Часть 4. Функции комплексного переменного - Теория и практика. (509318), страница 83
Текст из файла (страница 83)
101, 7:23, 7г24 Эйлера — Пуе еие интеграл, !91 эясмснт — анаяитичсский, 232 — группы — — единичный, 1Π— — нейтральный, 1Π— — нулевой, 1Π— — обратный ванному, 10 — канонический с центром в данной точке, 233 южный повию, 31 ядро — Лири»ее, 35 — Ко»си, 179 Оглавление Предисловие . Глава 1. Основные структуры математического анализа ..
...4 ,.4 .10 .18 .20 Глава 2, Комплексные числа и функпии комплексного переменного..... 20 01 02 03 04 05 бб 01 02 03 Элементы теории множеств и отображений. Некоторые логические символы (4) Обозначения, используемые в теории множеств (5) На- туральные числа. Метод математической индукции (5) Простейшие операции над ьгножества* ми (б) Упорядоченная пара и декартово произведение ьгножсств (7) Бинарные отношения.
Про- екции и сечения бинарного отношения. Обратное бинарное отношение (7) Фунхцнонкчьное бинарное отношение. Функция и просшйшне понятия, связанные с нею (8) Обратная функция. Композиция отображений (9) Параметрическое и неявное отображения (9) Изоморфнзм (10) Математнческне структуры .. Группа (10) Кош цо (10) Тело (10) Пале (П) Векторное пространство над полем К. Нормиро- ванное пространство (11) Метрнческне пространства Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства (12) Шары, сферы, диаметр множества (13) Открытые множества (14) Внутренность множества (15) За- мкнутые множества, точки прикосновения, заьгыкание множества (1б) Компактные множества. Связные пространства н связные множества. Предел н непрерывность отображенна нз одного метрического пространства в другое. Предел н непрерывность отображения (20) Непрерывность композиции отображений (21) Не- прерывность обратного отображения (22) Предел и непрерывность отображения в смысле Ко- ши.
Некоторые свойства непрерывных отображений (22) Равноьгерно непрерывные отображе- ния (24) Гомеоморфизмы. Зквиаалентные расстояния (25) Комгьтексные числа н комплексная плоскость. ..26 Определение комплексного числа (2б) Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы его записи. Умножение и деление комплексных чисел.
Операция из- влечения корня нз комплексного числа (28) Стереографическая проекция и ее свойства (29) Примеры (31) Топология комплексной плоскостн. Последовательностн комплексных чнсел. Свойства функннй, непрерывных на компакте . 43 Топология комплексной плоскости (43) Замкнутые множества, отрезок и ломаная. Связные множества (45) Последовательность комплексных чисел и ее предел (45) Свойства компакта К С С (47) Предел и непгюрывиость функции комплексного переменного (48) Арифмети- ческие операции над пределами и непрерывныьгн функциями (49) Предел и непрерывность композиции функций (49) Свойства функций, непрерывных на компакте (50) непрерывные н гладкпе кривые.
Односвязные н многосвязные областн........... 50 Примеры (53) Оглавление 347 . 63 Упражнения для самостоятельной работы .. 79 Глава 3. Элементарные функции в комплексной плоскости.......... б 1. Дробно-линейные функции и их свойства .. Определение дробно-линейной функции. Конформиость отображения (83) Геометрические свойства дробно-линейных отображений (84) Дробно-линейные изоьгорфизмы и автоморфизмы (Вб) Примеры (88) й 2.
Степенная функция ьт = г" (а е (т(, а > 2). Многозвачная функция и ш,"/г и ее поверхность Римана.................... Степенггая функция (9!) Многозначная функния ы = ~тх н ее поверхность Римана (92) Примеры (93) й 3. Показательная функция ш = е* и многозначиая функция л = (л ш........... Показательная функция ы = е' (94) Многозначная функция г = ьп ш (96) Примеры (96) 84. Общая степенная и общая показательная функции Общая степенная функция (97) Общая показательная функция (98) й 5.
Функция Жуковского. Определение функции Жуковского. Конформность (99) Примеры (100) б 6. Тригонометрмческие и гиперболические функции Примеры (105) Упражнения для самостоятельной работы. 83 83 91 94 97 1О1 145 Глава 4. Интегрирование в комплексной плоскости. 149 149 153 156 159 162 175 81 %2 83 84 85 бб Дифференцируемые функции комплексного переменного. Связь между С-диффереицпруемостью и Кл -дифференцируемосгью.
Аналмтнческме функции . Определение дифференцируемой функции. Правила дифференцирования (63) Дифференциал функции (бб) Критерий лифференцируемости функции комплексного переменного (67) Ана- литические функции (68) Геометрический смыся производной функции комплексного пере- менного. Понятие конформного отображения (70) Плоские физические поля и их связь с ана- литическими функциями (71) Неравенство Лагранжа (73) Примеры (73) Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши.
Интеграл Ньютона — Лейбница . Первообразная (149) Интеграл Ньютона — Лейбница (!50) Линейность интеграла. Замена пере- менных и формула интегрирования по частям (!51) Производные и интегралы Ньютона — Лейбница любых порядков.............. Определение и-производноп н п-интеграла (153) Формула Ньютона — Лейбница. Производныс по пределам интегрирования (!54) Формула Тейлора (156) Производная Ферма — Лагранжа.
Формула Тейлора — Пеано.......,........... Производная Ферма — Лагранжа (156) Теорелга Тейлора — Пеано и ее обращение (157) Криволинейные интегралы Интегрирование функций по ориентированной гладкой кривой (159) Гомотопия лвух кривых (путей) (!61) Теорема и интеграл Коши Существование локальной первообразноя аналитической функции (162) Первообразная вдоль кривой (даоль пути) (165) Теорема Коши (166) Интегральная формула Каши (172) Прилге- ры (!73) Ивтегрвл типа Коши Определение и основное свойство интеграла типа Коши (!75) Гармоничность деаствитель- ноа и ьгнимой часта» аналитической функции.
Восстановление аналитической функции по 348 Оглавление ее действительной (мнимой) части (177) Теоремы Лиувилля и Морера (178) Главное значе- ние и предельные значения интеграла типа Каши (179) Формулы Шварца и Пуассона (181) Примеры (М4) Упражнения для самостоятельной работы ... 195 Глава 5. Ряды аналитических функций. Изолированные особые точки. .197 б 1. Ряд Тейлора. Обшие сведения о рядах (197) Последовательность функций и функциональный ряд. Поточечная сходимость (198) Равномерная норма функции. Равномерная сходимость последоштельности функций и функционального ряда (!99) Нормальная сходилшсть функдионального ряда. Признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов (201] Функциональные свойства равномерной суьгмы функционального ряда (203) Степенные ряды (208) Теореьы Тейлора (208) Теорема единственности (210) Примеры (212) 197 б 2.
Ряд Лорана и изолированные особые точки аналитических функций.......... Теорелга Лорана (219) Классификация изолированных особых точек в С (221) Поведение аналитической функции при подходе к изолирошнной особой точке (222) Бесконечная изолированная особая точка (224) Примеры (225) 219 Упражнения для самостоятельной работы Глава б. Аналитическое продолжение. .231 .232 б 1.
Основные понятия. Аналитическое продолжение вдоль пути,.....,.......,... Свойство елинственности аналитической функции. Определение аналитического продолжения (232) Аналитическое продолжение вдоль пути (234] Инвариантность аначитического продолжения вдоль пути относительно голготопных деформаций этого пути (235) б 2. Полные аналитические функции Понятие полной аналитической функции (237) Примеры полн ьы аналитических функций (238) Особые точки полной аналитической функции (239) Сушествование особой точки на границе круга сходимссти степенного ряда (240) б 3. Принципы аналитического продолжения ..
Примеры (241) .240 Упражнения для самостоятельной работы,, .243 Глава 7. Вычеты и их применения, .245 б 1. Определение вычета. Основная теорема Вычет относительно изолированной конечной точки (245) Вычет относительно бесконечности (248) Теорема о вычетак (247) Примеры (248) б 2. Целые н мероморфные фупкцяи .. Палые функции (257) Мероморфные функции. Теорема Митгаг-Леффлера (257) Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (259) Примеры (282) 257 264 б 3. Бесконечные произведения . Числовые бесконечные произведения (285) Равномерно сходяшиеся бесконечные произведенля (287) Представление целой функции в виве бесконечного произведения (287) Разложение а)па в бесконечное произведение (269) Род и порядок целой функции (270) Мероморфная функция как отношение двух целых функций (270) Примеры (271) 349 Оглавление й 4. Применение вычетов для вычисления интегралов и сумм рядов ...............
Применение вычетов лля вычисления определенных интегралов (274) Приьгенение вычетов к вычислению сумм радов (278) Примеры (279) Упражнения для самосп)игольной работы 291 295 295 312 . 334 Литература .. 338 Предметный указатель. ..339 Глава 8. Некоторые общие вопросы геометрической теории аналитических функций......,...,, „,,..., б 1. Принцип аргумента. Теорема Руще Вычисление интеграла — „, ) дП)(-л'бг (295) Теорема о логарифмическом вычете (29б) во Принцип ар1умента (29б) Теорема Руше (297) Примеры (298) б 2. Сохранение области и локальное обращение аналитической функции............ Принцип сохранения области (300) Локальное обращение аналитических Функций (301) Примеры (303) б 3.
Экстремальные свойства модуля аналитической функции........................ 304 Принцип максимума ьюдуля аналитической функнии (304) Лемма Шварца (305) Примеры (305) б 4. Прищщп компактности. Функционалы на семействе аналитических Функций.... 308 Равномерно ограниченные и равностепенно непрерывные семейства функций (308) Принцип компактности (309) функционалы, определенные на множествах Функций (3!О) Теорема Гурвица (ЗП) б 5. Существование и единственность конформного отображения ....................
Конформные изоморфизьгы и автоморфизмы (312) Примеры автоморфизьюв (3!2) Существование и единственность изоморфизьюв областей, изоморфных единичному кругу (313) Теорема существования (314) б б. Соответствие границ и принцип симметрии при конформном отображении....... 315 Теорема о соответствии границ (315) Принцип симметрии (31б) Примеры (317) б 7. Конформное отображение многоугольников. Интеграл Кристоффеля — Шварца .. 318 Отображение верхней полуплоскости на многоугольник (318) Случай многоугольника, имеющего вершины в бесконечности (322) Отображение верхней полуплоскости на внешность ьгногоугольника (322) Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник (323) Эллиптический синус и его двоякая периодичность (324) Отображение единичного круга на многоугольник (32б) Примеры (328) Упражнения для самостоятельной работы 332 Боярчук Алексей Клнментьеянч Справочное пособие но высшей математике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
