02 (509742)
Текст из файла
Найти сумм ряда 18 Произведем зквивалснтные преобразования ря нк Так как и -13п 40 = (п-5)(п-8), то получаем. что исходный ряд мы можем переписать в следующем виде: 18 . 18 1 1 ~" '2пг — 13п+40 "='1и-5)1п — 8) ! и — 5 и -8 — — — ) ~ = ~~» ',18 — ( — — — ) = Зп — 8 и — 5г ""' 3 и — 8 и — 5 1 ! 1 . 1 =б2 „,! — — )=Ь1,'~ „— -~,— ) "' и — 8 .и — 5 "~п — 8 "'и-5 1 Рассмотрим ряд ~ """ и — 8 Произведем замену ',и-8 = 1), твида суммирование ждет ! производиться от 1 = и-8 =','п=9г= 9 — 8 ==1. а .
и — 8 гт т . 1 Подставим полученньм зегачення в ряд 7 м-г гг 8 Произведем аналогичные преобразования и с рядом Х;;., 1 „— --. Тогда для него замена 1и-5=!г): ""и — 5 1 1 паиазиигое й =- и-5 = зп=й' = Π— .'., = 1 и — 5 1 Подставим данные в ~ ''п — 5 Итак, мы получили„что исходный ряд равен разности двух рядов: 18 "=" и — ! Зп+ 40 ~"=' !г ~'=' 1г Исследовать рял на сходимость; агси1-и и Ооозначим а„=- агсгя и и' 1ак каь лля всех и 1' — ) >агс1я и>0 го для всех верно след~:юшее утверждение: и а, < — — ' и' 4 л' ..
1 Докажем схолимость ряда — 7" —,—. 1'огда из его 4 ~н. ~ 3 сходимости будет следовать сходимость исходного ряда. так как тогда ои будет ог.раничен сходяигнмся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотрипатсльны). 1 Обозначим Ь„=- ' —,. По признаку сравнения (говорящем). 1 что рял виды гу --- сходится только при условии, чго а с: рого бальгие 1, ие. а>1 н расходится в противном случае. и ~ 1 при а <1)' ряд — ' 7" --.- сходится. так как выполняется х ~~во ':слоиие схолимости: 3>1.
агсгя-и :.1)нагом) и исхолныи ряд ~ тоже сходится. а Ответ: ряд ~ -,.-- ~г-.-.. сходится. агсгя и и3 Исследова гь ряд на сходнмостзп 1 1 ,),— — (а -— '"'и ь4 чп 1 1 1 яп(! ~~'п1 Обозна-пид а. = — (я — = — — т — ='. п+ 4 .,'и и+4 соя~1,~~ и) 1 1 1 1 Прн и — э =с з1п — = —,, соз — = 1 — —, позтому г з~п ('и з и 2п сходимость исходного ряда зквнвалентна сходимости следукипего ряда: " '~~и(п — ) " и 2и и Докажем сходимость ряда у'" . Тогда нз его 1 и" сходнмостн будет следовать сходимость исходного ряда.
гак как тогда он будет ограничен сходящимся рядом свсрху и пулем спзтзу (все члены ряда неотрнцательны). '4 ' Ооозна им (з„=,- —.—,. По признаку сравнения (говорящему. и что ряд вида . à †сходит только прн условии. что а " 'и" строго больше 1. т.е. а>! н расходится в противном случае. 1 прй' а<1) .ряд~ ==- сходится. так как выполняется п п условие сходпмостн; 15>1. 1 1 11озтому н нсходньзй ряд х — пд, тоже сходится. .~5=.: и, 4 ~П с ~ 1 1 Ответ: ряд у — - — !ы —, сходится. " 'и+4 Задача 4 Исследовать рял на сходимость: (д1)— У вЂ”, о ~ (п1') и! 1 2 6 и -- ( —;--) — ( —— 2" 2п' 2 2" 2"' 2' 2" 2 )ак как 2" растет быстрее чем и .
начиная хотя оы с ~-~м (п!) номера п>!00, а 7 —. есть конечное число. то л-.~ ' (п!) ряд~), можно ограничить сверху суммой: 2' ы(п!) .- 1 2 3 и, во(п!) ( —;=,—," —,)' <;ч. ' —,-- 2" и п п и "" 2" 111 1, ~в(п!):, 1 -Х', --'-- --)'=Х ' — ''Х',-ь, ппп п "~ 2" а-..~я~ % ' 1 Докажем сходимость ряда у, —,. Гогда из его сходимости будет следовать схолимость исходного ряда. так как тогда он будет о|раничен сходящнмся рядом сверху и нулем снизу (все члены ряда неотринательны). (Збозначим ! „= и '".
По признаку сравнения 0 оворящему, 1 - го рял вида „),— сходится только при условии. что а сГрого болеп!е П а>1 и расходится в противном случае: 1 а < 1) ',рял ~ — „' сходная. гак как выполняется уеповне сходимости: 2п>! при и и !1О1:х) Поэтому и исходный ряд тоже сходится. (и! ) Ответ: ряд ~ -': сходится. в~ 2' Задача 5 Исследовать ряд на сходимость: Воспользуемся признаком Коши: Если !ип ~'а„с 1, то ряд П Если !пп~!а„>1,. то ряд й-~ — 2п 1 2 !ипата„= !1щъ'и ~ — ~ = — с! 13п+5 ! 3 Таням образом„по признаку Коши исходный ряд является сходяшнмся, 2п : Ответ: р и ~: — — ~ сходится.
~х3п-5/ 2п '1 '. 3п-, 5/' 2 а„- сходится. «.—.! ~~~ а„- расходится. п 1 Исслсловать рял иа схолимость; Воспользуемся предельным признаком схолихюсти. Если два ряда ~~) а„и ,") Ь,, уловлетворяют условию: Ф=~ ю !гпз — ".= А. где А — конечное число. не равное О, то ряды Ь„ ~~) и„и ~ 6, сходятся или расхолятся одновременно. Рассмотрнзи следующий рял: 1 =;) 1„ „, (2п+1)1п'(2Й +1) а 1ип — '-'- ='' 2 — ' это конечное число. не равное О ь„ 3цачнт, ряды ~ а,, и ~~ )з„сходятся или расходятся одновремегпю. Для исслсловання сходимости второго ряда воспользуемся интегральным признаком схолимости рядов.
Если некоторая функппя ('(х) удовнетворяе с условию ~(п)=Ь,, то если )Р(х)ох сходится, то н ряд ~~> Ь„ и-. сходится. а если 11(х)с(х расходится, то и ряд ~ Ь, 2 расходится. Расскяотрим следующую функнню: 1 Лх) = —- (2х+ 1)1п (2х+1) Если (((х)йх сходится, то и ряд ~~) Ь„сходится, если в=2 интепрач расходится. то и ряд ~ Ь„расходится.
л-с , (2х+1)!и (2х+1) 2, 1п (2х-"1) 2 1п(2х-~1) „21п5 Интеко сходится. значит и ряд ~ Ь„сходится. Из в 2 'сходиъюсти зтото 1зяда следует схолнмОсп исходното. 1 Ответ: У-- —. сходится. и 1п (2п -~ 1) Задача 7 Исследовать ряд на сходи мость: Рассмотрим ряд ~:; и +1~ Воспользуемся признаком Коши: Если !ипата„<1. ьо ряд ~~> а, - сходится. сл Если !нп ча„>1. то ряд ',> а„- расходится, 6 и-! !!айдем 1пп ~а „; и ' ! 1пп,"„~а,, = !ни —.. = — <1 "- 2п+1 2 Таким образом. ряд сходится. а. и следовательно. ряд ~ 1-1)" ", ††- ' сходится. причем ',,2п -,1 ~' . аосолазтно.
и Ответ: ряд ~~~ ! — 1)" '! ~ сходится. '~ 2н+1,' Вычислить суммъ ряда с точностью сс — а=001 Х-:,— 1-1)" ' н! Обозначим и-ный член ряда. как а„: 1-11" ' а и! Чз обы вычислить сумму ряда с заданной 1очностькь следует принять во внимание то, что члены ряда с ростом и монотонно убывают. Тогда нам требуется найти сумму ряда ло Х-го члена. где 1ч' таково, что для любых п>Х выполняется неравенство ~ап1 Ит. Найдем Х: :а,1=1 > и 'а ~=05>и ,.'а., ~ = 0,017 > а '— ',а,, '= 0,042 > а, а, ~ = 0,008 > гх =~ Г~ = 5 Найлсйл сумму ряда до 5-го члена: 'У'а„ъ 0.63 Ответ: '> — = 0,63 + 0.01 ( — 11" н.
Найти область сходимости ряда: ~-' (-1)' ' (-1)" ' Обозначим а„=,,',— . а искомую область схопимостн .ь ряда — Х. Функция !п(х-'1) определена на множестве ',х+1>0,'. следовательно. Х с:,'х > -1) . Произвепем замену переменных !п(х+1) = Г: т-- (-1)" ' ~- (-1)""' ь~ «.в и ' и При (з>1!. (-!)"' (-1)"" 1 а„=,, = — — — < —.
следовательно. ряд окраничен и'" " и' п' сверху сходжпимся рядом. а значиц оп тоже сходится. причем абсолютно. При ((е!О:1 !)„' (-1)" ' >(-1)"'' в и л"-О ' з' (. осяаено" признаку Лейбница, при ~в(0:1) знакопеременный )зяд сходится. но только условно. Таким образом, исходный ряд сходится при !в(0:с).
.; Перейдем обратно к х: :т = !п(х - 1) =- х = е — 1 ! е (О.ос) => х в (О:,х) Ответ: обяасть сходимости Х = х е (О; с). Задача 10 Найти область сходимости ряда: ( — 1)" "='1п+1)5" 1)ривсдем этот ряд к степенному: Х „:- 3'=Х С-1)' — -- — —,1х — 3)' = ~ а,1х — 3)' п 11 +1)53 в ! 1-1)" где а„= — — — „. 1п+1)5" Используем формулу для нахождения радиуса сходимостн, основанную па применении признака Коши: 1 "':: ~5" 1п+1)~ Е = 1пп=-,=))гп,~"': = )пп"."5" (и+1),' = 5 ' '"'а ' '" ' (-1) Ч). Таким образом, интервал сходнмости ряда будет выглядеть слейуюшим образом: '-5'< х — 3 с 5 =~ х (-2:К) Ответ: область сходимостн Х =,'х ( — 2:8~', .
Задача !1 Найти облас~ь сходимости ряда: 8' .. Ъ вЂ”,!'япз' х)' Нриведем зтот ряд к степенному. т,с. к виду: ) и,х'. где а,. не зависит от х и является посзоянной величиной. 8' !!олотким а„= —,. тогда исходньй ряд згожио переписать п в аиде: п ,—,!а!и' х)" = ~,а,,!я!п' х)' . Теперь иам требуется найти !)щ,"„!", а„' = 1.: !пп ",:! а, ~ = !!гп "!! —, ! = !пи ч!и й-~'. Восйодьзуемся следующим равенством: !ип !лак '- Ь =-1, где а и Ь постовые числа. а>0. Тогда: !1 п,4 а„, = 8 г 'Рахим образом. по теореме Коши-Ала ~ра.
область 1 1 сходимости Х = (~ ь)п ' х ~< — = -) . 1. 8' 1'ешим неравенство. чтобы в явном виде ~а нсать область сходимости: (. ~в(п' х <--, ~а)пх < —, 1 ~' ' 3' ~ еип' х ,'< — сФ ( е> ~ <.~ 'Йп' х> — —;. ~а(пх> — —; 8' ~ х е (---+ 27Ф,+ — + 2ап). 6 ' ' 6 * 5а ' 7а ~ х е ( — + 27~в., — + оп), и е Х б. '6 Ответьобласть сходимости х е (' — --+ 2лп,+ — + 2ап), 6 ' 6 Х 5~ 7л ~ х с ( — + 27".и. — -' 277п), и е х( 6 "'6 Задача ! .: Найти с) мму ряда: Произвс:; м замену переменной: у = —: и 1,.
1 .. 1,, 1 -. 1 А(у) =~~, — — у' = — T — -у' ' =-~ -у' ,-Ой+1-,с с=а) „1 ! Найдем сумму ряда ~ — у 1=! 1 1 Рассмотрим производную ( ~ — у )': з у. 1 ' ' ' 1 — у (Гумми збздваюшей геометрической прогрессии) П)доз!заедем обре тн ые преобразования ддя ззахоястенля 1' ,, руммы ряда ~ "' „то есть Возъмем иитсв1зал: ~~;-! 1, Чтооы пай~и константу С'. найдем значение ряда в некоторой фиксированной точке у. вочьмем у = О. тогда: Таким обрааом х 5 1 5 „— ( — )!п(1 — — )+1,х > 5 . Ответ: ~ „— ( — )" =~ 5 х "' "и+1 х ~-~Б,х <5 х.," 5. -( — )1п(1-, ) при 5....т всех остальных х, 1 5 сумма ряда ~, — (:-) есть ""пч-1 х 5 1 — — > О с> х > 5.
и не существует при Задача !З Найти сумму ряда: Х,,(п+5)(х )' Разложим этот ряд на сумму двух более простых рялов: (и +5)(х )" =~~~ п(х )"'+5~~ (х')'. 11роизвсдем замену переменных у = х!!айдем Л(у) =7' пу" . Заметим. что Л()) есзь производная от функпнп В(у) = ~~, у" . умноженная на у: В'(у) = "~,пу" ' Л(у) = у В'(у) . Сумма ряда В(у) есть сумма убывагошей геометрической у прогрессии н поэтому равна В(у) = — ---- .
при условии, что 1 — у ,'у<1. Тогда производная от В(х) такова: у(1-у)-у(1-у)' 1-у;-у В'! у)— ()- у)' (1 — ) ) (1 — у) 1 Тогда А(у) = 5 В'(у) = у,- = — -- ', при ~у!<1 и ие (1 — у) (1 — у) сушеств~'ет при ' и(>1: 1 ~ ';:.(п -: 5)(х ' )" = У, пу' +5~ ','1 — у 1 — у у —.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
