Вариант 11 дифур (509581), страница 2
Текст из файла (страница 2)
у — 0 ..О Ъ' =- 1- —; ..Ф ДХ =' =ДЪ 'уу1 6 ъ "ъ ' +36=0 3303а 1а 11 г' Иай 1Й решение вайа-.1Й Коши'. у3рои1ае31ем С31е11ъуаиау 1О '3амену Йеаемеииой: Зайншем ураайенне а ноамн ЙС13емейна1н: р'ру1 +»6 =- 0 Перейдем н урааиейн1О с ра11деляи33Йимнся Йеременнымн, 6р ъана1,1аая, ЙЪО3 р* = — —: 0ЪЙ 36 р0р = — -': —;Оу П11онйуе333ируем 33ааънЪ и Йумау3О нас1н урааней31Й: М33 ЙО.ОЙЙЙЙ е1ие ОЙЙО «рааиейнс е раайела161иймиеа Йеремшйй-,1мй. 113ЙЪЪъ1Й ло ршй1Л1, Йр3313Й1311рйруем обе Йаее31 ъ33айнейня Б аыра'Й1м '1 Нерее 3: 106 =: 1-'-0у::.-' а =- — - ' ъъ — у= ъ313а 3уа 6' 12 0иредъъей1м а31Й'1еййе ЙЪЪйсе ай1ы А: у<0) --- 3 =.е 3 =- ъ' Л аа Л = 9 Найти общее Рещение дггфферейцныьного уравнения: у + у" = 5К' —.! Зто неодйорог~~ос линейное дифферейцггаяьйое «раайсййе 3-го порядка. Бго решение является суммой общего решсщгя ощ~ородног««уравнения и частного решения неоднородного.
Найдем общее решение. Для чего составим характеристнчсскос урайнснне: а" +В=0=: а,, =0 В. = — 1 1сперь нам нчжно найти частйос репщние ЯСОднОРОдноГО уравнения. Будем искать его в следующем виде: . у=-х (Вх .~-Ьх . С1 Подставив ато выражение в исходное уравнение, получим слсдуюище айачеййя коаффицйенгоа а, Ь й с: 5 — 10 а = †.Ь = — —.с =.— 12 6 2 ТОГДВ полнгге рещение дйффе1«енипального урВВнснйя О«де'Г 'таким: 5,, 10 г 9 у = А - Бх -ь 15е " ь --х ' - — х' + -' х 1О б Згощча 15 . / 11айти Обпг««репгенйе дйффсренцйачьйОГО «ураянення: у" — уу' ".
2у =-14Х;- Ой и )та исолиородное линсщим лпффср "йпаалыим уравнение 3-го иорядкь 1и ° Рещ«йне Валял я суммой ьчбгдсг Реиьжнпя ол1ю1кщй*ч о «Раяйсиия н частного Рспжяйя неоднородв~г;~ Найдем оьпщ«реал«чщс. Ддя -ьло составим характсрис1ическос ':РВВиепи«с А' —. Зй -г 2 =-. 0 Корни харак Гернстичсског 0 «ураннепня: уч=1 Й,=1 й,= — 2 Тогда общее решенпе однородного днфференциаяыюго ураййсййя О:;дст йьп ляпать следующйм об1«аяом: у =С'„-е'+С,.х.е' +С,.-еч'" Найд«м частнОс 1«ещейис неодиОродйого ураайснйя. Будсм нскать е О В следующем Видс: Запишем первые грй Оройааодные лого решения: у„„= 4ае " + 4Ьхе'" ч 2ЬС ' ч 2Ье ' =.
4ае ' + 4Ьхе-' ч 4Ье ' «"„= йае-' ~-ЙЬХС ' ч 4Ье' ч ЙЬС ' = йае ' ЧЙЬхе' ч12ЬС" «'.г 23о ч йу == —;я(и х 3., =.-1я21 =( 3«. 3О'«Х 33 Е «3О ПО((став33м 3«зст33««е 13«.шшн3е и нсхОЛИОе у рави«.иие и найдем ко фф33циентм а и Ь: Зае' - Зьхс«' . 12Ье ' - 1(2ае3" + 2Ьхе ' + Ье3')+ + 2(а ч Ьх я". " = (4 х + 33 я ' =. =' х(ЗЬ вЂ” бЬЯ2Ь1с'+(За+1 Ь вЂ” ба — ЗЬ+2а1е-" =14хч-9)е ' Ренгеннем 3той систехгм будут следующие значения а и Ь: Подсгавнм 'т«И3 зиачення в фо(3муяу вля ча«:ТИОго решшо3я неоднор31диого уравнения и вайд~и е3.О: 1Огла ИОЗИОе релшние дифференннальногО уравнения буд(ет (аким: у =. «о + у«« =(;«.с«ч-Ся х е" +С« с ' + хе О3 вег3 у — — С, е' + С, .
х е ' + С, е " + хе"' 33н(ача 14 3г 11айтИ 33«ч333ес (зе333с3333е диффео«ИНИОЯ3 Иого у(за3«ие3333я: 33О 33С3«3333«31«Г«.333««С ЛИНЕЙНО«.* двффе(3ЕН353ЯЛ3 Нос 3 р«3В33С33ИС 2-го оорядх с 1:3 о р«яоение яг«,'3яе3ся суммой «воще3 о рсшеш«я ооюрод3Н го уравнения и частного рсоюния и «33(И33Р«3!333333'«3." Найдем общее решсоие. Лля чего сг«с3т3вт3х3 хар33хче(333ст33ческ««е уТхзвне33йе: Кори33 характеристического уравнения: Тогда обшее решение однородного дифференциального уравнения будет вь33.лядеть следу3ошим образом: у" ' Зу' ь 5у = --2яп х; у„, =!пМ вЂ”,, )~(1) Усоах.(а)пх'1 (сова 1а1пх') Ль2; 1; +1 (соьхч.(ь)пх)(2-1)) 1 =' -1пз~ — — — — —. = — — (2ь(пх — совх) 5 1 т = у, ь у,.„= С е сов 2х+ С„,е " в)п 2х — — (2в)п х - сов х) б)тает: у .= С,е ' сов 2х + С,е ' в( и 2х — — (2 в)п х -.сов х) Задача 15)в~ Найти общее рещение днфферснниальнопо уравненнхе т' ~ 16т — 1осочлх 1б"" зто неолно)полное лппсйнос лнффе)нннонь:.ьн .е у рарнснпе Зчо порхлха 1но решение Явллечсл с)мьиуй ойнето )ьлнеййй олноро,нмло уравнения и частно! о й~нпення пео пнчхиньнн н Найден обн1ее ре~пенне.
Длл нето составив хйрактерпст'нческое уравнение: Тотдд общее решение однородного дйфференпиальното уравнения будет выплядеть следунтщнм ооратоьп Найдем частное рещение неолнородното уравненнл, прнпсннв п)тннпнп суперпотнпнн. НаЙдеп частнь~е решения дла кюкдосо слеплено о ив составлякнцнх правук1 часть дифференциального уравнения: з бнл:-0 ( )бхай'" у -~ Рйу =-16соя4х: у = Ке( —; —, Г Р'(4(), ,' . 'Ох(соя ях + ( айз 4х) ) =- йе! — — —: — ----'-'-- — - = 2хгйо4х М Согласно гйнгинину сутгернозиггин. Настиое рещение неоднородного ураанения оулет раино сумме иастнмх решений дяя гаохлО1 О слагаемОГО: йгогда общее рещение будет тахим: — В4, +С, ) 4.+'.
В) 2 Ответ: у = С,, соя4х + С. Гйи4х+ 2хага4х — — е'" 2 4С )'ь6)' -Зу=-— щгй -р йо неоднородное лннсиное лнфференцнальн гс «раансыге 2-Го норялха. Е~ О нрааая насгь тахоиа. Нго настное реп|ение мсио урснисния нельзя найти методом подбора. Найдем Обнаге рещение, Гнзя него сосгаиим харахзеристннссхое урааненис: тйгда Общее решенис ОлнороднО1 О лифференннального ураанснйя булст Выглялс Гь сяелунзгпим образом: Кайлом част1к е реп1енис неоднородного сравнения. используя лля Втого ~~т~д Варнаннй нронзаояьнмх постоянных. Для:ного перейдем от пронзаояьнььх констант С, и С к функнням С ~(х) н С (хи у =С,(х)е '" БС»(х)е" (*) Валожнм дополнптельиое тсловне С, (х)е ' ».С, (х)е" =О Вь»естс с ураВБ».нн».м.
БО»т)'чаям»пзьзся ЛОсле подстанОВББ функ»щн ( ) В исхОдзюе диффс(»енп»пвтьное уравненпе. Мы полу мем следующую снстему уравнений с двумя НЕБЗВЕСТБЗЯЬ»Б: С'» (х)е ' БС. (х)е" = 0 Г2' — 2С, (х)е ' — 4С, ('х)е +е Выразнм С»'(х) через Ст (х) с помощью первого уравнения С„(х) =-С, (х)е "' ИспользОВВВ Второе уравненВе системы, получнм следукяцне выражения: 4~ 2» — ЗС. (х)е ' =, .=~С, (х) = —, => +». .=ь С.
(х) =- -2 ( — -- —,— »(х = — 1п(2+ е ') ь В » В зтоз» вь»разкенггп  — зто константа, Теперь найдем С»(х). С, »х) == — Сз (х)с = -,, =, =Ф С,(х) = ('2 + е " )е '" '+».* " 2 1 «! 1 )йянде»з»ырвую Броз»»зв»ол»п ю О» по'»т" миног»ъ Вь»р»»же»з»»зп у' =-.(2А-.1»з(2зс") ь (п(е" ) ь4Вс ' — 4с "1»з(2 ее"'))с ВсхОЛЯ Бз начальных ) слоянй. н»»йлехз 3 у(О) =-.0.=~ — — рп)+А БВ.=О=- А».В 1 у"(О) =О=я — — „+51ПЗ вЂ” 2А — 4В =-0=- 3 1 1 . 1 .- В=1пз- — =БА= — 1ПЗ-'— 6 ' 2 6 ХОнстанть» А н (з." 3 =: — "1пЗ 1 -ЗВ =- -- — 2 1п 3 =* 3 '1»з»дв рещенне задачн Кощн о»дет Выгляде~~ так: 1 1 1 я, 1 у =( — 1пЗ+ — — — 1п(2+с,")+ — 1п(е»" ))е ' + 6 2 2 Т )) -»» 6 Ответ: 1 1 1,, 1 у = ( — 1п 3+ — --1П(2+ с ')+ — 1п(е "))е " + 6 2 +(1пЗ- — -1п(2+с"))е" 6 А — -»то такж»: БОБстанта.
1(олс»алим С»(х) Б Сз(х) в вырая»енне для у; .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
