Теоретическая механика (1270808), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найдемзначение третьей суммы.PНа основании формул (121) для координат центра масс mk x0k = M x0c . Так как в нашем случаеPточка является началом координат, то x0 c = 0 и, следовательно, mk x0k = 0. окончательно получаемIOz = IOz0 + M d2 .(128)Формула выражает теорему Гюйгенса:Теорема.
Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительнооси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всеготела на квадрат расстояния между осями.42.4 Тензоры инерции простейших абсолютно твердых тел1. Однородный дискРис. 81Имеем однородный диск массы m и радиуса R. Разобьем диск на кольца с радиусами rν и массамиmν . ТогдаIzz =nXrν2 mν =nXrν2 γ∆Sν ,ν=1ν=1где ∆Sν — площадь кольца с внутренним радиусом rν и внешним rν + ∆rν . Плотность однородногоPдиска: γ = m/(πR2 ), а ∆Sν = 2πrν ∆rν . Поэтому Izz = 2m/R2 nν=1 rν3 ∆rν . При n →∈ ∞Izz = 2m/R2ZR0r3 dr = mR2 /2.И окончательно имеем для момента инерции диска относительно оси z выражение:Izz = mR2 /2.Поскольку диск бесконечно тонкий неравенство Ixx + Iyy ≥ Izz переходит в равенство Ixx + Iyy = Izz .Но в силу симметрии моменты инерции относительно осей x и y равны, поэтому имеем:Ixx = Iyy = Izz /2 = mR2 /4.В силу наличия плоскостейIxy = Ixz = Izy = 0, поэтомусимметрииmR24I=00центробежные0mR24000mR24моменты1 0 0mR20 1 0 .=40 0 22.
СтерженьРис. 820I= 000ml23000ml231 0 0ml20 1 0 .=30 0 1инерцииравнынулю43Кинетическая энергия43.1Кинетическая энергия материальной точкиОпределение. Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера механического движения, равная:mi vi2Ti =2т.е. половина произведения массы точки на квадрат ее скорости.43.2 Кинетическая энергия системы материальных точекОпределение.
Кинетическая энергия системы n материальных точек равна сумме кинетическихэнергий всех точек:nnXXmi vi2Ti =T =2i=1i=1• Теорема Кенига:Кинетическая энергия системы материальных точек в ее абсолютном движениискладывается из кинетической энергии центра масс системы, в предположении,что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии системыв ее движении относительно центра масс.Доказательство.Pnmi~ri— радиус-вектор центра массi=1 miCx y z — кенигова система координат, так как ~ri = Pi=1n0 0 0системы.
Поэтому~ri0Pnmi~ri0=0i=1 mi= Pi=1n(129)d~ri0+ ~vCdtВыражение для кинетической энергии системы имеет вид:пер~viабс = ~viотн + ~vi=Ãnn³´1X1Xd~ri0абс 2T =+ ~vCmi ~vimi=2 i=12 i=1dtилиÃnd~ri01XmiT =2 i=1dtТак как!2(130)!2nXnnn1Xd~ri01X1 2X2отн 2+mi· ~vC +mi (~vC ) =mi (~vi ) + ~vCmidt2 i=12 i=12 i=1i=1ÃnnXd~ri0d Xd~ri0mimi~ri0 · ~vC· ~vC =· ~vC =midtdtdt i=1i=1i=1nX(см (129)). ПоэтомуЧто и требовалось доказать.1T = mvC2 + T отн2!=043.3 Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при поступательномдвиженииПо определению кинетической энергии механической системыn1XT =mi vi22 i=1Но при поступательном движении все точки тела имеют равные скорости ~vi = ~v , поэтому:nnv2 Xmv 21X2m i vi =mi =T =2 i=12 i=12илиT =mv 2243.4 Кинетическая энергия абсолютно твердого тела при вращении вокругнеподвижной осиДля любой точки тела vi = ωhi , поэтомуT =nnnω2 Xω2 X1Xmi vi2 =mi h2i =mi (x2i + yi2 )2 i=12 i=12 i=1т.е.Izz ω 2,2Pгде Izz = ni=1 (x2i + yi2 ) — осевой момент инерции тела.T =z6hi mi±~riω~OxªРис.
836y-44 Работа и мощность силОпределение. Элементарным перемещением точки называется бесконечно малое перемещение, равное дифференциалу радиуса вектора точки.Определение. Элементарной работой силы на перемещении называется скалярное произведениевектора силы на вектор элементарного перемещения точки приложения силы:Определение. Мощностью силы называется скалярное произведение вектора силы на векторскорости точки приложения силы:N = F~ · ~vилиN = |F~ ||~v | cos α = Fx vx + Fy vy + Fz vzДанное определение согласуется с определением мощности, как работе в единицу времени:dAdxdydz= Fx+ Fy+ Fz= Fx vx + Fy vy + Fz vzdtdtdtdtМощность системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме мощностей всех сил:N=N=но ~vη = ~v0 + ω~ × ~r, поэтомуN=Nη =η=1η=1nXF~η · (~v0 + ω~ × ~r)η=1N=nXη=1F~η · ~v0 +nX(F~η · [~ω × ~r]) = (F~η · ~vηnXη=1η=1~ · ~v0 + ωN =R~·Таким образом,nXnXnXη=1F~η · ~v0 ) +nX(~ω · [~r × F~η ])η=1~ · ~v0 + ω~ 0.~r × F~η = R~ ·L~ · ~v0 + ω~0N =R~ ·LТ.е., мощность системы сил, приложенных к абсолютно твердому телу, равна сумме скалярныхпроизведений главного вектора на скорость полюса О и главного момента сил относительно полюсаО на вектор угловой скорости твердого тела.См.
также частные случаи для вычисления мощности:44.1Поступательное движение абсолютно твердого тела~ · ~v0 + ω~ 0 принимает вид:При поступательном движении выражение для мощности N = R~ ·L~ · ~v ,N =Rтак как вектор угловой скорости равен нулю и скорости всех точек тела одинаковы.44.2 Вращение абсолютно твердого тела вокруг оси, проходящей через точкуОПри вращении твердого тела вокруг оси, проходящей через точку O, скорость точки O равна нулю~ · ~v0 + ω~ 0 принимает вид:и поэтому выражение для мощности N = R~ ·L~0 · ωN =L~ = L0x ωx + L0y ωy + L0z ωz = L0z ωzтак как ωx = 0, ωy = 044.3 Система сил приводится к равнодействующей, приложенной в точке O~ ·~v0 + (~ω · L~ 0 принимаетВ этом случае главный момент равен нулю и выражение для мощности N = Rвид:~ · ~v0N =RЗамечание: Равнодействующая равна главному вектору.44.4 Система сил приводится к паре сил~ · ~v0 + ω~ 0 принимаетТак как система сил приводится к паре, выражение для мощности N = R~ ·Lследующий вид:~ ·ωN =L~~ — момент пары сил.здесь L45 Связи и ограничения на движение твердых телОпределение.
Связями называются ограничения, накладываемые на координаты и скорости точекмеханической системы, которые выполняются при любых действующих на систему силах.Конструктивно связи реализуются при помощи шарниров, стержней, нитей, поверхностей и т.п.Математически связи выражаются в виде уравнений или неравенств, содержащих координаты искорости точек системы и время:fi (~r1 , ~r2 , ..., ~rn , ~v1 , ~v2 , ..., ~vn , t) ¦ FiЗдесь i =1,2,... k (количество связей, наложенных на систему), знак ¦ обозначает один из знаков:=,<,>; ~r1 , ~r2 , ..., ~rn — радиусы-векторы, а ~v1 , ~v2 , ..., ~vn - скорости точек системы.Определение. Возможным перемещением точки называется бесконечно малое воображаемое перемещение точки, допускаемое связями в данный момент времени:δ~rη = δxη~i + δyη~j + δzη~kЗдесь δxη , δyη , δzη - проекции вектора δ~rη на оси координат.Определение.
Возможной скоростью называется отношение возможного перемещения к некоторому мыслимому интервалу времени:δ~rη~vηE = 0dtВозможная скорость — это скорость, которую бы имела точка, если бы она совершала возможноеперемещение за время dt’.Определение. Если для любого возможного перемещения противоположное ему тоже являетсявозможным, то связь называется удерживающей (неосвобождающейся или двусторонней).45.1 Пример 1Точка на невесомом абсолютно твердом стержне (маятник): x2 + y 2 + z 2 = r2Рис. 84Рис. 85Точки на двух невесомых абсолютно твердых стержнях:(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = r22x21 + y12 = r12Кроме того, эти связи являются стационарными и голономными.Определение. Если для некоторого возможного перемещения противоположное ему не являетсявозможным, то связь называется неудерживающей (освобождающейся или односторонней).Удерживающие связи математически выражаются равенствами, а неудерживающие — неравенствами.45.2 Пример 2Точка на нерастяжимой нити:x2 + y 2 + z 2 ≤ r 2Рис.
86Определение. Если в уравнение связи время не входит явно, то такая связь называется стационарной (склерономной):f (xη , yη , zη ) = 0.здесь xη , yη , zη могут зависеть от t.Определение. Если в уравнение связи время входит явно, то такая связь называется нестационарной (реономной):f (xη , yη , zη , t) = 0При стационарных связях действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни с одним извозможных перемещений.45.3 Пример стационарной связиТочка на поверхностиРассмотрим точку (x, y, z) на поверхности:Рис. 87f (x, y, z) = 0(131)Пусть точка получила некоторое возможное перемещение:M 0 (x + δx, y + δy, z + δz).Так как точка должна оставаться на поверхности, то приращения координат удовлетворяют равенству:f (x + δx, y + δy, z + δz) = 0.Разложим левую часть последнего уравнения в ряд Тейлора:f (x, y, z) +∂f∂f∂fδx +δy +δz + ...
= 0.∂x∂y∂zЗдесь многоточием обозначены члены ряда, имеющие второй и более высокий порядок малости всравнении с приращениями координат. С учетом выражения (131) получим:∂f∂f∂fδx +δy +δz = 0.∂x∂y∂zТак как возможным перемещением точки в данном случае является вектор δ~r, проекциями которогона оси координат являются δx, δy, δz, то последнее выражение можно переписать:~ f · δ~r = 0.grad~ f направлен по нормали к рассматриваемой поверхности, а вектор возможного перемеВектор gradщения точки лежит в плоскости, касательной к поверхности в данной точке.В случае стационарной связи действительное перемещение удовлетворяет уравнению:~ f · δ~r = 0.df = gradА в случае нестационарной связи — уравнению:~ f · δ~r + ∂f dt = 0df = grad∂tТ.о., при стационарных связях действительное перемещение d~r совпадает с одним из возможныхперемещений.
При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни содним из возможных перемещений.45.4 Пример нестационарной связиТочка на сфере переменного радиуса (нестационарная связь):x2 + y 2 + z 2 = R2 (t).Определение. Связь называется геометрической, если в уравнение связи входят только координатыточек:f (xη , yη , zη ) = 0Определение. Связь называется кинематической, если в уравнение связи входят координаты и скорости точек механической системы:f (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz ) = 0Определение.
Связь называется голономной, если она выражается интегрируемым дифференциальным уравнением для координат и скоростей точек механической системы.Замечание: Уравнениеf (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz , t) = 0(132)называется интегрируемым, если существует функция F = F (xη , yη , zη , t), такая что уравнение (132)может быть записано в видеdF(xη , yη , zη , t) ≡ f (xη , yη , zη , vηx , vηy , vηz , t) = 0dtОпределение. Связь называется неголономной, если она выражается неинтегрируемым дифференциальным уравнением для координат и скоростей точек механической системы.Определение. Связи, наложенные на механическую систему, называются идеальными, если сумма элементарных работ сил реакций этих связей на любом возможном перемещении равна нулю:nXη=1Здесь~ η · δ~rη = 0R(133)~ η = Rηx~i + Rηy~j + Rηz~kRδ~rη = δrηx~i + δrηy~j + δrηz~kСогласно определению скалярного произведения двух векторов выражение (133) можно переписатьв виде:nX(Rηx δxη + Rηy δyη + Rηz δzη ) = 0η=1илиnXη=1~ η ||δ~rη |cosαη = 0|R~ η и δ~rη .где αη — угол между векторами RОпределение идеальных связей можно дать с использованием понятия мощности.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
