СР №2 - Дифференциальные уравнения (1265168), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

2) U(x)V΄(x) + V(x)( U΄(x) + f (x) U(x)) = φ(х) , что позволит решая два дифференциальных уравнения с разделяющимися переменными, найти обе вспомогательные функции U(x) ≠ 0 и V(x) ≠ 0.

Будем искать функцию V(x) из 1), полагая, что V΄(x) + f (x)V(x)= 0, а это уравнение с разделяющимися переменными:

, откуда . При нахождении первой из вспомогательных функций с помощью неопределенного интеграла const опускают, потому что общее решение уравнения первого порядка имеет одну const и она будет записана при поиске второй вспомогательной функции.

Функцию U(x) найдем из 1), решая еще одно уравнение с разделяющимися переменными: U΄(x)V(x) = φ(х), так как второе слагаемое в 1) равно нулю.

Разделим переменные , тогда, проинтегрировав обе части равенства, найдем с точностью до const функцию . Общее решение искали в виде произведения вспомогательных функций у(х) = U(x)V(x), поэтому .

Заметим, что полученное решение не следует считать формулой в силу её громоздкости. При решении линейных уравнений следует пользоваться рассмотренным методом решения.

Пример 5. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) у΄ - уthx = ch²x; 2) .

Уравнение 1) – линейное. Решаем методом подстановки: общее решение ищем в виде у(х) = U(x)V(x) (метод Бернулли). В уравнение подставляем функцию у(х) и её производную: y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) 

U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) – U(x)V(x)thx = ch² x.

Группируем и, решая два уравнения с разделяющимися переменными, находим обе вспомогательные функции U(x) и V(x), произведение которых и есть общее решение дифференциального уравнения.

U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x) – V(x)thx) =ch² x  В дальнейших записях и выкладках аргументы функций U(x) и V(x) опустим для прозрачности записи уравнений, но не забудем, что функции U и V зависят от х.



И общее решение: у_об =chx(shx+c).

Уравнение 2) – по внешнему виду не является линейным, но если его рассмотреть в виде:  . В общем виде: x΄ + f(y)x = φ(y) – это линейное уравнение относительно искомой функции х = х(у) от независимой переменной у (см. таблицу). Тогда общее решение будем искать подстановкой:

х_об.р = U(у)V(у) и х΄(у) = U΄(у)V(у) + U(у)V΄(у)  далее опустим аргументы функций U(у) и V(у), но не забудем, что функции U и V зависят от у и . Подставим функцию х её производную х΄ в в уравнение:

U΄V + UV΄ + UV = 2lny+1  и сгруппируем для вычисления функций U и V

U΄V + U(V΄ + V ) = 2lny+1. Ищем функции U и V:

Найдем U = U(x) из второго уравнения:

.

Вычислим интеграл (первое слагаемое) этого равенства по частям:

. Подставим в значение функции

 U = y²lny + c.

Тогда  общее решение: .

Метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).

Метод состоит в том, что на первом этапе решается однородное уравнение по заданному линейному уравнению у΄ + f (x) у = φ(х), то есть без правой части:

1. у΄ + f (x) у = 0 и находится его решение (уравнение с разделяющимися переменными): у_од = f(x, c).

2. На втором этапе решения записываем по внешнему виду решения однородного уравнения общее решение, в котором полагаем неопределенную const зависящей от х ( c = c(х)): у_об = f(x, c(х)). Подставив это решение в исходное уравнение, находим c(х) и подставив ее в у_об имеем решение дифференциального уравнения.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Уравнение – линейное. Решаем методом вариации произвольного постоянного.

1 этап. Решаем уравнение без правой части: . Делим переменные и интегрируем: Записываем решение однородного уравнения, соответствующего заданному неоднородному линейному дифференциальному уравнению: .

2 этап. Записываем по внешнему виду решения однородного уравнения общее решение: и подставляем его в заданное уравнение с правой частью, которое обращается в тождество. Для этого необходимо найти . Подставляем у_об и у΄_об в уравнение, опустив аргумент переменной с(х):

, с – const. Запишем окончательный ответ, подставив в найденную c(х): .

Заметим, что общее решение состоит из суммы общего и частного решений: , где , . Частное решение зависит только от функции, стоящей в правой части линейного уравнения.

Замечания. 1) Данный метод имеет преимущество перед методом Лагранжа, так как позволяет при изменение функции в правой части уравнения, находить общее решение, выполнив только второй этап решения (однородное уравнение и его решение остаются теми же).

2) Уравнение Бернулли у΄ + f (x) у = φ(х)x^m (1) может быть сведено подстановкой z(x) = y^1-m к линейному уравнению, относительно функции z = z(x).

Действительно, найдем (2). Преобразуем заданное уравнение (1), поделив обе его части на у^m: (3). Из уравнения (2) получим и подставим в уравнение (3): и :

. Полученное уравнение – линейное и может быть решено любым из рассмотренных методов: подстановкой или методом вариации произвольного постоянного. Но (!) данное уравнение можно решать методом Бернулли (подстановкой у(х) = U(x)V(x)) не сводя его к линейному.

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения y΄+ xy = x³y³.

Заданное уравнение – уравнение Бернулли. Решаем методом Бернулли

( подстановка у(х) = U(x)V(x) и y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x)):

U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x)+ х U(x)V(x) = х³ U³(x)V³(x), группируем

U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x)+ х V(x)) = х³

U³(x)V³(x) и решаем два уравнения с разделяющимися переменными.

Вычислим интеграл (далее этот интеграл нужно вычислять по частям: t=u, dt = du; e^-tdt = dv, v = -e^-t → (заменим t=x², const при первом ее появлении в уравнении можно записывать в любом удобном для дальнейших преобразований виде)) = . Тогда

И, наконец, общее решение дифференциального уравнения Бернулли: .

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Вид уравнения в полных дифференциалах: Р(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), то есть Р(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(х,у), а дифференциальное уравнение можно записать в виде dU(х,у)= 0 и его решение (общий интеграл) будет u(x,y) = c, где с – const.

Условие, по которому можно судить, что выражение Δ = Р(x,y)dx + Q(x,y)dy

является полным дифференциалом: следует из теоремы.

Теорема. Для того, чтобы выражение Δ = Р(x,y)dx + Q(x,y)dy, где функции Р(x,y) и Q(x,y) и их частные производные непрерывны в некоторой области D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнения условия .

Доказательство (необходимость).

Пусть Δ есть полный дифференциал: Р(x,y)dx + Q(x,y)dy = du(х,у).

Учитывая, что , имеем: .

Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получим: и

. А так как смешанные производные равны, то и .

Доказательство (достаточность).

Данное доказательство является алгоритмом нахождения решения дифференциального уравнения в полных дифференциалах; u(x,y) = c.

Пусть в области D выполняются условия . Покажем, что существует функция u(x,y) в области D такая, что du(х,у) = Р(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Найдём эту функцию, исходя из того, что она должна удовлетворять требованиям: . Из первого уравнения, зафиксировав у, найдем функцию u(x,y), интегрируя Р(x,y) по переменной х:

, где произвольная константа неопределенного интеграла зависит от у или является числом. Необходимо найти функцию φ(у), чтобы иметь выражение для искомой функции Для этого продифференцируем найденную с точностью до константы функцию u(x,y) по у, а затем приравняем найденную производную к известной из уравнения ее производной .

Из последнего уравнения находим , где правая часть зависит только от у.

Для этого продифференцируем правую часть равенства по х и убедимся, что производная равна

, что следует из условия теоремы: . Зная производную искомой константы , найдем функцию φ(у): , где с – const.

Подставляя найденное значение функции φ(у) в выражение для искомой функции , можем записать решение (общий интеграл) дифференциального уравнения Р(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 в виде u(x,y) = c.

Пример 8. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Заданное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными, однородным или линейным (см. таблицу). Запишем его в дифференциальной форме и проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Итак, . Р(х,у)=(2ху – 5)  ; Q(х,у)=(3у²+х²)  , откуда видно, что выполняется признак уравнения в полных дифференциалах: и . Можем находить искомую функцию u(х,у) из условий: (1) и (2). Из первого (1) условия находим функцию, решая уравнение с разделяющимися переменными и считая у константой: . Чтобы найти константу φ(у), продифференцируем найденную функцию u(х,у) по у: и приравняем ее к известной из уравнения производной (2) . Далее решаем уравнение 3у² + х² = х² + φ^΄(у) относительно φ^΄(у): φ^΄(у)=3у², откуда и искомая функция .

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)