Метод анализа иерархии (1264228), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Для этого необходимонечеткой математической задаче придать строгую математическую форму.1Имеем: a ji. То есть матрица A является обратно симметричной.aijЕсли наши суждения совершенны при всех сравнениях, то aik aij a jk длявсех i, j , k , и матрица является согласованной.В идеальном случае точного измерения отношения между весами i исуждениями aij выражаются в виде:iaij для i, j1, njиA11122212............nn...n12...1n...2nnОднако требование выполнения этих условий в общем случае было бынереальным. В большинстве практических случаев это сделало бы задачунахождения неразрешимой. Во-первых даже физические измерения никогдане бывают точными в математическом смысле, и, следовательно, отклонениядолжны быть приняты во внимание; во-вторых, эти отклонения достаточновелики из-за ошибок в человеческих суждениях.Чтобы понять, как установить допуски на отклонения, рассмотрим i-юстроку матрицы A .
Элементами этой строки являются:ai1, ai 2 , ..., ainВ идеальном (точном) случае эти величины есть ни что иное, какотношения:i,1ii, ...,2nСледовательно, в идеальном случае при умножении первого элементаэтой строки на 1 , второго – на 2 и т.д. получим:i 1 = i , i 2 = i ,..., i j = i ,..., i n = i12jnВ итоге получим строку элементов i , тогда как в общем случае мыполучили бы строчку элементов, представляющих собой статистическоерассеяние значений вокруг i .
Получаем более реалистичное выражение дляидеального случая:1 naij j , i 1, n .inj 1Данное выражение выполняется в идеальном случае, но для реальнойситуации оно всё ещё достаточно строго. Отметим, что при хороших оценкахaij приближается кiи, следовательно, является малым возмущением этогоjотношения.Данное выражение выполняется в идеальном случае, но для реальнойситуации оно всё ещё достаточно строго. Отметим, что при хороших оценкахaij приближается кiи, следовательно, является малым возмущением этогоjотношения.В матричных обозначениях идеальный случай:A ω λ ω,где ω – собственный вектор матрицы A ; λ1 , 2 , ...,n– собственныезначения матрицы A (отклонения от идеального случая). Если aiiвсех i , то1 дляnni.i 1В идеальном случае все собственные значения матрицы есть нули, заисключением одного, равного n .
В случае согласованности n естьнаибольшее собственное значение A .Доказано, что если элементы aij положительной обратносимметричной матрицы незначительно изменить, то собственные значениятакже изменятся незначительно. Если диагональ матрицы A состоит изединичных элементов и A – согласованная матрица, то при малыхизменениях в aij наибольшее собственное значение останется близким к n , аостальные собственные значения останутся близкими к нулю.Поэтому можно сформулировать следующую задачу.
Если A –матрица парных сравнений, то для нахождения вектора приоритетов нужнонайти вектор ω , который удовлетворяет уравнению:A ωmax ω .Нам хотелось бы иметь нормализованное решение, поэтому изменяемn1вектор ω , полагаянаi . Это обеспечиваетi и заменяяi 1nединственность решения, а также выполнение условияi1.i 1Малые изменения в aij вызывают малое изменение в max . Отклонениеже последнего от n является мерой согласованности.
Оно позволяет оценитьблизость полученной шкалы к основной шкале отношений, которую мыхотим оценить.Поэтому индекс согласованности (ИС) рассматривается как показательблизости к согласованности.nmax.ИСn 1ИС сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы называется случайным индексом (СИ).В таблице 3 представлены данные, полученные в результатестатистических экспериментов по определению среднего СИ случайныхобратно симметричных матриц размерностью от 1 до 15.Таблица 3.Средние СИ для случайных обратно симметричных матрицРазмерностьматрицы1, 2СИ(n)0,0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 1,51 1,48 1,56 1,57 1,593456789101112131415Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка(размерности) называется отношением согласованности (ОС).ИСOC.СИ (n)На практике используется следующий алгоритм проверкисогласованности.1) Расчет величины показателя согласованности (ПС)nПСnaij ,jj 1(5.1)i 1nгдеaij - сумма значений по столбцу j матрицы A .i 12) Расчет величины индекса согласованностиПС n.(5.2)ИСn 13) Расчет отношения согласованностиИСOC.(5.3)СИ (n)Значение ОС, меньшее или равное 0,1 будем считать приемлемым.OC0,1.(5.4)При значениях ОС, больших 0,1, требуется коррекция матрицы парныхсравнений A , поскольку она плохо согласована.Проблема обеспечения и повышения согласованности являетсяосновной проблемой МАИ, равно как и многих других методов, работающихс субъективной исходной информацией, каковой являются суждениячеловека.
Разрабатываются различные алгоритмы и методы автоматическогообеспечения и повышения согласованности матриц парных сравнений.Для расчета вектора приоритетов рассчитывается можно использоватьглавный собственный вектор, или, если требования к точности не слишкомстрогие, метод строчных сумм.После получения векторов весовых коэффициентов (приоритетов) длявсех матриц можно проводить процедуру синтеза приоритетов.
Приоритетысинтезируются начиная со второго уровня вниз (т.е. приоритеты на уровне Iсовпадают с компонентами вектора весов). Локальные приоритеты нижнегоуровня умножаются на приоритеты соответствующих критериев навышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии скритериями, по которым оцениваются элементы нижнего уровня. Это даетсоставной приоритет элемента, который в свою очередь также используетсядля взвешивания локальных приоритетов нижестоящих элементов.Процедура повторяется до самого нижнего уровня. Таким образом мыполучаем приоритеты критериев самого нижнего уровня относительноэлемента самого верхнего уровня (глобальные приоритеты иерархии).Экспертные методы сравнения многокритериальных альтернативстановятся полезными тогда, когда задачи принятия решения (ПР) неполностью формализованы и требуют введения специалиста – лица,принимающего решения (ЛПР) в процессе принятия решений-альтернатив.При этом «глубина» использования ЛПР в процессе ПР может быть разной.Наибольшая глубина достигается в последней группе методов интерактивнойаппроксимации функции предпочтений ЛПР в задаче многокритериальнойоптимизации проектных решений с интерактивным процессом «навигации»ЛПР на бесконечном множестве альтернатив с помощью специальныхалгоритмов.Если число альтернатив-решений конечно, то функции ЛПРупрощаются до эксперта, который сравнивает альтернативы, в том числевновь повторяющиеся.Если число альтернатив невелико и они заданы, то для их сравнения ивыбора практически полезен второй экспертный метод анализа иерархий(МАИ), рассмотрением которого ограничимся в данном разделе.Постановка задачи МАИ состоит в формировании иерархии: цель (илицели) решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы-решения.Алгоритм МАИ состоит из следующих трех этапов:Этап 1.
Структуризация задачи в виде иерархической структуры снесколькими уровнями: цели-критерии-признаки нижнего уровняальтернативы.Этап 2. Попарное экспертное сравнение элементов на уровнекритериев и альтернатив по каждому критерию на уровне альтернатив.Сравнение производится на основе шкалы относительной важности.Этап 3. Вычисляются коэффициенты важности для каждого критерияи каждой альтернативы по критерию.Этап 4.
Подсчитывается количественный индикатор качества каждойальтернативы с учетом важности альтернативы по критериям исравнительной важности критериев.Далее рассматривается структуризация задачи для двух иллюстративныхпримеров.Пример. Выбор площадки для строительства аэропорта из имеющихсяальтернативных вариантов для случая трёх площадок, условно обозначенныхA , B и K .
Иерархическая структура представлена на рис. 5.2.Цель – строительство аэропортаw2w1J1J2СтоимостьстроительстваВремя в путиот аэропортадо центрагородаminminv A1vBw3J3Количестволюдей,подверженныхшумовымвоздействиямminv B3v1v A2 v A3Площадка AvB 2Площадка BvKK1vK 32Площадка KРис. 5.2. Иерархическая структура этапа 1 для примера 11.6Для выполнения этапов 2 и 3 вводятся типичная шкала относительнойважности и матрицы попарного сравнения.Таблица 5.Матрица сравнения для критериев и расчет весовых коэффициентовКриСобственныйНормированныйJ3J1 J 2тевектор (среднеесобственный векторриигеометрическое)важности2,466315 32,466 0,843 0,481J115 32,4660,6510,8433 1 1 3155 1 32,466 0,843 0,481J20,8430,2220,4811 13 1113 333 12,466 0,843 0,481J30,4810,133Для подсчёта количественного индикатора качества на этапе 4вводится выражениеNSji v ji,(5.5)i 1где S j — показатель (индикатор) качества j -й альтернативы;i — важность i -го критерия;v ji — важность j -й альтернативы по i -му критерию.Таблица 6.Матрица сравнения альтернатив по критериямПо критерию J1 (стоимость)Собственный вектор Вес v jiABK1732,7590,69A1130,7540,19B71110,4810,12K33По критерию J 2 (время в пути)1110,3060,07A757132,7590,65B1511,1860,28K3По критерию J 3 (количество людей, подвергающихся шуму)1552,9240,69A1110,3420,08B5515110,23K5АльтернативаДля трёх площадок выражение (5.5) дает следующие результаты помногокритериальному качеству решений:S A 0,65 0,69 0,22 0,07 0,13 0,69 0,554;SB0,65 0,190,22 0,650,13 0,080,277;(5.6)S K 0,65 0,12 0,22 0,28 0,13 0,23 0,169.Таким образом, МАИ показал, что лучшей альтернативой-решением повыбору площадки является площадка A .
Но, кроме этого, полученоранжирование площадок по важности A B C ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
