Гришина Г.В.,Демин А.И.,Михайлова О.В. Функции многих переменных.МГТУ 2003г (506117), страница 4
Текст из файла (страница 4)
9 16 Следовательно, »(х,р) в точке Р(-5,4) имеет условный минимум»(-5,4) = 15, а в точке Я(5, -4) — условный максимум »(5,-4) = -3. Пример 11З, Исследовать на условный экстремум функцию «« = хрз»з при выполнении условия связи х + 29 + 3» = а, Решение. Составим функцию Лагранжа для вспомогательной функции е = 1а ьс Х = 1п х + 2 1п р + 3 1п» + Цх = 22«+ 3» — а), Х = — +Л=О, 1 х 2 Х„= — + 2Л= О, р 3 Х, = — +ЗЛ=О, » х+29+ 3» = а Тогда из системы 6 а получим Л = --, х = 9 = » = —, Второй дифференциал «(2Х, — ~~ » огрица тельно определен во всех точках. Следовательно, в стационарной га а ах точке Р = ~-, —, — ) функция е, а вместе сией н функция 2«, имеет ~6'6'д «ата в точке Р максимум««(Р) = (-) ~61 Прадазззгениг задачи 1 8 а) У(х, у) = х~у ч- 2хзуз+ -;ху +х — у а) ~(х, у, х) = х у + у в + х 6) ~(ха + уз+ хз, хув, увв) а),в 2( .
„)вв .. „в . О г) Р(ха+ у, в) = О 6) У(хв .~. уч 4 — ув) а) г = 1п(ух — х) в)à — — = О а) З(х, у) =: х вел(х ч. у)ч. +угла(х + у) а) Дх, у, х) = 1п(х+ у — х) 6)г*(хз ~ уз ч.хз,х у ч в, ху 1 6) Дв1пхг, в(пуг, ыпху) в Ф „) ге1 а) —, — 16 Яг 'уз в) Г ~)п-, г) = 0 а) Р'(г"', 1пху) - О 12) а) Дх. у),; ып(хз . уз . 11 6)У(г" в)пу. гагах, хув1 а 1 г «~Х уба ц, ч:ч,-.ч-„„ч, + в) г(ху, ух, гх) -" О а) Дх, у, в) = вгаГкх + «гс1йу+ +вх«ткв 6) Де в, вгсв)пуз) а) Ох~+ бу~+ бхз -- 2ху 2у: ! -2хг-72 =-0 ! в)Р(у — х, а*') == О ,зх у) Домашнее задание (Варианты 1-30) Задача 1 Найти первый и второй дифференциалы: е) длв функции двух нлн трех переменных; б) ллл сложной функции; в) н г) для неявной Функции; в пункте г) найти только первый дифференциал.
а) Дх, у, «) = 1п(хузвв) 6)((хв, у', ') в) х" + у'+ х" = 4хув в)Г(х+х, у+х) =. 0 1'1, а),((х, у) - (2хзуз х 1)з 1611(ху, х — в, у г) ,а)х -хг у "0 10 1З Замена Уравнение дх дх 2(х+р) — + — = 0 дрг дх дг дг — + — =0 дхг дрг дгх «дгх жг дх рг дх г + г ' О д г др«рдх хдр дгх дгх — + — +агх= 0 дхг дрг дг дг, дгх Зхг — — З р — +Зр — =0 джг дхдр дрг дгх дх дх (1+хг) — + с+2х(1+ а ) — = 0 дхг др дж дг» д'х д'» дх дх —,+ — -8 — + — +З вЂ” =0 дхг дхдр др«дх др д д ° д. — +2 — + — =О дхг дхдр дрг , д'х д'х,д'х 4рг — — 12жр — + Зж — = О дхг дхдр др' д«х,+ д' г дгх егх — + 2в'+" — +е "— — хх = 0 де « дждр дрг дгх дгх г дгх хг — +2хр — + рг — = 0 дхг дхдр дрг дгх дгх — — 2» — =О, хФО дхг дждр «дгх дгх г дгх дх Зх« — — 4»р — + рг — + Зх — + дг д д„дрг дх дх +р — =О др= дгх дгх дгх — — 2 — + — =О дх д др дрг х = н сов ю, и = наш с х = е" сове, р = = е" ало и= и — Зж, с = р+2ж ж = н сове, р = ов1нс м=х',с=х+р Задача 2 Преобразовать уравнение, приняв и(ж, р) и ю(ж, р) за новые переменные.
и =е""/г, е = е х(г и=хг+рг, с=» н=хг-рг, и=жг и = р+ 41н(»1ах), с = р + 1п(вш х) и — х+огвх, с = — х — юВ» дгх дгх е — +е" — =О дж« дрг «д х г дгх гдгх,дх хр — — 2ж р — +ж — — р — =0 джг дхдр дрг дж хф0 г дгх дгх г дг» дх рг — + 2хр — + 2жг — + р — = О джг дждр дуг др д« дг дг„ 2 вшг ж — — 5 вш 2х — + 8 сов« х — = дхг дхдр дрг =о дг дг. дг — — 8 — +12 — = О дхг дхдр д г дгх дгх х — + — =О, х<О дхг дрг гд» д х гдгх ждх х — +2хр — + р — + — + дхг дхдр дрг 2 дж рдх +- — =О 2др дг дг д« вЂ” + 2 — + сов« х —— дх д др др 1'д» д»1 — с«Зх1 — + — ~ =0 (,дх др/ дг», дгх г дгх вшг х — — 2р вш х — + рг — = 0 дхг д др д,« дх «дх — =а— дхг дрг , д'х , дг» дх дх (1+жг) — +(1+рг) — +ж — +р — = О дх« дрг дх др , д'», дгх дх 26 х — — р — — 2р — =О дхг дрг др Продолженне задачи 2 я = у+ ах, с = и- -2~/-ж и =р-ах, с= р+ах н = 1н(х+ Я + х~) "1 (р+ Ф+рг) 32 Окончаниезадачи2 Задача 3 Ддя заданной поверхности к = а(ж, р) найти в точке М: а) уравнение линии уровня функции я~а, р); б) производную я(ж, р) по направлению, заданному вектором или углом с осью Ож; в) направление наибольшего возрастания к и производную по етому направлению; г) уравнения касательной плоскости и нормали.
Окончание задачи 5 Задача 4 Исследовать ив экстремум фуякции двух и трех перемеииых. х = (х — р)2 — «+2р х = фР+рз — Хр х= ~/хз+рз 13 14 15 х- гхз+бхр — рз — 4 256 хз рз 2 и= — + — + — +х х х 10 21 ~ГРЗИГР=*~о+ -4 но,ч, 1 М(, 1) М(1, 1) М(1, 1), «= 1 М(0, 1) М(-2, 1) М(2, 2), х=-3 ~М(3, 4), « = -12 24 х = в!п 1'Р1 х = гз = агсгб ( -~ =+ (В 25 12 26 13 15 е' — х + хр = 3 17 г 1' + 221' = 8 з+„в+ хз+ 19 „2 .~- «3 = 12 20 х = еч соз р 21 х = х-р+~/Дщ~ 22 хрх(«2 — х ) = 5+рз 27 х =!п~/хз+и 23 х = 2хз — 4рз 29 хз+рз — »2+1=0 30 аз+и'+»2 =169 М(1, Ц М(-3, 4) М(0, О) М(2, 1), х = О М(2, 2), х = 1 М(1, 2) М(1, 2) М(1, 0) М(О, О) М(1,1),«=2 а( — 1, -2) а(1, -1) а(1, 1) а = 1г/4 5(-1, 1) а = 51г/6 а(2, 1) а(1, -2) а = вгссоз(5/13) а = вгсз(п(2/3) а(1, 1) (1/4) 5(-1, -1) а(2, 2) а(1, 1) а(1, -3) а = агссов(1/3) а(1, 1) х = х — бхр+ Зр — 9х з 2 и=« +р +(х+1) — хр+х х=грфв+х+грз+гр и = хз+ рз — «2 — 4х + бр — 2» х = рз + Зхзр — Зхз — 12р ар+ах +рзх и= +х+1 х х х = 2хз — бхз — бхр+ Зрз — 5 2 рз 2 и + + рх хх хр » = 2хз+рз+2хр — 4х — 1 и = (х + 7х) е М +" +* ~ х = х /р — хз+Зх- и+ 7 и =х +2р +»2-2х-4р-6«+1 х=р +бр +б р+3, — 9р и = 8 — ба+49 — 2» — хз— -р — х 2 2 х = 2хз + 12хр — Зрз+ 18х и= хз+рз+»2+бар — 4» 4 1 х = х — р — — — — + 11 2 грз и = хрзхз(49 х 2р 3«) х = хз+гхр+2рз+2хз-Збх и = вп1х+ апр + 21пх— — зш(х+ и+х), х, р, х Е (О, 1г) х =рз+Зхр — хз+9 и =21пх+31пр+51пх+ + 1п(22 — х — р — х) х = хз — бхр+ Зрз — 18х— -бр+ 7 Окончание задачи 4 16 х =гх,)у+йз+уз — у+3 х хз Зуз бху 9 и= хз+ху+уз — гзй+2х + +Зу-1 и = йух(1 - й - у - х) 18 х = йуз -2хз+2уз+8х В~ Ф+ $) з =х у — у — Зх +2у и = хз — 2ху+4уз+без+бух — бз 20 з = хе — уз — Зх+12у и = ху+ уз+ хх з 2хуз 2йз + 2уз + 24х и = хзузз(2-у — 2х — Зй) 21 и = Ъ(йу) — х(х — у) — йз— -у'+2*у- у 244 з = хз — уз — Зйз + Зу — 24й и = хух(4 — х — у — з) и = Зхз+уз+хз+бху-гх+1 я 39 з = 4уз + хз + 2йу + бу гхзух йз уз хз 30 х = хзу — Зуз + 2хз + 9у и = 2хз-ху+2хз-у+уз+хз з = й +2ху-у +2й -7й+2у — 3 хз уз и 2 + 4х+гхз у 3 з = 2йуз — бхз + 4уз — 18х + б и = з 1в х-з-х Ь(ху)+йу+х~+ 4 27 з=х+Зу+-+ — — 4 х у и = хз + уз + хз + 12ху + гх 9 8 х = х+2у+ — + — — 3 х у х у и = — +.— + у+х х+х з + —,х>0,у>0, х+у Задача Б Найти условные экстремумы функций при заданных условиях связи.
хг+4уг =25 хрл = 108 хг+уз = 26 х-у+л= 1 20 а)и= хе+у" б)и= ху+ул 12 л>0 а)и = х+2р+9 6) и „глз л>0 х=у хг+уг+лг =1 24 л>0, а>0 41 а) и = Зхг + 12ху + уг 6),и = ар+ 2хл + 2у» а)и= г8х — Зщу б) и = хг + уг + лг а)и= — +- а>О р 1 Ь>О а)и = (х — 1)г+ (у+ 1)г б) и = хул а)и= хуг у' б)и = — + — + —, аз Ьг сг' а > Ь > с > О а)и= (х+ 1)г+(у- 1)г б) и = х — 2у + 2л а)и созга+солгу 6) и = х"улз хр х р хр а)и = — — — —— 2 6 8 6) и хул х — у = О, (х1 < —, (р~ <— хг рг лг — + — + — =1,а>Ь>с>О аз Ьг сг хг+рг= ', >Π— + — + — =1,о>О,Ь>0,с>0 х у л а Ь с (х — 1)з — уг = 0 ха+уз= 2, у+л= 2, у > 0 х х — у — — =0 4 2х+у+Зл = а, х > О, у > О, — +-=1,х>О,у>0 х р 3 ху+рл+ел =8, а+у+ л = 5 а)и = х'+у г 6)и= — +у +л г г 4 а)и = хг — уг 6)и = 2х+у — л+1 а) а = 10+ 2ху — хг 6) и = хул а)и =ха+уз — 12х+ 16р 6) и = хг + уз + 2лг а) и хг + ху + уг з+„г з+5 а) и = хе+у'-Зхг+бху — Зуг 6) и = хул а)и = ау б) и = хг + 2рг + Злг а) и = хг + ху — 2 6) и = за+уз+ лг а) и = 5хг — Зху + уг + 4 6)и = (х — 1)г + (у — 2)г + +(л — 3)г Продолжение задачи 5 Зх+Зу — В=О ха+уз+ лг = 1, х+2у+ Зл = О 2х †у †хг + уг + 2лг — 22 р = 4 — хг х +у +лг =1, х+р+л=О х+у=2 х+у — л=О у-х=2,х>О,у>0 хд+ хл+ ул = аг, х > О, у > О, Зхг+4уг =48 х+2у+ За = В, х > О, у > О, х+у — 1 О хг+уг+лг, х+2у+Зл = 0 у — 4хг+4 = О хг — +уг+лг =1,х+р+л=0 х+у=1 хг + рг + лг = 21 Зх+ 2у+ л = О Окончание задачи 5 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1, Канатнвнаа А.И., Кривгенко А.П., Чепгеерикое З.И.
Дифференциальное исчисление функций многнк переменных, Ма Изд-во МГТУ вм. Н.Э. Баумана, 1998. 455 с, 2. Кудряенее ЛД Курс математического анализа. М.: Высиь шк.„1981. 687 с, 5. Ильин Е.А„Познан ЭХ Основы математического анвлггга. Ч. 1, Ма Наука, 1932. 616 с, 4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление дпв агузов. Т. 1,Ма Наука, 1985. 429 с, 5, Сборник задач но математике дпя втузов: В 4 ч, / Под ред. А.В. Жфи- мова и Б.П. Демидовича.
Т. 1, Ма Наука, 1936. 480 с. 1. Метрика и окрестность в пространстве и", Область определения и область значений функции многих переменных...,......,.... 3 2, Графвк функпвн. Линии и поверхности уровня... „.......,.... 4 3. Предел н непрерывность функцли в точке.............,..... „, . 5 4, Частные производные и частные дифференпиалы. Диффереипируемость функции в точке..................,...... 5 5, Градиепт и производная по направлению ...........,...........
7 б, Касательная ~щоскость и нормаль к поверхности.........,...... 9 7, Производные н дифференциал сложной функции...,...,...... 10 б. Частные провзводные и дифференциалы высших порядков..... 12 9. Неявные функции, Дифференцировыше кевиных функций..., . 16 10. Экстремумы. Необходимые и достаточные условия зкстремума функции в точке .„...,. „.....,.. 20 П, Условныйэкстремум...,.....,...,...,...,....,.... „„.......23 12. Домапшее задание, 1Вариаяты 1 — 30)...,..........,......... 23 13, Список рекомендуемой литературы...,......,.............., ..
43 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
