markeev_book (522779), страница 94
Текст из файла (страница 94)
222 = аг(С20)1+ ФЫ О 2 = аз(его)с + Ф2 + 9~ (49) гг =Лг г 2 — Л2г где 01пй = — —, совр = — —. Б = ч,гД~+'уз. Б' Б' Изменение переменных Фя, Ля со временем будет описываться диффе- ренциальными уравненинми, задаваемыми функцией Гамильтона я = ы — С (г ' я,: — г' я ),г гя я„; (ч, -~ ч )+... иг) 'х с1гхо ссссо Из соответствующей канонической системы дифференциальных урав- нений с точностью до членов первого порядка относительно е и сг — оо включительно имеем — = — = — ебч/Л2Л2 соз(Ф2 + Фз), с1Л2 с1Л2 йс йс (31) с((Ф2+ Ф2) с1(аг + аз) 1 0Л1 + Л2 = (сг — его) + — е~ мп(Ф2+ Фз).
с11 йсго 2 ~/Л, Л, Замена пеРемевных с7яг, Р', -+ гРЮ гь (Огь кооРДинаты. ги импульсы), задаваемая этими формулами, является каноническим преобразованием с валентностью 1/(22). В переменных сся, гя функции Гамильтона примет вид 558 Глава Х'г' — +Оо<Е2<оо+ 11(121 + аг) 12(а1 + аг) 11оо 11е2о (52) и что при невыполнении этих неравенств имеет место устойчивость. Действительно, второе утверждение следует из того, что функция Г = (Л1 — Лг)2 ~ Нг является интегралом системы (51), который, как нетрудно видеть, будет знакоопределенным по переменным Л1 и Лг, если неравенства (52) не выполняются.
Следовательно, согласно теореме Ляпунова об устойчивости. система (51) устойчива по отношению к переменным Л1, Лг. Утверждение о неустойчивости следует из существования при выполнении неравенств (52) неограниченно растущего со временем частного решения системы (51): Л1(1) = Лг(1) = Лг(0)е'~~~~, Ф1+ Фг = л.+ агсзгпд, с е2 — оо 11(121 + аг) еб Йоо Случай простого параметрического резонанса, например 2а1 — — Х, рассматриваетсн аналогично. Область неустойчивости задается нераненстввми — + 12о < е2 < е2о + ЙТ1 ЙТ2 1212о 11е2о (53) где 6 = ~фР + уг, а (т = — / [(1юого — Лгооо) соз 1~'Г + йшш вгпМ 1Л, 1 2л/ о 2а 7 = — / [51ого сов 122 — (йоого — Ьгооо) з1п221) Егг.
1 2я / о (54) Ясно, что в первом приближении по е и е2 — е2о задача об устойчивости по отношению к переменным дт (~ = 1, 2, 3, 4) в исходной системе с функцией Гамильтона (29) эквивалентна задаче об устойчивости по отношени1о к переменным Л1, Лг в системе (51). Покажем, что в первом приближении по е область параметрического резонанса (область неустойчивости) задается неравенствами 559 5 тй ОЛ устойчивости гамильтоиовых систем 248. Уравнение Матье. Уривненивм Матье цазыва1от дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами вида пах ' + (о + Гт с . 1)х = О, г11з (55) где сх и 17 — постоянные величины.
Это уравнение часто встречается в различных задачах механики, например в теории движения Луны, в задаче трех тел, в теории колебании упругих систем и т. п. Поэтому уравнение Матье изучено очень подробно'. Мы рассмотрим уравнение Матье для случаи, когда оно мало отличается от дифференциальиш о уравнения г армонического осциллятора: 711 + (ы + с сове)ш = О (О < а « 1). (56) При е = О уравнение описывает колебания с собственной частотой иг. Согласно предыдущему пункту, при а ф О в плоскости параметров иг, а могут возникать области неустойчивости, причем для малых значений а области неустойчивости исходят из тех точек оси с = О, которые отвечают целым нли полуцелым значениям частоты собственных колебаний: 2ы = 1'ьг (г'ч' = 1, 2, 3,...
). (57) Например, если качели в процессе их раскачивания моделировать маятником с периодически изменяющейся длиной, то интенсивное раскачивание качелей (т. е. неустойчивость их вертикального положении равновесия) возникает, когда удвоенная частота собственных колебаний маятника кратна частоте изменения его длины.
На практике обычно наблгодается случай, когда в формуле (57) Ж = 1, т. е. когда частота изменения длины маятника вдвое больше частоты его собственных колебаний. Используя общие формулы для областей параметрического резонанса, полученные в предыдущем пункте, найдем в первом приблигкепии по а области неустойчивости, отвечающие резонансу 2иг = 1. (58) Если ввести импульс р,, отвечающий координате ш, по формуле р = шг то уравнение (56) будет эквивалентно канонической системе двух уравнений с функцией Гамильтона (59) И = —,(р +иг т, ) — всов1ш . 2 См., например: Стокер Дли Нелинейные колебании в механических и электрических системах. Мл ИЛ, 1963; Бейтмен Г...
Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967. 560 Глава Х1г Введем новые переменные д и Р при помощи канонического преобразованин Ре = ъ'шр~ 'г = — У (60) Новая функция Гамильтона запишется в виде Н1 [2+ 2)+е,12 (61) Нз формул (53), (54), в которых Ю = 1, а 52000 = — гон 1~ В0020 = 10010 = 0~ 1 2ш получаем область неустойчивости в первом приближении по е: — — ш + —. < ы < — + —.
1, 1 1 1 2 2 '2 2 162) ~р" = е э1пи+... (соа Х': 1), оР— 1 (63) где многоточием обозначены члены выше первого порядка относительно энсцентриситета орбшлы е. Пля исследования устойчивости движения (63) введем возмущение х по формуле + х 1+ есоаи (64) Подставив это значение 1о в уравнение (37) и. 230 и произведя его лине- аризацию относигпельно х, получим, что с точностью до первой сте- пени е линейное уравнение возмущенного движения будет иметь вид уравнения Иагпье х + [соб + е(1 — соо) соэ и) х = О.
доз (65) При значении гэе, близком т/2, возникаега область неустойчивости. В соответствии с формулой [62) она задается неравенствами' — — е+ — < ого < — + — е. 3 1 1 3 8 2 2 8" (66) ~Совершенно иа других соображений область неустойчивости (66) получена в гл. 2 книги; Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относитеаьно центра масс. Мл Наука, 1966. ПРимеР 1 (Устойчивость экснентриситегных кОлеБАний тВВРДОРО телА ИА эллиптической ОРБите). В и.
230 найдены плоские периодические колебания твердого тела. вызванные эллилгпичностью орбиты его центра масс. В обозначениях и. 128, 230 эти колебания имеют вид Список литературы [1) Аппель П. Теоретическая механика: В 2-х т. Мл Физматгиз, 1960. [2) Бухгольц Н.
Н. Основной курс теоретической лсеханики: В 2-х ч. Мл Наука, 1972. [3) Валле Пуссен Ш.Ж. Лекции по теоретической механике. Мл ИЛ, т. 1, 1948: т. 2, 1949. [4) Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. Мл Наука, 1966. [о) Ламб Г. Теоретическая механика. Т. 2. Мл Гостехиздат, 1935. [6) Леви — Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2, ч.
2. Мл ИЛ, 1951. [7) Ляпунов А. М..Текции по теоретической механике. Киев. Наукова думка, 1982. [8) Раус Э. Динамика системы твердых тел,. Т. 1. Мл Наука, 1983. [9) Суслов Г.К. Теоретическая механика. Мл Гостехиздат, 1946. Предметный указатель Аксиома взаимодействия 87 — динамики основная 86 — инерции 85, 86 независимости действия сил 87, 88 Аксоид неподвижный 61 — подвижный 61 Амплитуда 185 Аномалия истинная 239 средняя 243 — эксцентрическая 243 Апоцентр 240 Валентность канонического преобразования 339 Вариация 38 Варьирование изознергетическое 482 -- по Гауссу 40., 107 — по Журдену 40, 106 синхронное 38 Вектор Лапласа 238 — амплитудный главного колебания 504 — главный 90 -- -"- сил тяготения 247 — — ударных импульсов 408 Верчение 222, 223 Винт динамический 136 — левый 137 — — правый 137 - .
кинематический 70 — — левый 71 правый 71 Возмущение 514 Вращение 49 -- . мгновенное 57 — стационарное 190 Время абсолютное 19 Герполодия 195 Гироскоп 207 — уравновешенный 210 Движение Эйлера Пуансо 194 — абсолютное 19, 72 — возмущенное 514 — замедленное 24 — импульсивное 406 ---.
криволинейное 20 — круговое 20 — мгновенно винтовое 71 — — поступательное 57, 59 — механическое 15 невозмущенное 514 неустановившееся 515 — — установившееся 515 — устойчивое 515 - ассимптотически 515 — относительно центра масс 151 — относительное 71 — переносное 71 плоское 64 --. поступательное 56 — прямолинейное 20 — равномерное 24 — сложное 71, 72 среднее 24! — стационарное 496 сферическое 52 — ускоренное 24 Действие по Гамильтону 474 .. по Лагранжу 484 Предметный указатель Дельта амплитуды 185 Динама 136 Динамика 16 Диссипация неполная 279 — полная 279 Длина принеденная физического маятника 180 Долгота восходящего узла 244 Задача двух тел 234 — трех тел общая 244 — — — ограниченная 244, 325 — динамики основная вторая 89 первая 89 Закон Кеплера второй 237 — — первый 239 — — третий 241 — Ньютона второй 87 — — первый 85 — третий 87 — Паскаля 115 — сложения сил 87, 88 — сохранении количества движения 158 энергии 168 — — кинетического момента 161 -- трения Кулона 222 Импульс внепших сил 157 — - моментов внешних сил 161 — обобщенный 283 — ударный 406 обобщенный 459 --.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
