05-06 (1261372), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

7. Волновая ф-ция, ее статический смысл и условие, которым она должна удовлетворять. Принцип суперпозиции в квантовой механике. С движением частицы связывается волновой процесс, описываемый волновой ф-цией (r,t)= =(x,y,z,t). (r,t)=(r)(t). dp=||²dV=|(r,t)|²dxdydz – вероятность того, что частица находится в объеме dV, определяемая радиусомr. Таким образом волновая ф-ция не имеет смысла, а квадрат модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в пр-ве. Поскольку ф-ция не имеет смысла, то она может быть комплексной: ||²dV=1 (от - до ) – условие нормировки.  - нормированная, если удовлетворяется условие: |e^i|²=e^i, e^-i=1. Требования к волновой ф-ции. =||²=^*, ||²dV=1. 1) Ф-ция должна быть квадратично интегрируема или конечна. 2) ф-ция должна быть однозначна. 3) непрерывность ф-ции вместе с первыми производными. Принцип суперпозиции. d=||²dV, =c₁₁+c₂₂. Если частица может находится в состоянии, описываемом волновой ф-цией ₁ и ₂, то она может находится и в состоянии , являющейся линейной комбинацией этих состояний. =c₁₁+c₂₂ (с₁ и с₂ могут быть комплексными), |c₁|² и |c₂|² дают вероятность того, что частица находится в состоянии 1 или в состоянии 2.

9. Уравнение Шредингера, его свойства. Статическая интерпретация волновой функции.

Ур-е Шредингера – основное ур-е нерелятивистской квантовой механики, которому подчиняется любая волновая ф-ция (x,y,z,t). Частица движется в некотором силовом полеF(x,y,z,t)=gradU(x,y,z,t) то есть силовое поле задается силовой ф-цией. Нужно найти волновую ф-цию, т.е. решить ур-е Шредингера:

ih(/t)=-(h²/2m)+U(x,y,z,t), (x,y,z,t) – искомая волновая ф-ция. i=-1 – мнимая единица, h – константа планка деленная на 2, m – масса частицы,  - оператор Лапласа, =²/x²+…+²/z². =²/x²+…+²/z² – подставим в уравнение. U – силовая ф-ция характеризует поле, в котором движется частица. Это уравнение справедливо для любой частицы, движущейся с малой скоростью. Оно дополняется условиями: 1) Волновая ф-ция  должна быть конечна, однозначна, непрерывна. 2) Частные производные должны быть непрерывны. 3) Функция ||² должна быть интегрируема.

10.Стационарные состояния, их временная зависимость. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Стационарные состояния – это состояния с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция U=U(x,y,z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. Уравнение Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая - только времени, причем зависимость от времени выражается множителем e^-iωt=e^-i(E/ħ)t, так что Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)e^-i(E/ħ)t, где Е- полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это выражение в уравнение Шредингера((–ħ²/2m)ΔΨ+U(x,y,z,t)Ψ=iħ(∂Ψ/∂t), где ħ=h/(2π), m –масса частицы, i-мнимая единица, U-потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется

Δ-оператор Лапласа(ΔΨ=∂²Ψ/∂x²+∂²Ψ/∂y²+∂²Ψ/∂z²), Ψ(x,y,z,t)-искомая волновая функция частицы) получим:

разделив на общий множитель e^-i(E/ħ)t и преобразовав придем к уравнению, определяющему функцию ψ

Δψ+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0-уравнение Шредингера для стационарных состояний. Это уравнение имеет бесчисленное количество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбираются решения, имеющие физич.смысл. Условия: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Т.о. реальный физич.смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями ψ .

11.Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Квантование энергии. Плотность вероятности для различных энергетических уровней.

Проведем качественный анализ решений уравнений Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной потенциальной с бесконечно высокими стенками. Такая яма описывается потенциальной энергией вида(частица движется вдоль оси х):

∞,x<0 где l-ширина ямы, а энергия

U(x)0,0≤x≤l отсчитывается от ее дна

∞,x>1

Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде: (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)(E-U)ψ=0. По условию задачи частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами равна 0. На границах ямы вероятность тоже обращается в 0. Следовательно, граничные условия имеют вид ψ(0)=ψ(l)=0. В пределах ямы(0≤х≤l) ур-ние Ш сведется к (∂²ψ/∂x²)+(2m/ħ²)Eψ=0 или (∂²ψ/∂x²)+k²ψ=0, где k²=2mE/ħ².

Общее решение диф.ур-ния ψ(x)=Asinkx+BcosKx. Т.к. ψ(0)=0, то В=0. Тогда ψ(x)=Asinkx. Условие ψ(l)=Asinkl=0 выполняется только при kl=nπ, где n –целые числа, т.е. необходимо чтобы k=nπ/l

Из всего этого следует что E_n=(n²π²ħ²)/(2ml²) (n=1,2,3…)

Т.е. стационарное уравнение Ш, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками удовлетворяется только при собственных значениях E_n, зависящих от целого числа n.

14.Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннельный эффект.

Рассмотрим простейший потенциальный барьер прямоугольной формы. Для одномерного (по оси х) движения частицы.

∞,x<0 (для области 1)

U(x)=0,0≤x≤l (для области 2)

0,x>1 (для области 3)

где l-ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна, U-высота. Частица, обладая энергией Е, либо беспрепятственно пройдет над барьером( при Е>U), либо отразится от него (при Е<U) и будет двигаться в обратную сторону. Для микрочастица, даже при Е>U, имеется вероятность отражения от барьера, и при Е<U есть вероятность проникновения через барьер. Это слудет из решения ур-ния Шредингера, описывающего движение микрочастицы

для областей 1 и 3 k²=2mE/h² ; для области 2 q²=2m(E-U)/h²

Общие решения этих диф.уравнений:

Ψ₁(x)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx(для области 1);Ψ₂(x)=A₂e^iqx+B₂e^-iqx(для области2) Ψ₃(x)=A₃e^ikx+B₃e^-ikx(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая, будет иметь вид ψ₁(x,t)=ψ₁(x)e^-(i/h)Et=A₁e^{-(i/h)(Et-px)}+B₁x^{-(i/h)(Et+px)} ( в этом выражении первый член представляет собой плоскую волну вдоль х, другой – волну, распространяющаяся в обратную сторону). В области 3 есть только прошедшая сквозь барьер волна и поэтому В₃=0.Для области 2 q=iβ;β=√2m(E-U) /h.

Получили Ψ₁(x)=A₁e^ikx+B₁e^-ikx, Ψ₂(x)=A₂e^-βx+B₂e^βx ,Ψ₃(x)=A₃e^ikx

Качественный характер функций ψ₁(х),ψ₂(х),ψ₃(х)(см.рис2), откуда следует, что волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т.е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Т.о. приходим к явлению – туннельный эффект, когда микрочастица может пройти сквозь потенциальный барьер.

15.Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора и анализ его решений.

Линейный гармонический осциллятор – система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы – является моделью, используемой во многих задачах классической и квантовой теории. Пружинный, физический и математический маятники – примеры классических гармонических осцилляторов. Потенциальная энергия осциллятора равна

U=mω₀²x²/2 где ω₀- собственная частота осциллятора,m- масса частицы.

Гармонический осциллятор в квантовой механике – квантовый осциллятор – описывается уравнением Шредингера, учитывающим выражение для потенциальной энергии. Тогда стационарные состояния квантового осциллятора определяются ур-нием Шредингера вида

где Е- полная энергия осциллятора. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение решается только при собственных значениях энергии E_n=(n+½)ħω₀. Эта формула показывает, что энергия квантового осциллятора может иметь только дискретные значения, т.е. квантуется. Строгое решение задачи о квантовом осцилляторе приводит еще к отличию от классического рассмотрения. Квантово-механический расчет показывает, что частицу можно обнаружить за пределами дозволенной области, в то время как с классической точки зрения она не может выйти за пределы области. Т.о. имеется отличная от нуля вероятность обнаружить частицу в области, которая является классически запрещенной.

16, 17.Представление физических величин операторами. Вычисление средних значений физических величин.

А) Оператор координаты. Действие сводится к умножению волновой функции на эту координату: x^{^}=x, y^=y, z^=z или x^=x…

б) Оператор проекций импульса. Выражаются с помощью операторов дифференцирования по соответствующим координатам: P^_x=(h/i)(/x), P^_y=(h/i)(/y), P^_z=(h/i)(/z),­­­­­­p^={ P^_x, P^_y, P^_z}.

В) Оператор момента импульса:

L=rp, L_x=yp_z-zp_y; L_y=zp_y-xp_z; L_z=xp_y-yp_x;

L^_x=y^p^_z-z^p^_y=(h/i)(y/x-z/y).

Г) Оператор кинетической энергии. Определим T, пользуясь формулой Т=p²/2m, T^=p^²/2m=-h²/2m. Вычисление средних значений: L^=L,<L>=*L^dV, (r)=Aexp(-r/a)

18.Условия возможности одновременного измерения разных величин. Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Гейзенберг предположил, что невозможно определить точно положение и импульс. Неопределенность положения х и р_х удовлетворяют соотношению

Δx·p_x≥ħ/2

Δy·p_y≥ħ/2

Δz·p_z≥ħ/2 Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В получим ΔА·ΔВ≥ħ/2. Производные неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величина меньше постоянной Планка ħ. Энергия и время тоже канонически сопряженные величины ΔЕ·Δt.≥ħ

19.Уравнение Шредингера для атома водорода. Квантовые числа и их физический смысл.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze(для атома водорода Z=1)

где r-расстояние между электроном и ядром

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера, учитывающие значение U(r):

m-масса электрона, Е- полная энергия электрона в атоме.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)