. "Температура", эквивалентная энергии Ферми ~ 5,0 эВ, составляет приблизительноТаким образом, из формулы (3.6) следует, что теплоемкость электронов отличаетсяэтот факт согласуется с опытнымиот теплоемкости свободных частиц множителемданными.Как показывают эксперименты, теплоемкость металлов имеет видПри низких температурах члендает вполне измеримый вклад в теплоемкость.Температурная зависимость электронной теплоемкости такова, что ею можно объяснитьприсутствие линейного члена в теплоемкости металлов.Лекция 4. Зонная теория металловЗонная модель почти свободных электронов учитывает, что спектр разрешенных состоянийне является непрерывным, а существуют запрещенные энергетические зоны.
Это приводит кпонятию зонной структуры, весьма важной в теории металлов.Более реалистичный подход, чем тот, который использовался в модели газа свободныхэлектронов, должен учитывать наличие кристаллической решетки, построенной из ионов, ипериодичность этой решетки. Чтобы задача была разрешимой, частицы считаемнезависимыми, так как знаем, что для металлов при обычных температурах это допущениеразумно.Одно из свойств кристаллической решетки состоит в том, что она обладает трансляционнойсимметрией: потенциальная энергия V(x) электрона в решетке является периодическойфункцией.
Если кристалл имеет длину L, то L=Ga, где а - период (постоянная решетки), а G целое число. Волновая функция электрона в решетке имеет видгде uk(x) - функция с периодичностью решетки, т.е. uk(x+а) = uk(x).Выражение (4.1) представляет собой плоскую волну exp (ikx) с модулированной амплитудойuk(x). Функции такого вида называются функциями Блоха.Свойства кристалличекой решетки, которые следуют из трансляционной симметрии, впервыеподробно изучены Бриллюэном, который ввел понятие о зонной структуре. Эти зоны впространстве обратной решетки были названы зонами Бриллюэна в знак признания его работв этой области.Из (4.1) следует, что функциянаписатьне определяет однозначно значения k, так как можногде n - целое число. Функция в квадратных скобках по-прежнему обладает периодичностьюрешетки. Это означает, что к величине k можно прибавить любое целое число, умноженноена, не изменяя общего вида функции Блоха.Величинаопределяет наименьший периодический интервал в пространстве волновыхчисел для решетки, период котрой равен а.
Этот интервал называется первой зонойБриллюэна.На рис. 4.1 показана зона Бриллюэна для квадратной решетки. Для построения границ зонынужно провести перпендикуляры через середины линий, соединяющих начало координат(центр зоны) с ближайшими точками обратной решетки, затем то же проделать для точек,ближайших из оставшихся, и т.д., при этом получаем границы первой зоны Бриллюэна,Как видно из рис.4.1, все зонывторой и т.д.
Границы первой находятся в точкахимеют одну и ту же площадь (в трехмерном случае - объем). Первая зона содержит один узелобратной решетки, так как на каждом уровне могут находиться два электрона, то в первойзоне, как и во всех остальных, на 1 атом приходится 2 электронных состояния.Каждая зона валентных электронов включает в себя столько отдельных состояний, скольковзаимосвязанных атомов содержится в системе. В случае системы из n атомов в каждой зонемогут находиться 2n электронов. Это означает, что у щелочных металлов, содержащих поодному валентному электрону, первая зона будет будет заполнена лишь наполовину, а уалюминия с его тремя валентными электронами будет заполнена наполовину вторая зона.Сначала заполняется нижняя половина каждой зоны, так как это соответствует состояниям снаименьшей энергией.Перекрываются первая и вторая зоны, но не вторая и третья.
Это означает, что у магния (двавалентных электрона) тоже есть перекрывающаяся зона.электроны с энергиями, лежащимиУсловие для запрещенной энергетической зонывнутри этой запрещенной зоны, будут претерпевать полное отражение и не смогутраспространяться в кристалле.Смысл зон Бриллюэна в металле: на границах зон имеется полоса энергий 2Vn, в которой нетразрешенных энергетических состояний. Существование такой запрещенной полосы энергийимеет решающее значение, в частности, число электронов проводимости, приходящихся вкристалле на один атом, в нашей модели будет определять, чем окажется кристалл диэлектриком или проводником. Если число электронов проводимости окажетсядостаточным для того, чтобы заполнить все доступные состояния в первой зоне Бриллюэна(2электрона на атом) или в первой и во второй зонах (4 электрона на атом), то из-за наличиязапрещенной полосы энергий не будет разрешенных состояний, в которые электрон мог быперейти под влиянием внешнего поля.
При этом протекание электрического тока окажетсяневозможным и кристалл будет вести себя как диэлектрик, если величина поля недостаточнадля того, чтобы перебрость электрон в разрешенное состояние в следующей зоне Бриллюэна(рис.4.2).Если же какая-то зона заполнена частично, то электроны будут вести себя так же, как вмодели свободных электронов, в этом случае будут существовать незанятые разрешенныесостояния, в которые электрон может перейти при бесконечно малом увеличении энергии.Поверхность ФермиПоверхностью Ферми называется поверхность постоянной энергии в трехмерном kпространстве, которой соответствуют состояния с энергией, равной энергии Ферми при 0°С.На рис.
4.3 показана схема приведенных зон для направления х в кристалле, где подвлиянием потенциала решетки энергия состояний во второй энергетической зоне вблизиграницы зоны Бриллюэна оказывается меньше энергии состояний в первой энергетическойзоне. Возникает вопрос, как будет выглядеть поверхность Ферми при различных значенияхEf.1. Ef=Е1.
Если кристалл обладает сферической симметрией, то сфера на рис. 4.4 будетпредставлять собой его поверхность Ферми. Такой вид может иметь поверхность Ферми дляодновалентного "рыхлого" металла. Если описать на поверхности Ферми замкнутую кривую,так чтобы плоскость кривой проходила через точку k=0 (в случае сферы такой кривойявляется большой круг), то эта кривая будет ограничивать область заполненных состояний, вэтом случае поверхность Ферми называется электронной поверхностью.2. Ef=Е2.
На рис. 4.3 энергия Е2 соответствует пересечению двух энергетических зон. Уровниниже отрезка XY будут заполненными. Поверхность, являющаяся геометрическим местомточек типа Х и Х, не может быть названа поверхностью Ферми, так как по обе стороны от нееимеются заполненные состояния и в бесконечно малой окрестности этой поверхности нетразрешенных незаполненных состояний. Таким образом, при Ef=Е2 вся зона Бриллюэназаполнена, и при 0 °К кристалл будет вести себя как диэлектрик.3. Ef=Е3. Энергетический уровень Е3 пресекает кривую Е(k) в двух точках - точке b в первойэнергетической зоне и в точке с - во второй. Если кристалл обладает цилиндрическойсимметрией относительно оси z, то точки b и с будут порождать торроидальную поверхность(рис.
4.5), которая по определению будет поверхностью Ферми. Если описать на поверхноститороида замкнутую кривую, например, АВС на рис. 4.5, то внутри нее будут заключенынеполные состояния. Такая поверхность Ферми называется "дырочной поверхностью" впервой энергетической зоне.Термин "дырка" используется в теории полупроводников и металлов для обозначениянезанятого состояния в почти заполненной зоне. Горизонтальные линии на рис. 4.6изображают в сильно увеличенном виде разрешенные уровни энергии вблизи вершиныпервой энергетической зоны.
На всех уровнях, кроме самого верхнего, находятся дваэлектрона, на верхнем - один. Это незанятое состояние (на схеме - кружочек) называютдыркой. Таким образом, вблизи верхнего энергетического уровня недостает одногоэлектрона, и эту недостачу можно рассматривать как избыток положительного заряда вданном месте. Дырки заряжены положительно.Поверхность Ферми в модели свободных электроновСуществует геометрический метод, позволяющий построить поверхность Ферми для любогометалла в предположении, что электроны совершенно свободны, и если известнакристаллическая структура металла, постоянные решетки и число электронов проводимостина атом.На рис. 4.7, 4.8 изображены поверхности Ферми для алюминия (3 электрона на атом) и цинка(2 электрона на атом).Лекция 5. Изоляторы и проводники электрического токаЭнергетические зоны металлов и изоляторов.
Собственная и примесная проводимость.Полупроводниковые материалы и их применениеПо одному из важнейших физических свойств - электропроводности (илиэлектросопротивлению) элементы относят к трем группам: к металлам, полупроводникам идиэлектрикам. Между металлами и полупроводниками имеется качественное различие нетолько в величине электросопротивления, но, главное, в характере зависимостиэлектросопротивления от температуры. Зависимостьхарактердля металлов имеет линейныйМежду полупроводниками и диэлектриками различие в электропроводности толькоколичественное, определяемое шириной запрещенной зоныкоторая у диэлектриков приРазличие в свойствах металлов, полупроводников и диэлектриков можно понять, если учесть,что электроны в твердом теле (кристалле) располагаются по квантованным энергетическимзонам (состояниям), причем существуют такие области значений энергий, которые не могутбыть заняты электронами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
