21 (509766)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

'задача ! 11ай ~ и сумму ряда 60 и ' — Зп -:15 ! 1роизведем >квиваяептпмс преобразования ряда: Так как п -8п+15 = (п-51(п-3), зо получаем, его исходный ряд мы можем переписать В слсду1ошем виде; бО -, (зО " ' п — За+15 " (и — 3)(п — 5) ~,п — 3 и — 5 ) =- — ( — -" — — — — )~ =,Г.бб —. ( — — ) = 2 п — 5 п — 31' "'' 2 и — 5 и — 3 1 1 .:: 1 1 —. 3()',>"",( — — — -) --. О(х ~"„ "' и — 5 п — 3 ""и — 5 "='п — 3 1 1'ассмо грим.

ряд,У ='п 5' 11роизведем замену ,'п-5 = К,', то~да суммирование будег 1 1 производ(иться от 1с = и-5 =- (п--.7!- 7 -5 =2, и и -.5 ! ' ',1!оде гаппм долучешщс зцачспвя в ряд ~' и — 5 У. '- '>- ! 1ноп 38.', ~см ана 1о! Ич!пис преООра кованая и с рядом У !отав для не~ о заменя,'п-3-1.,' и — 5 начальное 1; = Й-З =' ,и =: '; — 1-"ъ=4, а а — 5 ! ! 1одставим данные в У П вЂ” 3 1 ~-, 1 1 4=-4 ! и — а Итак, мы получили, что исходный ряд равен равности двух рядов: 1 1, !..', 1 5 =-5О!!-+- -У ' -1-~;" — )=ЗО '- =~5 а ' я=з ! '"='! 6 О в: У'';, — =25 60 ~'=' и — Ми+15 Исс:1едыв11!ь ряд!и схОднмос Гь: х--Ыбп (' ) П в1п ['2") Обозначим а„,-- Так как для всех п ып ( 2" ) <1 .

п) для всех п.)акжс верно следу)ощее угверждение: 1 1 а, < и П" Докажем сходимость ряда ~ —. '1'о) да из его ! 1 2.„ сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда оп будет ограничсн сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрицательны: а!п ( 2" ) 26 ). 1 Обозначим ))„= — —,. 11о признаку сравнения (говорящему, 1 ч)о РЯд виДа гз — сходизсх только пРП Ус)пп)ии, что а П сгро! о болвше 1. т.е. а>1 и расходится в противьн)м случае. 1 прп а<1),ряд ~ ' — сходится. !ак как выдоя)!яс!ся 'Л— П ) сровие сходимости: 2".1. с'- я)п (2 ) :Цдягох!у и исходный ряд 2 -- --;--- !Оже сходится. П 1'-. !П '( ') 1),'в<1; )!я.1 Х вЂ” — схо'!!!!ОЯ.

!ала га . Р1сслсловать ряд на сходимосгь: ,(! -сов — ) П Обозначим а„=-(1 — сов — ) и л 1! рп и -+ со соь — = 1 — —,. поэтому сходимость исходно~о и 2п' ряда эквивалентна сходимости след)к~щего ряда: Х.' (1-1.-'-'-;) =Х' — ': — Х -"'-. 2п-' " '2(п+1) "='2п' и с 1 Докажем сходимость ряда — у —; — .

Тогда из его 2 " 'и-' сходимости будет следовать сходимость исходного ряда. так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„= —;. По признаку сравнения (говорящему, и 1 что ряд впда ~ — сходится только при условии, что а ю-~ а с~рого больше 1, т.с. а'1 и расходьнся в противном случае. и'; ! ,арн' а<1) ряд- - > —, схочится, так как выполняется ' и" тсловие сходимоспн 2-1. и 1!оэтому и исходпьш рял '! (1. сок,.) Гоже сходится. и с иве, ряд ''З (1 со,'.

! схо.ш~ся. задача 4 Исследовать ряд на схолнмоси< ,-" 2" и! и'! зн Обозначим а„= — — ' и. и"! Используем признак Даламбера: 2""('и+1)! а„,, (и+1)"'! . и"! (пи - " ' = 1ни — '-; -- — = 1нп 2( - —,)(и + 1) = () < 1 '- ° а " 2" и! " " (и -ь1)ьн( й и"! Так как по признаку Даламбера ряд сходится. если для всех а<и достаточно оольших и выполнено неравенство --'-"- < ц < 1 ав и расходится, кьнда — ' > 1, то исходный ряд сходится. ао ':': 2" и! ()1 вот: ~~~ — сходи тся. и"! 11сс ге игал и ряд иа с .олимость: ~ и агсМ' — "' лп Воспользуемся признаком Коши: Если !1п1",,1а„«1, та ряд ~ а„- сходи~ся. Если 1пп 1а„>1, то ряд ~~> и„- расходится. и-! и 11ш " а „= 1ип Ф и агс1 о — = 0 < 1 Таким образом, по признаку Коши исходный ряд являстся сходящимся.

Ответ:,) и. агсгя' -- - сходится. Зп )ал"!ча б 1(сс:!едавагь ряд на сходнмость; ..=~ а , ! (и-ь5)1н (и+!) Воспользуемся предельным приз!вако>! схолимости. Еслидваряда ,'! а„и „') 6, удовлетворяктсусловию; ч —.! а„ 1ии -"-= У., где Х - конечное число, не равное О, то ряды /)„ ~ и„и ~~) !!„сходятся или расходятся одновременно. ° -! Рассмотрим следующий ряд: 1 =у Ь„ „. (в ь5)(а'(п+5) а„ 1пп —" = 1 —,- ото консчное число„не равное О 1!,, Значит,, ряды ~~> и„и ~ Ь, сходятся или расходятся одновременно. '" Д.!я исследования сходимости в !о)нл о ряда воснользусь!ся и !! ! е!(яа'н ным приянаком с ходим ос ! н рядов. 1.сли псноторая ф) акция Г(х) уловлсгно!зяе: )слоннн~ у(н! =-6„, то сслн ~!'(х)с!х сходи~ел. то н ряд ~~ Ь схо.:нпся, а сели ~1(х)с(х расходится, зо и ряд Ь, расходится, Рассгиотрнга след~ н) д) ~о фунннинн 1 р(х) — — — - — — —:- —— (х- 5)!и'(х+5) Если !!'(х)4х сходится, то н ряд ',> Ь„сходится, если интеграл расходится, то и ряд ',> Ь, расходится.

Йх 'р!!п(х+5) 1 ! 1 , ( х + 5) 1п ' (х + 5), ! и (х + 5) 1п(х + 5) ~ „(п 7 Интеграл сходится„значит н ряд ~~~ Ь„сходится. Из сходигиоети этого ряда следуст сходнмость исходного. 1 ::Отясг: ~~ - — — — —,-- — сходится. , (и+5)1п'(н э !) ')адана 1!сследовагь ряд на сходичость: — ( — !1 ,,„х'5п — 1 4 .'и 1 т Рассмотрим а, = —,==-- 10 — — —: ,1 5п — ! 4~ и и и я О < — < -;-~ ~й убывает, а так как функпия ~'5х — 1 4 ~п 2 4~п 1 и а„=- 1а х'5п — 1 4х~ и возрастает, то последовательность выбывает.

'! огда: 1. 1ип =.=. ' !й = —. О Г---- ':.,~,. ~п —. 1 4,~п -- ! — 1)' Таины- образом, ряд ~, 1а признаку Лейбнина, сходи ься но " ! - 1)" 0 вен ряд Х вЂ”,—.=.—.— !й --':. с, )ди1ся. .,'5 — ! 4' Воспользуемся признаком Лейбница: если ряд ~~~ 1-!)" а„удовлетворяет условиям: а-1 1) а„— монотонно убываюшая, навивая с некоторого и = !ч 2) 1!п~а, = О, то ряд ,') (-1)" а,, сходится, па ~ 'й<.з;«а Х В< <'<испи п сумм) ряда с и<'ик<стьк) гп У -- — г< --- 0.0000) (-) )" „,, )2и))<1! Обо пьачим и-пый член ряда, как а„: !-!)" а, = )2п)) и! ')тобы вычислить сумму ряда с заданной точное <ькх слелует принять во внимание то, что члены ряда с рос гом и монотогппз убывактп 'Говда нам требуется найти сумму ряда до Х-го члена, где Х таково, что для любых и>Х выполняется неравенство (а„! й.

Найдем Х: ,'а,.) = 0,5 > с< ~а,( = 0,02083 > и (а,,: = 0,00023 > с< ',а,:: = 0.00000 ! < и = Х =- 4 Найдем сумму ряда ло 4-го члена: ,~~' а;. = — 0,47940 . р-! ()<нем ~~: = -0.47О40:: И,()000! (--!)" "...:; (2и)! и.' Зада га 9 Найги обласэ-ь схо гимос~и ряда: Х;., -,' Х ""1е' -' п)п Обэозиачим искоьгуго область сходимости ряда. как Х. !1ри всех х и всех и верно следуюгцес неравенство; х х 1 1е" + п)п '1'огда исходный ряд ограничен следуюпгим рядом: ! РЯд ~~ ч---,-сходитсЯ по пРизнакУ сРавнениЯ !гак как степень и равна 2, т.е. болыпс единицы).

Из этого заключаем. что исходный ряд сходгггся при всех действительных х. Отлет,,:,огбласгь сходимости Х .= ( —.-с,э- о) = К . 3аьл ~ (О 11ай ~ н о()яас'~ ь сходнмоспи ряда: (-!)" — -('х ~- 4)" ' '(4п !)3" 11рнвелсм пот ряд к стеленному: !)" — -'- — --;(х~4)' = ~~ а„(х-~4)", " '(4п»-1)3" ( — 1)" где а„ (4п +!)3" Используем формулу для нахоккдсния радиуса сходимости. основанную на применении прпзнака Коши: 'Гакнм образом, интервал сходнмости ряда будет выглядеть слсдукицим образом: — 3<хи 4<3 ~ хе(-7: — 1) Огв'т': область сходимос~н Х вЂ”.,'х н ('-7;-!),' 1 К =1(л- —.. и .

~ ! '~(а, ! !((4п+!)3" ! ., г= =1пп.(:-- — — ' —,( = 11пз'((4п+1)3*' = 3 1)п Задача 11 11айтн полнеть схолимости ряда: Х ,п(е "'')' Приведем зпот ряд к степенному, т.е. к виду: ~ а,х гдс а, не зависит от х н является постоянной величиной. Положим а, = и, тогда исходгняй ряд можно переписать в вилс: ,п(е "")" = ~ ча„(е "'")' '1 еперь иам требуется найти 1(пз п~ а„~ = (,; Я (ип О, а„1=!(пз'~(п и б Воспользуемсяследукиним равенством 1нп ~х( й ~- Ь = 1, где а и Ь постоянные числа. а>О.

1'огда: !аким обраям. оо 1еорсмс !,оип-Азама!хь область ! схолимостп Х =,', е " ' < — = !', . ) Рсгпим неравенство. побы в явном вилс зависаешь область схо, п1мости: е "' > ! = е'" => -в!и х > О =~ в!и х -: О ~ ! ~+2пп7 пп! Таким образом, Х = (-п+ 2пп,2чп), п ~ Х. Ответ: область сходимости Х = (-гг+ 2ггп,2пп), п е Х. ')',С 555: га 1й)йн) сУмму ряда: Произведем замену переменной: у --1 — х): ! . ! = !» ! "! А(у)=-К,— --у =-~"., — -у" =-~; —. "'")с+! у "Я)с+! у с Найдем сумму ряда ) ' --у Я!1, Рассмотрим произволну)о ~~~, — у 5: ( Ь.5,, ' / 'Ц;О (Сумма уб)5)ван)щей гсох)сгричсской прогрсссин) Прои'5асдем ооратнь)е 5)рс()ора)ования для нахоткдсния ! суммы !щд)5 „) — у, то 'сть возьмем интеграл: Чтобы пай~и конс анзу С.

найдем значение ряда н некоторой фиксированной то ~ке у, возьмем у — О. тотда: — 0" = 0 = — !и!'1 — О) + С ~ С.' = О ! х = 1 П Таким ооразом, сумма ряда ~ (1 — х ') есть * оО +! — !.- -- —,) 1п(1 — (1 — х ' 1) при ~! — х '! < 1, х ' > О с~ О < х < 1, и 1 — х не существует при всех остальных х. 1 1 з „- ( —,) 1п(х ),О < х < 1 Ответ:,) „(1 — х )" = 1 — хз -3,х е( а:О! ~!!.оо) 1-13йтц сумм) ряда; У",(и-1)!х') ' Рпзлоляим этот ряд иа сумму' двух Волсе врос гзлх )эядов; ',(и ч-1)(х )" =-~, п(х )" +,У я(х )" . 11роизведем замену псрсмсипых у =- х '.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов домашнего задания