СР №2 - Дифференциальные уравнения (1265168), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Общим интегралом является 
или 
.
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка.
Дифференциальные уравнения вторых порядков, допускающие понижения порядка сведены в таблицу. Общее решение имеет вид Уоб = φ(x,c1,c2).
| № | Вид уравнения | Метод решения |
| 1 | у˝ = f(x) | Два раза интегрировать |
| 2 | у˝ = f(x, y΄) – функция не содержит у | Подстановка у΄ = P(x), y˝ = P΄(x) |
| 3 | у˝ = f(y, y΄)– функция не содержит х | Подстановка у΄ =P(y), y˝ = P΄(y)y΄(x) = P΄P |
Пример 9. Найти общие решения дифференциальных уравнений:
1) у˝ = sinx; 2) 
, найти частное решение при начальных
условиях: у(1)=1, у΄(1)= -
3) 2yy˝ +( y΄)2 = 0
Уравнение 1) – уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, функция справа зависит только от х. Решение найдем дважды проинтегрировав:
.
Уравнение 2) – уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной (таблица № 2). Подставим в уравнение у΄ = P(x), y˝ = P΄(x): 
- линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим методом вариации произвольного постоянного.
1 этап. Решаем однородное уравнение, отбросив правую часть уравнения.
- уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: 
lnP = - lnx + lnc = ln
Þ Решение однородного уравнения: 
.
2 этап. Запишем общее решение 
, найдем его производную 
и подставим в исходное уравнение: 
. Тогда 
Но у΄ = P(x), то есть 
Общее решение уравнения – 
. Найдем частное решение при начальных условиях: у(1)=1, у΄(1)= - . Для этого найдем 
и, подставив начальные условия в общее решение и его производную, получим систему двух алгебраических уравнений относительно искомых констант с2 и с2.
. Подставляем начальные значения 
и записываем частное решение; 
.
Уравнение 3) – уравнение второго порядка, не содержащее независимой переменной х (таблица № 3). Подставим в уравнение у΄ = P(y), y˝ = P΄(у)P(у):
2yP΄(у)P(у) + (P(y))2 = 0. Опустим аргументы, преобразуем полученное уравнение первого порядка, чтобы определить его тип и выбрать метод решения:
2yP΄P = - P2 Þ 2yP΄ = - P – уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем, не забывая, что у = у(х), Р = Р(у): 
. Из подстановки у΄ = P(y) записываем второе дифференциальное уравнение первого порядка, чтобы найти общее решение уравнения: 
. Полученное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными, поэтому делим переменные и интегрируем: 
- общее решение в неявном виде (общий интеграл). Можно разрешить полученное решение относительно у: 
- общее решение дифференциальное уравнение второго порядк
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка сведены в таблицу. Общее решение имеет вид Уоб = φ(x,c1,c2,…..,сn).
| № | Вид уравнения | Метод решения |
| 1 | у(n) = f(x) | n раз интегрировать |
| 2 | f(x, y(r),…,y(n) )=0 – функция не содержит у | Подстановка у(r) = P(x), y(r+1) = P΄(x),… Понижение порядка на (r). |
| 3 | f(y, y΄,…,y(n))=0 – функция не содержит х | Подстановка у΄ =P(y), y˝ = P΄(y)y΄(x) = P΄P, y˝΄=P˝(y)y΄P+P΄(y)P΄(y)y΄=P˝P2+P΄2P и т.д. Постепенное понижение порядка до первого |
Пример 10. Найти общее решение дифференциального уравнения: 
.
Заданное уравнение – уравнение третьего порядка, не содержит у. Подстановка для понижения порядка: у˝ = Р(х), у˝΄= Р΄(х). После подстановки, получим 
- уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
Разделим переменные 
и проинтегрируем: 
. Из у˝ = Р(х) имеем у˝ = с1х.
Уравнение второго порядка, справа функция зависит только от х, поэтому решение два раза интегрируем, чтобы найти у = у(х): 
Общее решение уравнения третьего порядка имеет три константы: 
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
