Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования (2013) (1246769), страница 42
Текст из файла (страница 42)
После изложения некоторых основных результзтов взриационного исчисления мы показали, как дать их простой вьнод с помощью функционального уравнения, полученна~о из принципа оптимзльносги. Мы подробно вскрыли трудности, возникая>щие при попытке использования уравнения Эйлера, а зател1 показали, как аппарат функциональных уравнений устраняег эзи трудности. В последующих ~лавах это утверждение будет проиллюстрировано примерами из области исследования оптимальных траекторий, многощаговых процессов производства и процессов управления с обраычой связью. Для того чтобы коммюжляии и виГлиогнлвия читатель сохранил интерес к изложению, замежтм, жо при применении динамического программирования возникают новые трудности в), в частности «$троклятие размерностиь.
КОММЕНТАРИИ И БИБЛИОГРАФИЯ 9 1. Читатель, интересующийся классическим варнационным исчислением, может обратиться к книгам: К. С о ц г а п 1 апд П. Н 1! Ь е г 1, Ме11юбз о1 Майе ша1$са! РЬуйсж )птегас)енсе РИЫ)чйегз, !пс., ут)счг уог(т, 1958 [русский перевод: Курант Р. и Ги аьберт Л., Методы матемапшеской физики, М.— Л., ГИТТЛ, 1951). С. А.
В ! $ а а, Ьестягса оп йе Са!си)яа о1 Тгаг)а!1опз, Опгксгигу о1 СЫсаяо Ргеаа, С1т)сайо, Вйпо)а, 1946 (русский перевод; Л. А. Б а и с с, Лекции по вариационному исчислению, М,, ИЛ, 1950). Случай сложного функционала вида ь р'(у) = ) а (г, х, у, р; (у), ра(у),... ) кг, где Рь Ра — интегральные функционалы, рассматривается в работе: К. Б. 1п р а г б ел, Сошрою1е таг$аг)опа! ргоЫешз, ВИН, г1с ГАсадеш)с Ро1опа1ае без Бс)спсса, Бег!е г$еа аск гпай., аз1г, ет рйуа., то1. 7, 1959, рр.
687 — О89. 7. Проблемам устойчивости, связанным с дифференциальными уравнениями, посвящена книга: К. В е11пт а и, БгаЬ)Шт ТЬеогу о$ П$$$егспт)а! Вона!)опз, МсСгажН$8 Воой Со., $пс., $4еж Уогй, 1954 (русский перевод: Р. Б е а хи а н, Теория устойчивости решений дифференциальных уравяенвй, ИЛ, 1954), где можно найти лгного других ссылок. 9 9. Читателю, который интересуется исследованием решений частйых классов вариационных задач, рекомендуем работы: К. Ве)!шап,1. С!$сйаЬегй апд О.
Сгозз, Оп хоп!с танц ацопа1 ргоЫешь оссцгг)пй )п йе йеогу о( г$упапис ргоргашпппй Кспй С1гс. Магегп. Ра1егпзо, зепе 2, гошо 3, 1954, рр. 1 — 35. *) Это замечание, по-видииому, адресовано читателю-математику, так как интерес читатеая-прикладника начинает резко падать, когда ему станови~ся ясным, что эти новые трудности являются практически непреодоаимылги. (Прим.
ред.) 1гл. и иаиняииоинои исчислении К. В с!!в а п, 1. О 11 с !т з Ь е г 8 апб О. О г о з и Богис ргоЫсгпз и йе |Ьеогу о! |1упапнс ргойгаввгпе — а звоо|Ып8 ргоЫегп, 3. Вос. |пбнз|. Лрр|. Ма|0., то|. 2, 19о4, рр. 82 — 89. К. В е1| в а и, 1. От!!с !т з Ь с г 8 апб О. О г о з з, Оп йе ЬапеЬапй сон|го| ргоЫев, О. АРР1. Май., то1. 14, 1956, рр. 11- 18. К.
В е 11 гп а п, 1. О 1 ! с !г з Ь с г 8 ап|1 О. О г о з Ь Вогпе поп-с|ам з|са! РгоЫсвз |п йс са!са1пз о! таПайопз, Ргос. Авсг. Май. Кос., то|. 7, 1956, рр. 87 — 94. К. В с|!в а п, %. Н. Р 1 е в | п 8 апб О. 'тг. Мг | б б е г, \апаиопз| ргоЫевз чНй сопз|гз|пж, Аппай гй Ма1с., ко|, 41, 1956, рр.
301 — 323. 6 11. Изложенный злссь подход приведен в главе 9 кнш и автора «динамическое программирование». Впервые он был дан в ряде более ранних работ: К. В е11п| з и, Г|упапнс ргойгаптв|пй апб а пси |чтя|ай гп |гг йс са|сп|иа о! тат|а!|она, Ргос. Ха1. Асаб. Бей О8Л, то1. 39, 1953, рр. 10?7 — 1082. К. В е11 в а п, Оп !Ьс арр|йа1|оп о| бгпав|с ргоргавв|пй |о тапа|гопа1 ргоЫсп|з атыйей |п ва1Ьсп|а|!са1 есопопнсж Ргос. Бппрозйп| |п Са|си|нз о| Чаюа1|опа апб Арр|юаиопз, МсОгав-Нгй Воой Со., !пс., Хеж Уог|г, 1956, рр. 115-.
!3. Ь 12. Строгий вывод основного нелинейного сравнения в частных производных |5.46) с точки зрения классической тсорнп лан в работе: Н. О з Ь о г п, Оп йс |оппбаиопа о| б|павй ргойгаппп|пй, й Май. апб Меси., то|. 8, 1959, рр. 86? — 872.
9 13. Один из способов получения уравнения Эйлера, использующий теорию характеристик, можно найти в главе 7 книги: К. В е11 в а п, у?упав|с Ргойгавв|пл о|Сонг|пиона Ргосеззез, Тйс КЛХО Согрогабоп, Керог| К-271, Г954. Результаты принадлежат Осборну. ?|ругон способ можно найти в статье: 5. О г е т 1 н з, у?упав!!с ргойгавв|пй апб 1Ьс са1сн|аз о! гапайопз, й Маг!» Апа1. апб Лрр|., то1.
1, 1960, рр. 228 — 239, где имеются остальные роз| льтаты главы. ф 22. Интерес к неявным варнационным залачам ожил в последние голы в связи с одним видом тправленив с обратной связью, называемым релейным. См. работы; Л. Р. 1. а Б а 11 е, Оп Вве-орбва! сон|го| ебз1евз, Ргос. Ха|. Лсад. Ясй Г|ВА, | о1. 45, 1959, рр. 573 — 577. К. В е11 в а п, 1. О!!с |г з Ь е г 8 апб О. О г о з а, Оп йс ЬапцЬапй соп1го| ргоЫев, О. АРР1.
Ма10, то1. 14, 1956, рр. 11 — 18. коммдитлвпи г! Вивлиогвдеия Многочисленные ссылки на «принцип максимума> Понтрягина И ПОСЗЕДУ7ОЩИЕ Работы русской шкоаы даны в кйиге: В. В с11в а п, Айарггче Сонно! Ргосс«зеа: А ОиЫей Тоиг, Рппсс1оп Спшсгз|1т Ргеш, Рппсс1оп, Хси Зевсу, !961 !русский перевод: Р. Б е а а м а н, Процессы регулирования с адаптацией, Изд-во «Натка», 1964!. См.
также 1. Р. Ь а Ба!!е апй Б. Ь с !а сЬ е1г, Весен! Бочге! сопгг!Ьийопа 1о оггВпагт гВВегептга1 ег1иа11оп«апй попВпеаг аесйапгсз, у. Майн Апаг апй Арр1., »о1. 2, 1961. С. А. П скос г, ТЬе Ьап8-Ьап8 зегчо ргоЫев ггеа!ей Ь»»апа11опа1 гссйп!«!иск, 1п1огва11оп апй Соп1го1, чо1. 2, 1959, рр. 333— 348, С А. П с з о с г, Роптг!а81п'а аахппипг рппсгр1е апй гйе рппсгр1с о1 ор1ппаРЗт, 3. ГгапЫ!п !пзг., то!. 271, 1961, рр.
361 — 368. % 24. Помещенное здесь изложение сасдтет работе: Б, П г с у!и в, Пупавгс рго8гаагпгп8 апй гйе са1си1ия о! »аг1аггоп«, у. Ма1Ь. Апа!. апй Арр!., то1, 1, 1960, рр. 228 — 239. О классическом подходе см. Е. Т. %1Ы11а ь е г, А Тгеайзе !п рне Апа1убс Пупавгсз о1 Раггк1еа апй 171816 Войгеа, СавЬггй8е !1п1чегаггу Ргеаз, СавЬпй8е, 1944.
ф 25. По поводу доказательства сходимости дискретных вариа- ционных задач к непрерывныи варнационным задачаи см. славу 9 книги «динамическое программирование», где приведены резуаь- таты В. Флеминга. К. В с 1!а а п, Гипс!гона! ециа!гоп> !п гйе роеогу о! йупаппс рго8- гапгв!п8 — И: а гЬгес! сопгсг8епсс ргоо1, Апп. Ма1Ь., чо1.
65, 1957, рр. 215 — 223, Н. О а Ь о г и, ТЬс ргоЫсв о1 сонг!пиона рго8гава, Рас1!1с 1, Ма11»., ги1. 6, 1956, рр. 72! — 731. 6 27. Более детальное знакомство с предметом можно получить по тпомянутой выше книге Бсахмана. По пиво»ту традиционных методов см. 1-.
Р ох, ТЬе Хивегка! Бо1и11оп о1 Тжо-ро!п! Воипйагу РгоЫсва гп ОггЬпагу 01!!степ!!а1 Е«1иа!гона, Ох1огй Оп!чегшгу Ргсяв, Ох1огй, 1957. 1.. С о 11 а 1г, Хивепасйе ВсйапгВипй чоп О11!егеп1!а181егсйип8еп, Всгйл — ООГ11п8егг — Негйе1Ьег8, 1955. Новый подход, основанный на идее квазияинеаризации, дан в работе: К. К а 1 а Ь а, Оп попВпеаг 6111егеп11аг ециа!1опз, гЬе гпахпципт оРегайоп, апй вопогопс соптег8спсс,й. Магй апй Месйч чо1. 8, 1959, рр. 5!9 — 574. 268 !'ГЛ. У ВАРИАЦИОННОВ ИСЧИСЛЕНИЕ Применение к оптике дано в работе; К. Ка!аЬа, Ттупагп!с Ргобгайгп1п8, Есггпа1'а РПпс!Р1е апб йе Егйопа! Ес!вабоп, зонг. Ор!1са1 Бес.
Агпегйа, чо1. 51, 1961, рр. 1150 †1!. Мы мало сказали о связи между устойчивостью и управлением. Ит1тересные сведения об этих вопросах можно найти в работах: Т. Н а с 8 е г, Бтарй!!1у о1 раг!!аВу соптгоВед гпо11опэ о! ап а1гсга!1, й Аегозрасе Бс!., чо1. 28, 1961, рр. 15 — 26. !7, В с11па а п, Пггесйопз о1 птайегпагйа! гезеагсЬ гп поп11псаг сисгн1 йсогу, 1ЕЕ Тгапз.
о1 Рго1еэыопа1Сгонр оп С1гсн11 ТЬеогу, ! о1. СТ-7, 1960, рр. 542 — 553. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА Дзя более полного ознакомления с классическим вариацнониыч исчислением лгожно также рекомендовать книги: Н. М. ! ю н т с р, Курс вариационного исчнглсння, Гостсхиздат, 194! . И. М. Г с л ь Ф а н д, С. В. Ф о м и н, Варнационное исчисленвс, 51., Физматгиз, !961. О связи мсткду классическим вариационныч исчислением, принпипом максимума 2Ь С. Понтрягина и динамическим программированием, см. Л. С.
Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. М и щ с н к о, Мателгатическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961. Л. И. Р о э о н о э р, Принцип максимума Л. С. Понтрягина в теории оптимальных систем, Автоматнна и тслсмеханика, т. 20, № 1Π— 12, 1959.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
