Прокис Дж. - Цифровая связь (1266501), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эти уравнения ФПВ р(х). Таблицы 3.4.3 и 3.4.4 дают оптимального четырехуровневого и ленного по Гауссу с нулевым средним и Таким образом, х„является нентроидам облает :;!: могут быть решены численно для про результаты оптимизации Макса ( ';; восьмиуровневого квантователя сигнал ~::;:-: единичной дисперсией. !ж Видим„что минимальная среднеквадратическая ошибка (7,„уменьшается немного больше, чем на 5 дБ, при каждом удвоении числа уровней А. Следовательно, каждый бит, ко~орый используется равномерным кваптователем с оптимальным размером числа Л,„, для гауссовского входного сигнала уменьшает искажение более чем на 5 дБ.
Если соблюдать условие, что квантователь равномерный, искажение можно '".-,:,",„; ' дополнительно уменьшить. В этом случае мы выберем выходной уровень х =х„, когда амплитуда входного сигнала находится в диапазоне х„, < х < х,. Для квантования с 1. уровнями крайними точками являются х, =- -со и х, = со. Результирующее искажение к 13=~~> ) Ях,. — х)р(х)с1х (3.4.25) Таблица 3,4.3. Оптимальный 4-уровневый квантователь для гауссовской случайной величины Уровень 1г х„ х -1,510 — 0,4528 0,4528 1,510 1 — 0,9816 2 0,0 3 0,9816 4 сс В„, =:-0,1175 10 18 В„„. = — 9,3 дБ Таблица 3.4.4. Оптимальный 8-уровневый квантизагор для гауссовской случайной величины (Макс, 1960) Уровень Й О„„„=0,03454 10 18 В„„= — 14,62 дБ В таблице 3.4.5 сравниваются минимальные среднеквадратические искажения для гауссовской амплитуды сигнала в равномерном и неравномерном квантователях. Из этой таблицы мы видим, что разница в характеристиках двух типов квантователей относительно мала для малых значений Я (меньше чем 0,5 дБ для Я <3), но она растет с ростом Я.
Например: при Я=-5, неравномерный квантователь примерно на 1,5 дБ лучше равномерного. Сравнение оптимальных равномерного и неравномерного ссовской случайной величины (Макс„1960; Паез и Глиссон, 1972): Ф". Таблица 3.4.5. квантизаторов для гау 1 0 18 17.„„ (бит/отсчет Равномерное дБ Не авноме ное(дБ) Поучительно построить кривые зависимости минимальных искахгений от битовой скорости Я = 1о8, Л бит на отсчет (на символ) источника для равномерного и неравномерного квантователей.
100 1 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 8 -1,748 -1,050 — 0,5006 0 0,5006 1,050 1,748 -4,4 — 9,25 — 1 4,27 — 19,38 — 24,57 -29,83 — 35,13 -2,152 -1,344 — 0,7560 -0,2451 0,2451 0,7560 1,344 2,152 — 4,4 — 9,30 — 14,62 -20,22 — 26,02 -31,89 — 37,81 Эти кривые даны на рис. 3.4.2. Функциональную зависимость искажений Х) от битовой скорости Я можно выразить как ИЯ)-функцию искажение-скорость. Мы видим, что функция искажение-скорость для оптимального неравномерного квантователя лежит ниже.
чем для равномерного квантователя, Поскольку квантователь превращает непрерывную амплитуду источника в дискретную, мы можем трактовать дискретные амплитуды как символы, скажем х = (х„1< 1 < Л1 с соответствующими вероятностями 1рг1. Если отсчеты сигггала амплитуды статистически независимы, то на выходе квантователя имеем дискретный источник без памяти, и, следовательно, его энтропия с Н(Х) -~ р„1оагр,. (3 4.30) яы 0 ватель -ш -г5 -20 -25 -30 .
0 я = гоя-Ь бит/отсчет Рис. 3.4.2. Кривые зависимости искажение-скорость дяя гауссовского источника без памяти с дискретным временем Для примера: оптимальный четырехуровневый неравномерный квантователь для распределенной по Гауссу амплитуды приводит к вероятностям р, = р, — 0,1635 дггя двух внешних уровней и р, = р, = 0,3365 для двух внутренних уровней. В этом случае энтропия дискретного источника Н(Х)= 1,911 бит/символ. Следовательно, при помощи энтропийного кодирования (кодирование Хаффмена) блоков выходных символов мы !г;"::: .можем достичь минимальных искажений ( — 9,30 дБ) посредством 1„911 бит/символ вместо 2 бит1символ, Макс (1960) определил энтропию для дискретных символов источника после процесса квантования, Таблица 3.4,6 показывает значение энтропии при неравномерном квантовании. Зависимость Я(с3) для этого случая также показана кривой на рис.
3.4.2 и обозначена как энтрониг1ное кодирование. !О! Таблица 3.4.6. Энтропия выхода оптимального неравномерного квантователя гауссовской случайной величины (Макс, 1960) й Энтропия Искажения (бит/отсчет) (бит/символ) 101 — 4,4 -9,30 — 14,62 — 20,22 — 26,02 1,0 1,911 2,825 3,765 4,730 1 2 в 4 5 3.4.3. Векторное квантование В предыдущих разделах мы рассмотрели квантование выходного сигнала непрерывного источника для случая, когда квантование выполняется последовательно по отдельным отсчетам, т.е.
скалярное квантование. В этом разделе мы рассмотрим совместное квантование блока символьных отсчетов или блока сигнальных параметров. Этот вид квантования называется блоковым или векторным квиллгоатшсаь Оно широко используется при кодировании речи в цифровых сотовых системах связи, Фундаментальный результат теории искажения заключается в том, что лучшую характеристику можно достичь векторным, а не скалярным квантованием, даже если непрерывный источник без памяти.
Если, кроме того, отсчеты сигнала или параметры сигнала статистически зависимы, мы можем использовать зависимость посредством совместного квантования блоков отсчЕтов или параметров и таким образом достичь большей эффективности (более низкой битовой скорости) по сравнению с той, которая достигается скалярным квантованием. Проблему векторного квантования можно сформулировать так. Имеем л-мерный вектор Х = (х„х, ... х„) с л вещественными, непрерывными амплитудами компонент '(х„,1<1 <л), которые описываются СФПВ р(х„х, х„).
Пугем квантования вектор Х превращается в другой л-мерный вектор Х с компонентами (х,.„1<1 <л). Выразим операции квантования оператором О(.), так что Из этого обсуждения мы заключаем, что качество квантователя можно анализировать, когда известна ФПВ непрерывного выхода источника. Оптимальный квантователь с А = 2" 1ровнями обеспечивает минимальное искажение /3(Я), где Я = 1од, А бит/отсчет.
Такого уровня искажений можно достичь простым представлением каждого квантованного отсчета Л битами. Однако возможно более эффективное кодирование. Дискретные выходы квантователя характеризуются рядом вероятностей ~р, ~, которые можно использовать для расчета эффективных неравномерных кодов для выхода источника (энтропийное кодирование). Эффективность какого-либо метода кодирования можно сравнить с функцией искажение-скорость или, что эквивалентно, с функцией скорость-искажение для дискретного времени и непрерывных амплитуд источника, характеризуемого данной ФПВ.
Если мы сравним характеристики оптимального неравномерного квантователя с функцией искажение-скорость, мы найдем, например, что для искажения в 26дБ энтропийное кодирование требует скорость на 0,4 бит/отсчет больше, чем минимальная скорость, даваемая (3.4.8), а простое блоковое кодирование каждого символа требует скорость па 0,68 бит отсчет болыпе, чем минимальная скорость. Мы также видим, что функция искажение-скорость для оптималыюго равномерного и неравномерного квантователей гауссовского источника асимптотнчески приближается к наклону — 6 дБ/бит для больших Л, х= о(х), (3.4.3 1) гле Х вЂ” выход квантователя, когда на вход поступает вектор Х. В принципе векторное квантование блоков данных можно рассматривать как проблему распознавания образов, включающую в себя классификацию блоков данных через :: -::;:,:::„дискретное количество категорий или ячеек в соответствии с некоторым критерием точности, таким, например, как среднеквадрати ческая погрешность.
Для примера рассмотрим квантование двумерных векторов Х = 1х„х,) . Двумерное пространство ', разделяют на ячейки, как показано на рис. 3.4.3, где мы имеем произвольно выбранные шестиугольные ячейки 1С»). Все входные векторы, которые попала»от в ячейку С», квантуются в вектор Х„ который на рис. 3.4.3 отмечен как центр шестиугольника.
В нашем примере иллюстрируются Х. = 37 векторов, один для каждой из 37 ячеек, на которые разбито двумерное пространство. Обозначим ряд возможных выходных векторов как ,:.-'.,-, (Х„1<~<4 I ° ) — » ~ ~, ° г — ~ ° ~1 Рис. 3.4.3. Пример квантования в двухмерном пространстве В общем, квантование и-меоного вектора Х в и-мерный вектор Х ведет к ошибке квантования или искажению Ы~Х,Х). Среднее искажение по ряду входных векторов Х л 1-;:::-':."::равно » ь 0 =,'1 Р(Х н С„)Е[И(Х, Х„) ) Х и С»1 = ~~> Р(Х н С„) ~ И(Х, Х„)Р(Х)НХ ~, (3 4 32) » ! где Р(ХнС„) — вероятность того, что вектор Х попадбт в ячейку С», а р(Х) — СФПВ п случайных величин.
Как и в случае скалярного квантования, мы можем минимизировать 0 путем выбора ячеек 1С», 1< юг < Е) при заданной ФПВ Р(Х). Обычно используемая мера 1,, ";"":;;:,1':-' . искажений — среднеквадратическая ошибка (1т — норма) определяется как А,(Х,Х)= — (Х-Х) (Х-Х)= —,'У'(х»-х»)' (3.4.33) п г»»„, !~:.'.:г нли, в более обшем виде, взвешенная среднеквадратическая ошибка ' В интеграле (3.4.32) й далее обозначение пгХ следует понимать как П»Й» — лифференпиал объема и- » ~ мерного пространства векторов Х.
Х, где х» — злементм вектора Х (прп). 1„,(Х,Х) =(Х-Х)'ж(Х-Х), (3А.3 ) где Ю вЂ” положительно определенная взвешивающая матрица. Обычно мера % выбирается как обратная по отношению к матрице ковариаций входных данных Х . Другая мера искажений, которая иногда используется„является частным случаем 1„ нормы и определяется как Н ,(Х,Х) = — ) п ьи (3.4.35) Теперь вернемся к математической формулировке векторного квантования и рассмотрим разбиение и-мерного пространства на Х ячеек (С„1 < Ф < Л1 с точки зрения минимизации среднего искажения по всем А-уровневым квантователям. Имеется два условия для минимизации.
Первое заключается в том, что оптимальный квантователь использует селекцию по правилу ближайшего соседа, которое можно выразить математически как а(Х) = Х„ если, и только если .()(Х,Х,)<П(Х,Х,), /с~ у', 1<7'<А. (3437) Второе условие, необходимое для оптимизации, заключается в том, что каждый выходной вектор Х„выбирается так, чтобы минимизировать среднее искажение в ячейке Сь Другими словами, х, — это вектор в Сь который минимизирует В„= Е[с1(Х, Х) ( Хе С,1= ~ с1(Х, Х)р(Х)АХ. (3.4.38) Вектор Х, который минимизирует 1)ь назван аелтраидом ячейки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
