Беллман Р. Прикладные задачи динамического программирования (2013) (1246769), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Оптимальнап нагрузка согласно критерию 1, о=а, издержни =!20. '4 7а и и и Вутт т тту т5 Ау ы туеааастю т1т Рис. 38. Оптимальнал нагрузка согласно критерию 2, о=2, М=2, издержки =80. 154 сглзткиианиг н состанлнние Расписании !ГЛ. М 75 5 Рт ~,1 ус 2 ~ьА7 ~3я 5т Х //т /Х я Л //е/тата/ж а' Рис. 4!. Онтнмзаьная нагрузка согласно критерию 2, а=4, М = 4, издержки = !54. и ~ ~/Х ъЪ н'с, $ ~~ Ф/Р кь П ~о ф 7/7 /У з/7 Ы /7л/гттот/ж Дт Рис.
42. Оптимальная нагрузка согласно критерию 3, а=~ М=2, издержки = !23,5. ~аг1 сглаживания и составления глспислний ~гл. ш которых эта задача решается как классическими методами, так и методами динамического программирования. ь чч,гХ ~Ь д ч ~ь г~/ ф ч от,г,4 Л7 Юл гуедлгчгж Оптимальная нагр4зка согласно критерию 3, а=4, М=4, издержки=216,5. Рис. 45. 12. ЗАМЕНА ОБОРУДОВАНИЯ Одной из основных проблем индустрии является проблемз ззмены старого пзркз мзшин новым, устаревших орудий— современными устройствами. Оборудование со временем изнашиваезся как в буквальном смысле слова, так и «моральноа, т. е.
устареваег по сравнению с более современным модернизированным оборудованием, и наступает момент, когда большие затраты на новое оборудование, убытки вследствие остановки производства и расходы на создание новых кадров — все это компенсируется увеличением производительности н уменьшением производственных затрат. Мы хотим определить оптнмзльную политику модерниззцни и замены оборудования при разли шых предположениях относительно текушнх издержек, производственных характеристик н будущего развития техники.
Так как решения должны приниматься почти ежегодно в зависимости от характерного для данно~о процесса периода времени, мы, очевидно, имеем многошаговый процесс решения. 157 141 постановка задачи Во всех исследованиях тзкого рода мы вынуждены делать предположения относительно будупгего. Здесь мы рассмотрим только довольно просгой случай, когдз мы расползгаем предсказанием относигельно будущего. Кзк делагь такие предсказания и как следует их изменять на основании опыта — еще более сложные задачи (также относящиеся к динамическому п(ограммированию), которых мы в книге не будем касаться. 13, ФИЗИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС В целях упрощения рассуждениИ этого вводного параграфа предположим, что у нас имеется только одна машина, которая приносит ежегодно некоторый доход, требует определенного ухода и может быль в любои момент продана н заменена новой машиной.
11редположим, что доход, затраты на содержание, стоимость замены машины известным образом зависят от срока ее службы. При этих данных (рис. 46, 47, 48) чы хотим определить оптимальную политику ззмен в отношении этой машины. 14. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Предположим, чго решения принимаются только в моменты времени 1 — — О, 1, 2, . и чго в каждый алкой момент мы должны решизь, сохранить ли старую машину (это решение будем обозначать буквой К) или купить новую (это решение обозначим через Р). Пусть 7 (1) — суммарныя доход при оптимальной политике за весь рассматриваемый период от использования магнины, имевшей к началу процесса возраст б Лля того чтобы суммарный доход оставался конечным, введем коэффициенг скидки, т.
е. предположим, что одна единица дохода на некотором шаге равносильна а единицам дохода следующего шага. Это — известный прием математической экономики. То~да, действуя обычным образом, мы получим функциональное урзвнепие Р: г (О) — и (О) — с (1) -,'— ат'(1)( 7 (1) = шах ' ' ~. (3.16) А.: г(1) — (1)+ вИ+ 1) Это — первый рассматриваемый нами бесконечнып процесс и вместе с тем первый процесс, в котором обозначению / сглажиааннг и состаплвнив Расписании [Гл.
цг мы предпочли функциональное обозначение у(!). Как читатель убедится сам, этим мы упрощаем наши последующие обозна- чения, в которых используются другие индексы. !6. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ Ясно, что оптимальная политика состоит в следующем: держать машину, пока она не проработает Т лет, а затем заменить ее новой. Положив л (г) = г (!) — и (г), мы придем к следующей системе уравнений: 7"(0)= (0)+ау"( ), Т(1) = и (1) -,'— ау(2), ((Т вЂ” 1)=л(Т вЂ” 1) — , .'ау(Т), Т(7) = — с (Т) + л (О) + ау(1). Решая эту систему относительно г (!), получим !и (1) -!- ап (2) -!-... -!- ат а п (Т вЂ” 1) -"; !- п(О) ат — '!,т — ',(1) 1 а' (3.17) (3.18) (3.19) 16. ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ В Гз 13 иы предположили, что доход, затраты на содержзние и ззмену являются функциями только срока службы машины.
7!анные экспериментов показывают, что эту зависимость можно считать экспоненциальнои (см. рис. 46, 47, 48), т. е. г(1)=Ре ", и(1)п А+В(1 — е '), сЯ=С(! — Ие е). (320) Неизвестное значение 7 выбирается так, чтобы максимизировать это выражение для Т"(1), так как, максимизируя 7 (1), мы, очевидно, максимизируем и Т(0). Читагель сам иожет убедиться аналитически с помощью приведенных уравнений пли непосредственно из рассмотрения самого процесса в том, что если мы имеем машину возраста, меньшего чеи 7; то оптимальная политика состоит в использовании машины, пока она не прослужит суммарно Т лет, и в последующей замене ее новой машиной. Что делать с машиной, если срок ее службы превосходит Т, не вполне ясно. 16) тгхпологпчкскив з сов~ гшвпствовхиия 1Др (7 7 Рис.
47. и(Г) — годовые Расходы на со держание машины возраста Г. 7 г" 43. С(г) — стоимошь замены ма шины возраста Г, (3.21) Если издержки производства стремятся к нулю по мере улучшения технологии и если увеличение затра~ на содержание по мере старения машины уменьшается в сс раз ежегодно, то можно записатгк ит(!) = Ае ' '+ В(1 — е ') и' . (3.22) Вдесь Р— доход от новой машины, А — зазра~ы иа содержание повод машины, А+ — предельные затраты иа содержзние машины по мере ее старения, С вЂ” стоимость замены бесконечно устаревшей машины новой, 77 — доля С, остающаяся в качестве продажной цепы машины сразу после покупки, и (7 7 7,7 показатели з, тв и г( опре- Рис. 46.
г(Г) — годовой доход от маделяют скорость стремле- шины возраста Г иия к пределу соответствующих величии. 1!редположим чеперь, что производятся технологические усовершеиствовзиия. В результате машина, произведенная в течение каждого следующего годз 7!7, будет. дзвать начальный доход, превосходящий Р, и в дзлеком будущем у абсолютлш новых машин пзчальпыи доход будет рзвеи Р+ Я.
11редположим, что улучшение начальных характеристик носит также экспоиеипиальный ха- Рис. рактер уже как фупкпия от времени изгоговления машины, а ие срока службы. Так как год производства определяется значением 7ч', то мы можем написать: гм(!)=)Р— (7(! — е е ))]е '.
мо сгллжнвлние и состлвлшн!е Расписаний 1гл. н! Стоимость этих новых улучшенных мзшин может со временем увеличиваться или уменьшаться; но, не ограничивая общности, можно гзкже предполага1ь ее постоянной. Игзк, мы определили семейство кривых.
Для машин, произведенных в некоторый год, мы имеем кривую поведения в зависимости от возраста машин. На рис. 49 показано типичное семейство таких кривых, изображающих затраты на 4+й Машина, нраизведенназ в й-й еад Машина, паеизведеннав в зй-й гвд $ Маиина,ивви в 7й7-й м зведеннал гвд Базраст лгаш ивы Рис. 4(Э. 1!. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ В ТЕРМИНАХ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Введем следующие функции: ул, !Г) — величина суммарного дохода за год Аг от машины возраста Г *) яри оптимальной политике замены а оставшийся периоде*).
н) И за период оослс года )17. (Принь ред.) **) Включая год А!. !Прим. ред.) (3.23) содержание машины. Хотя предположение об экспоненцнзльном характере технологических изменений облегчает ответы на некоторые вопросы и весьма реалистично, в следующем параграфе мы приведем численное решение, не зависящее от конкретного вида этой зависимости. На практике готовые таблицы различных затрат не менее удобны в употреблении, чем аналитические зависимости, и в то же время они больше соответсгвуют дсйсавиаельности. В большинстве данных ранее решений этой задачи экспоненциальные зависимости были введены для облегчения аналитического решения.
16! ПРИМВР Вудугцне доходы, как и выше, учитываются со скидкой а. Однако мы также предполагаем, что процесс длится у1уй шагов и затем останавливается. Следовательно, уме+ у (г) = О. Так как суммарный доход, связанный с приобретением новой машины в год Гуу, равен Уф(1) =ум(0) — пк(0) — сл(1)+ аУмЧ ~ (1), (3 24) а доход при сохранении старой машины равен Учлй1 (1) = гл (1) — ил (1) + аУл',— ~ (1 + 1) (3 25) то мы получаем уравнение 7„(г)=щах[уф(г), уф>я[ (3.26) или Гл (г) = шах Р: гм (0) — ггуу (0) — суу (1) + ау ус+ ~ (1)1 (3. 27) К: гн(1) — уул(1)+ аУмЧ 1(1+ 1) Функция аут(1) полагается равной 0 для Лг~уууй+1. Когда в уравнении (3.27) уч' принимает значение ууг„мы получаем выражение для уле(1) через известные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
