18 (509763)
Текст из файла
Задача 1 Найти сумму ряда Х;,-, 72 """ п — 9и+18 Произведем эквивалентные преобразования ряда: Так как и -9и+18 = (п-б)(п-3), то получаем. что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде: 72 72 ( ! 1 " 'и" — 9п+18 ''"(и — 3)(и — 6) ~п — 3 и — 6 = — ( — ) ~ = "» „72 †. ( - -- — ! = 3 и — 6 и-3) "" 3 и — 6 и — 3' Х',( — — — ) =2 (Х', -Х;, 1 1 1 -.
1 "=" и — 6 и — 3 ""и — б "=~и — 3 с . ! Рассмотрим ряд э И,=Я „ Произведем замену ',и-6 = к,'. тогда суммирование будет 1 1 производиться от);= и-6= ,'п=8',-" 8 6=-2. а и — 6 1 .1"1одетавим полученные значения в ряд» '''"и — б ~ ~п-ь 6 4 ~к-.2 1, Задача 2 Исследовать ряд на сходимость; Х агс1а и н=~ 4 Обозначим а„= ягела'и и +3 ТаК КаК дпя ВСЕХ И ( )" > аГС1п И > О ти ЛЛя ВССХ И таКжс л .1 2 верно следующее утверждение: 1 л~ а„,. < —— и 8 л' „1 Докажем схолимость ряда — ~ —. Тогда из его Я в — 1 4 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда.
так как гогда он будет ограничен сходящимся рядом сверху и нулем снизу 1все члены ряда неотрицательны). 1 Обозначим Ь„= —,. По признаку сравнения и 1 1говоряитему; что ряд аида 7 -"- сходится голько ири дс * и условии. что а строго больше 1. ~..е. а' 1 и расходится в противном случае. при а 1), ряд -"- ~" сходится. л ~ 4 и гак как выполняется хсловис сходимосз и: 4>1.
, Лозтому и исходный ряд ~ - |оже сходится. агс1а'и 2.„1 и +> Ответ: ряд ~ ' —.....—.— сходится. т агс!д и 2... ";з--.—. и ) Исследовать ряд на сходимостзс ~> 1и и' 1 Обозначим а„= 1п . = !и!! —, ) и'+1 , э+1 1 1 При и -+ос 1и!! — . ) =---;— и'+1 и'+1 Поэтому получаем, что сходимость исходного ряда эквивалентна сходимости следующего ряда 1 " 1 и+1 „~ и Докажем сходимость ряда — — ~ —. Тогда из его 1 — 1 пм 2 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда, так как тогда он будет ограничен сходящимся рядом снизу и нулем сверху !все члены ряда отрицательны). 1 Обозначим Ь„=, По признаку сравнения !говорящему.
1 что ряд вида 3 , †, сходится только при условии. что а строго больше 1. т.е. а>! и расходится в противном случае. при а< 1) .ряд — — У вЂ” сходится, так как выполняется 2 ~~ам условие сходимости: 2>1. Поэтом) и исходный ряд ) 1и „тоже сходится. и +1 и' Ответ: рял,) !и —: -- сходится. и'+1 Задача 4 Исследовать ряд на сходимостгк и Ъ пя1п— 2п вл Обозначим а„= пз1п о~ 11ри п — + аз з1п( — ) = — . Тогда получаем, что сходимость зп зв лп исходного ряда зквивалентна сходимости ряда р й — ! 2~' лп Обозначим Ьь = — „ Используем признак Даламбера: ( л1п+1) 1пп~ — 'и 1= 1пп ' - = 11тп1 1 — =- <1 -',1, ! 2н '1'ак как 1ит признаку Даламбера рял сходится.
сели лля всех лосьвточно болыпих и выполнено неравенство — "" < ц < 1 а„ и, й,1засхолигся, когда — — — > 1, 'Го нсхо:шый рял схоиптся. а„ л Ответ: ) и в1п — сходится. зй сл Задача 5 Исследовать ряд на сходимость: 2 „н ~) и з1п"— п=1 П Воспользуемся признаком Коши: ~~~ а. - сходится. п.-1 Х а„- расходится. Если 1ип~~а„<1, то ряд Р~.~; Если !ипата„>1, то ряд 3 — ~У я 1ип~а„= 1ппс'и а1п — =0<1 2п н Ответ: ~ и з1п — — сходится. и-! 2п Таким образом, по признаку Коши исходный ряд является сход5пциыся.
Исследовать ряд на сходнмость: г „. -. 2пз~1п13п — 1) Воспользуемся предельным признаком сходимости. Если два ряда ~~» и„и ~ 6,, удовлетворяют условию: нм и„ 1пп —" = Е, где А конечное число, не равное О, то ряды ь„ ~а„и ~~» Ь„сходятся или расходятся одновременно. лы Рассмотрим следующий ряд: а 1пп —" = — —.- зто конечное число, не равное О :-" Ь„2 Значить ряды» а,, и ~ Ь„сходятся или расходятся одновременно. Для исследования сходимости второ~ о ряда воспользуемся интетральным признаком сходимости рядов.
Если некоторая функция ('(х) удовлетворяет условию /'(л) =)»„. то если )!'(х)дх сходится, то и ряд ~» Ь„ » »»=2 сходится, а если !Х(х)г)х расходится, то и ряд ~» Ь„ расходится. Рассмотрим следующую функцию: 6х) = 1 <». - »»» » »з, - »» Если ~~Г(хйх сходится. то и ряд ~~> Ь, сходится. если интеграл расходится. то и ряд ~» Ь,„расходится. дх 1 ~д1п(Зх — 1) 2 г — — — — -~ , (Зх — 1),„!1п(Зх — 1) 3, /)п(Зх -1) Интеграл расходится, значит и ряд ~» Ь, расходится. Из »-2 зтого следует. что исходный ряд тоже расхолится. 1 Ответ: ~ — - — расходится. ..
2п,!п(Зп — 1) Задача 7 Исследовать ряд на сходимость: Х( 1) 2п-1 Обозначим п-й член ряда. как а„: .„2п — 1 а„=(-1)" ----- Зп Найдем !ипата.!: й 2п — 1 2 !!пза„= !нп — = — ~ О Зп 3 Таким образом, не выполнено необходимое условие сходимостн ряда (!ппа, = О ). следовательно, ряд  — > расходится. .„2п — 1 Ответ: ряд ~ ( — 1')" — --- расходится. ь"-~ Зп Задача 8 Вычислить сумму ряда с точностью а: (2п71 и! Обозначим п-ный член ряда, как а,: 2п+1 а„= ( — 11" (2п ~ п!' Чтобы вычислить сумму ряда с задаьиюй точностью, следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают.
Тогда нам требуется найти сумму ряда до 1~-го члена. где Х таково, что для любых п>Х выполняется неравенство !а„! ~с Найдем М: !а,(=1,5 >а !а, ! ~= 0.1042 > а !а.,! = 0,0016 > а 'а,: ;= 0.000009 > и => !ч = 4 Найдем сумму ряда до 4-го члена: „2п+1 Ответ: ,'~ ( — !)" — = — 1.397+ 0.001 (2п !1п! Найти область сходимостн ряда: Х.
- (-Н"' о=з и«' о ' и Функция 1п(х"+1) определена на множестве ', х . 1>О,'. Г!ронзведем замену переменных 1п(х' +1) = цз > О: С-= (-1)"' С- (-1)' ' -и 1)рн (1>1); (-1)ко (-1)" ' 1 а„= †,-- = — < — . следовательно. ряд ограничен п и' и' сверху сходяьцимся рялом. а значит, он тоже сходится. причем абсолютно.
Прн (!АЙ!0;Ц1: (-1)"'. (-1)" ' п'"' -"' и' Таам образом. исходный рял сходится при М(О;сс), Пер«еГздем обратно к х; з'=- 1п(х ~-1) => х = «,"с' — 1 ' з е ~О.-з) =: х е (- т;О) ~ ~ (О: со) 0 ~ вст: область сходи мости Х = х е ( — х;О) ~.~ (О::о) .
Обозначим ряда- Х. (-1)"" а„==--, . а искомую область сходимости ьч «-'-~ ~ Задача 10 Найти область сходимости ряда: и 2п+! ,— — (х+5)" "-' (и+ 1)! Приведем этот ряд к степенному. ~.е. к виду: ~~~ а„х, где а„. не зависит от х и является постоянной величиной. й' Положим а, = О,а, = — — — тогда исходный ряд п=и ' в-,ио (~ 1)~ можно переписать в виде: 1'х+5)-'"' = ~ „,а,. (к+5)' Используем формулу лля нахождения радиуса схолимости.
основанную иа применении признака Коши: 1 . ~~(1<+1» К = 1пп — = = 1пп и ~!',! = ас с Таким образом, интервал сходимости ряда будет выглядеть следуюшим образом: Ответ: область сходимости Х = !х о ( — ж.„х)) 12 Задача 11 Найти область сходимости ряда: ',~ — —,1!п х)" амэй з Приведем этот ряд к степенному, т.е. к виду; ~~ „, а,.х'. гле а,- не зависит от х и является постоянной величиной. 1 ! 1оложим а „= —;, тогда исходньш ряд можно 2" и переписать в ниле: ,— —,(!пх)" = ~~~,а„!!пх)" Теперь нам требуется найти 1пп )'; а„~ = !.: о В 2 !нп2мпз Восполь )уехтся следующим равснсз вом: 11пз'ъ'ай+ !э =1, глс а и !з постоянныс числа.
а-'-'О. 13 Таким образом. по теореме Коши-Адамара, область 1 схолимости Х = Ц 1и х ~< — = 2) . Е Решим неравенство, чтобы и явном виде записать область сходимости: — 2<!пх <2 Подставим все части этого неравенства в показатели экспонент. Тогда получим следующее неравенство: — сх се 1 1 Таким образом, Х = ( — „,е ) с' 1 Ответ: область сходимости Х = 1 —,,е ) .
е' Задача 12 Найти сумму ряда: — !1 — х )" ~ = У вЂ” (1-х')" " 'и "'в+1 Произведем замену переменной: х . 1 Найдем сумму ряда р — у Р~с т~ рг~ро зглв~~~ — у ~: Я=1 1 (Сумма убывакяцей геометрической прогрессии) Произведем обратные преобразования для нахождения 7-. ! суммщ ряда 7 — у" . то есть возьмем интеграл: .й 4~с).
1 — - — -ду = — 1и!! — у)+С !! — у) Чтобы найти константу С. найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке у. возьмем у = О. токда: ~~> ' — О" = О = — )п(1 — О) + С =."~ С = О Вм ! Таким образом, сумма ряда ~, — - --. (1 — х" )" есть й=ь — (-- — —,)!п(1 — (1 — х')) при !! — х', с!=>;'х~ <1. и пе 1 — х сучцествует при всех остааьных х. — (- — — —;-)!п(х )+1,! х !<1 1,4 Ответ: ~~,— (1 — х )" = 1 — х ( — Л,!х~ >1 Найти сумму ряда: „(и+1)(х )" Преобразуем ряд: „(и+1)(х')"' =~~~,п(х )" Произведем замену переменных у = х .
Найдем А(у) = ~~, пу" . Заметим, что А(у) есть производная от функции В(у) = ~, у" . умноженная на у: В'(у) = ~~>,пу" ' А(у) = у. В'(у) Сумма ряда В(у) есть сумма убывающей геометрической прогрессии и позтому равна В(у) = —, при условии. что у 1 — у !у,< !. '!'огда производная от В(у) такова. у(1-у)-у(1-у) 1-у+у в(у)=- . 11 — у)' (1 — у)-' (! — у)' у Тогда А(у) '= у В(у) = у, = — "—,при !у,'=1 и не (1 — у) ' (1 — у) существует при,' у !> 1: (1 — у)" (1 — х') х* —...) х ~<1 Ответ: ~~>,(п+1)х'"" =1(! — х')' (м,! х />1 Задача 14 Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х; 1п(1+ 2х — 8х') Чтобы решить эту задачу, следует воспользоваться табличными разложениями в степенные ряды.
?1риведсм функцию к виду, удобному для разложения: 1п('1+ 2х — 8х ) =!п(1 — ( — 2х+ 8х')) Воспользуемся табличным разложением для 1п(1-у): (8х' — 2х)' (8х — 2х)" 1п(1 — ( — 2х+ 8х" )) = — ~(8х — 2х)+ — + „+ — ' — — +, 2 и ~-- (8х ' — 2х)" и Ряд, полученный нами, еще не является рялом Тейлора по степеням ' х. Следует воспользоваться табличными разложе!!йями еп!е раз. Для этого преобразуем функцию слслующим образом: ~'- (8х — 2х')" ' — ~ --= — = — ) — (8х — 2х)' п-! П ! и Восноз!ьзуех!ся табличным разложением лля (а'-Ь) ': и О-К вЂ” ~~~,— г8х — 2х)" =-~> 'У „,и пм с.-.О Иоложим гп = Х + и.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
