OMM_podgotovka_k_RK (1246846)
Текст из файла
Основы математического моделированияПодготовка к РКСеминар 2 (09.09.2020) Введение в теорию размерностей.Задача 1. Процесс течения жидкости в трубе характеризуется следующими параметрами: плотностью , динамической вязкостью , радиусом трубы , скоростьюжидкости , удельным перепадом давлений = (1 − 2 )/. Построить формальнуюзависимость , от всех параметров в случае, если нет скорости жидкости .Задача 2. Движение тела в жидкости характеризуется следующими параметрами:размером тела , скоростью тела в жидкости , углом , плотностью жидкости ,динамической вязкостью .
Найти формальную зависимость (размерность силыимеет) от остальных параметров в случае, когда нет динамической вязкости ; плотности жидкости ; тело имеет форму шара (т.е. нет угла ).Семинар 3 (16.09.2020) Применение Π – теоремы для построенияфункциональных зависимостей.Задача 1. Я выходил к доске на этой задаче, условие у меня не записано (там ещебыло очень много параметров).Задача 2. Некоторый процесс характеризуется следующими параметрами: длиной, плотностью , скоростью , температурой на бесконечности 0 , температурой ,вязкостью , коэффициентом теплопроводности , газовой постоянной , теплоемкостью , ускорением свободного падения .
Найти 6 безразмерных комбинаций.Семинар 4 (23.09.2020) Построение простейших ММ.Задача 1. Колебания шарика, прикрепленного на пружинке, описываются следующим дифференциальным уравнением ′′ + = 0, > 0 с начальными условиями(0) = 0 , ′ (0) = 0 . Найти соотношение между начальным положением 0 и скоростью шарика 0 , при котором максимальное отклонение max 6 .Задача 2. Получить уравнение движения шарика на пружине, используя закон сохранения энергии.Семинар 5 (30.09.2020) ММ популяций.
ММ электрических цепей.Задача 1. Выписать первый интеграл системы дифференциальных уравнений, которая описывает модель «хищник – жертва» :⎧⎪⎨= (1 − 1 ) ,⎪⎩ = (2 − 2 ) .Задача 2. Выписать первый интеграл системы дифференциальных уравнений, которая описывает модель «зарплата + занятость »:⎧⎪⎨ = −1 ( − 0 ) ,⎪⎩= 2 ( − 0 ) .1Задача 3.
Для приведенной схемы электрической цепи выписать уравнения. Найтиустановившееся решение.Задача 4. Для приведенной схемы электрической цепи выписать уравнения.Семинар 6 (07.10.2020) Уравнение переноса излучения. Уравнениягазовой динамики.Задача 1. Проверить формулу⎧⎫)︂(︂)︂(︂∫︁⎨⎬′′− − 0′′′′′exp − κ , − + = ,0 0 , −⎩⎭0⎧⎫(︂)︂(︂)︂∫︁0∫︁⎨⎬′′′−−′′′′′′′+ , κ , −exp − κ , − ′ . (1)⎩⎭′Указание – нужно подставить в уравнение для стационарного излучения (случай 2),при этом рассмотреть случай κ′ = const, тело ∈ (0, ∞), = const (не знаю, причемздесь температура), κ′ произвольное.
Найти при → ∞.Задача 2. Провести линеаризацию уравнений газовой динамики в лагранжевых массовых координатах.2Семинар 7 (14.10.2020) Уравнение Больцмана. Линейные уравнения вчастных производных.Задача 1. Досчитать до конца следующий интеграл:∫︁+∞{︁ }︁222( − ) exp( − ) .22−∞Задача 2. Найти функцию распределения (|⃗ |), исследовать функцию (, ) == ( − )(ln − ln ).Задача 3. Вычислить интеграл вида∫︁∫︁. . . (⃗ + ⃗1 ) ( ′ 1′ − 1 ) ⃗1 ⃗ .Задача 4. Построить функцию распределения () такую, что ⟨⟩ = 0, ⟨3 ⟩ ̸= 0.,функцию () искать в виде{︃ exp (− ( − 0 )) , > 0 , () =exp (− (0 − )) , 6 0 .Найти коэффициенты , , , 0 .
Не забыть про условие нормировки+∞∫︀ () = 1.−∞Задача 5. Определить тип уравнения в зависимости от параметра ( + ) + 2 − 2 = 0.Задача 6. Привести уравнения к каноническому виду + = 0, + = 0, + = 0, + = 0, + = 0.Семинар 8 (21.10.2020) Метод собственных функций решения уравненийв частных производных.Задача 1. Рассмотреть по материалам семинара одномерное уравнение Пуассона∆ = − с граничными условиями (0) = () = 0. Решение строится методом собственных функций.
С помощью непосредственного интегрирования найти ().Задача 2. Решить задачу в случае цилиндра 1 < < 2 .Задача 3. Рассмотреть по материалам семинара одномерное уравнение Пуассона в цилиндрическом и сферическом случаях.Решить задачи в случае цилиндра0 < < 2 и сферы 0 < < 2 , при этом потребовать от решения ограниченности.Задача 4. Решить задачу в декартовых координатах в нулевыми условиями Неймана.
Получить общее решение как обычным методом интегрирования ОДУ, так иметодом собственных функций.3Задача 5. Аналогично задаче 4, только рассмотреть на левом конце ГУ I рода, направом – III рода.Задача 6. Выписать методом собственных функций решение уравнения Пуассонав цилиндре (без дырки, т.е. 0 < < 2 ) с нулевыми ГУ на боковой поверхности иторцах.Семинар 9 (28.10.2020) Метод собственных функций и его применение крешению задач электромагнетизма.Задача 1. Рассмотреть задачу 3 из семинара (задача связана с электростатическимполе внутри бесконечной призмы). Выписать решение для функции и убедиться,что решения совпадают.Задача 2. Рассмотреть задачу 5 из семинара (задача связана с электростатическим полем внутри цилиндра, цилиндр бесконечный).
Провести выкладки и получить уравнение для ().Задача 3. Решить задачу = 2 , 0 < < , > 0, (, 0) = 0, (0, ) = 0 sin , (, ) = 0.Задача 4. Аналогично задаче 3, при этом > −∞ , начальных условий не задано.Семинар 10 (18.11.2020) Метод собственных функций и его применение крешению задач теплопроводности и колебаний.Задача 1.
Рассмотреть задачу 1 о теплопроводности в однородном стержне с заданными граничными условиями и начальными данными. Решить задачу без введенияфункций 0 , 00 . Сравнить полученное решение с полученным ранее.Задача 2. Рассмотреть задачу 3 о нахождении температуры однородного стержня(0, ) в точке 0 которого находится сосредоточенная теплоемкость 0 , начальнаятемпература произвольна, на концах нулевая температура. Убедиться в самосопряженности рассматриваемого дифференциального оператора относительно указанного скалярного произведения.Задача 3. Рассмотреть задачу 4 о колебании струны с подвижным концом. Сделатьзамену = 0 + , 0 = (). Убедиться, что получается то же самое решение.Задача 4. Рассмотреть случай () = sin для различных значений .Задача 5.
Рассматривается задача акустики о свободных колебаниях газа в закрытой тонкой трубке. Получить решение задачи = 2 , 0 < < , > 0, (, 0) = 0 () , (, 0) = 0 () , (0, ) = (, ) = 0.Задача 6. Рассматривается задача о распространении начального возмущения = 2 , − < < , > 0, (−, ) ={︃ (, ) = 0,1, −0 6 6 0 , (, 0) =, (, 0) = 0.0, < −0 , > 0 .Выписать решение в случаях: 0 < < ( − 0 )/ , ( − 0 ) < < 2/ , > 0.4Семинар 11 (25.11.2020) Применение интегральных преобразований.Задача 1. Найти решение задачи = 2 + (, ) , −∞ < < ∞, > 0, (, 0) = (, 0) = 0.c использованием преобразования Фурье и преобразования Лапласа.Задача 2.
Получить Фурье - образ решения задачи = + 2 , 0 < < ∞, > 0, (0, ) − ℎ (0, ) = κ () , || < ∞, (, 0) = (, 0) = 0.Для этого рассмотреть функцию = − ℎ.Задача 3. Аналогично задаче 2, но с использованием преобразования Лапласа.Задача 4. Рассмотреть задачу 7 из семинара. Решить ее c использованием преобразования Лапласа, когда (0, ) = 0 , (, 0) = 0.Задача 5. Доделать задачу 9.Задача 6. Решить задачу с использованием преобразования Лапласа = 2 + (, ) , 0 < < , > 0, (, 0) = 0, (0, ) = (, ) = 0.Семинар 12 (02.12.2020) Применение интегральных преобразований(продолжение).Задача 1. Рассмотреть задачу 2 о распространении электрических колебаний внеограниченном проводе при = – провод линии без искажений.
Пусть при<0:}︂{︂}︂ √︂{︂ ( + ) . = exp − ( + ) , = − exp − Решить задачу для случаев следующих граничных условий:(0 + )|=0 = 0 – заземление через сосредоточенную емкость.(0 + )|=0 = 0 – заземление через сосредоточенную индуктивность.Задача 2. С помощью интегрального преобразования Лапласа решить следующиезадачи для систем ОДУ:⎧ ′⎧ ′⎧ ′′⎪⎪⎪⎨ = 2,⎨ + = 0,⎨2 + − 3 = 0, ′ = 2, ′ − 2 − 2 = 0,′′ + ′ − 2 = 2 ,⎪⎪⎪⎩ (0) = 2, (0) = 2.⎩ (0) = (0) = 1.⎩ (0) = −1, ′ (0) = 1, (0) = 0.Задача 3.
С помощью интегрального преобразования Лапласа решить следующиеинтегральные уравнения:∫︁∫︁1 () = () + 1, () ( − )2 = 3 ,302 () =+2∫︁0( − ) −(−) () ,0∫︁05− () = sin .Семинар 13 (02.12.2020) Применение потенциалов при решении краевыхзадач (на примере уравнения Пуассона).Задача 1. Рассмотреть задачу 1 об объемном потенциале однородного шара. Вычислить скачки, если они есть.Задача 2. Вычислить потенциал круга с постоянной плотностью ∫︁=∫︁2 · ln01·.20Снова два случая:(︂)︂1 11 (︁ )︁2при > =ln , при 0 < < =− ln −.2 2 22 Задача 3.
Рассмотреть задачу 3 о вычислении потенциала простого слоя сферического радиуса . Вычислить разрыв нормальной производной.Задача 4. Вычислить потенциал двойного слоя сферы радиуса , плотность постоянна. (потенциал диполя)Задача 5. Сделать то же самое в двумерном случае:(︂)︂∫︁1 ln ,2 = −2 √︁2− 2 sin , = . = 2 + Задача 6. Найти решение первой краевой задачи:{︃∆ = 0, −∞ < < +∞, −∞ < < +∞, > 0,| = .Семинар 14 (09.12.2020). Применение потенциалов (продолжение)Задача 1. Рассмотреть задачу 5 о нахождении фундаментального решения волнового уравнения в сферическо симметричном случае (︀= 2 ∆)︀ + ( − 0 ) ( − 0 ). Ла1 2 пласиан в сферической системе координат ∆ = 2 . Сделаем замену = /,тогда ′ = ′ / − /2 , ′′ = ′′ / − 2 ′ /2 + 2/3 .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
