Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 63
Текст из файла (страница 63)
5) дает возможность определить функции влияния начальных отклонений и правых частей в (1. 1) на величину х,(Т). Аналогичным образом можно определить функции влияния Л(2)(1),... Лоо(1) для величин х2(Т),... х„(Т). Для зтого необходимо соответствующим образом видоизменять начальные условия (1,5). Объединяя векторы Л(!)(1),... Л(")(Т) в матрицу н транспони. руя полученную матрицу, можно определить матрицу перехода порядка лХл: Пусть исходная оценка вектора бг в момент времени !4 — О составляет хг (~ — 0) = зг (П. 1) а корреляционная матрица равна г! К(г.— О)=:М~~Зг — Ъг) ~(гг — Ьг ) К . (П.2) В момент времени т4 измеряется вектор (совокупность измерений) ьв= 68г —: — йх, (П.
3) ~де 6 — некоторая матрица; бг — вектор ошибок измерений, которые имеют нулевые математические ожидания и образуют корреляционную матрицу (П. 4) Будем считать, что ошибки измерений коррелированы между собой, но некоррелированы с ошибками ранее проведенных измерений. Отметим, что в частном случае, когда ошибки измерений отдельных компонент вектора бе некоррелированы между собак, матрица Р является диагональной.
В результате оценка и корреляционная матрица вектора бг изменяются: бя — бг4, К вЂ” К4. Очевидно, что мерой песогласованностп прежней оценки бр и результатов измерений является величина бе -6бг, позтому ищем новую оценку в виде Ъг, = —.Зг — ' Е ( 8е — 6аг (П. 5) где  — неизвестная пока матрица. Определим зту матрицу из условия, что скалярная величина (П.
6) достигала минимума. Здесь  — любая положигельно определенная симметричная неособенная матрица. Например, если  — единичная матрица, то Ф представляет собой сумму дисперсий координат; скольку вариация бй является произвольной, определим ее из соотношения ВЗТ. ==- аА (11. 13) (е — некоторая бесконечно малая величина). Соотношение (П, 13) разрешимо относительно бЕ, так как матрица  — неособенная: (!!. 14) В итоге получим ЗФ=2за,, ф О, что приводит к противоречию. Следовательно, А 6К (г бг!г) ! ргт 9 (П.
15) пли Аг = — ()т+6К бг) '6К, В=К бг(А'-!-6К Сг) (И. 16) (независимо от конкретного вида матрицы В!). Подставляя это выражение в (П.9), найдем, что К -=-К вЂ” К бга+бк 6')-'6К . (В.17) Если матрицы К и )г — неособенные, это выражение можно привести к виду ʄ—..-(бг)с — 'б+К ) '. (!!.
18) 4 аз В частном случае, когда измеряется одна величина, вектор бе переходит в скаляр бе„матрица б переходит в вектор-строку яг, матрица Р переходит в скаляр ол. Легко видеть, что формулы (П. 5), (11.16) и (П.18) переходят при этом в формулы (5.44) и (5. 45). Как видно, при выводе формул не использовалось допушение о гауссовском распределении случайных величин, однако формула для изменения оценки произвольно задавалась в виде линейной функции результатов измерений, Те же формулы можно получить, исходя из принципа максимума правдоподобия (см.. например, (28)), если считать распределения всех случайных величин гауссовскими.
В обшем случае при негауссовском распределении оценка бг, полученная исходя из принципа максимума правдоподобия, является нелинейной функцией результатов измерений. друга случайных приращений с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями, равными Кэ=Кь+. У'правление (выполнение корректирующих импульсов) изменяет оценку конечного промаха, но не изменяет корреляционной матрицы этой оценки, если ошибками управления (погрешности выполнсния корректирующих импульсов) можно пренебречь. При выводе указанных формул были для простоты использованы допущения о независимости ошибок измерений, проведенных в разные моменты времени, и об отсутствии непрерывно действующих возмущений.
Однако можно показать (см. (54)), что формулы 11. 22 и П. 23 остаются справедливыми и при отсутствии этих допущений. ПРИЛОИ(ЕИИЕ И) ПОСТРОЕННЕ ПСИМПТОТНЧЕСННХ РЕШЕНИЙ ЯННЕЙНОЙ СНСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ РРХППЕНИЙ С МЕДЛЕННО ПЗМЕНИЮЩНМИСЯ НОЗФФИЦНЕНТПМИ Метод ВКБ (метод Вентцеля, Крамерса, Бриллюэна [46]) Применяется для приближенного построения решений системы линейных дифференциальных уравнений с медленно изменяющимися коэффициентами.
Большая часть исследований, посвященных применению этого метода (ино1да его называют также асимптотическим методом), относится к уравнению второго порядка, Приведем метод построения асимптотических решений для системы произвольного порядка в форме, предложенной А. И. Курьяновым. Рассмозрич систему дифференциальных уравнений — = А()х. !!!!. ! ) ~г! х~ Здесь х= — вектор; А(т) — матрица порядка плсп, составхл ленная из коэффициентов ап(т), т=е(, где е — -параметр чалости, обозначающий, что коэффициенты а;; изменяются медленно. Если коэффициенты матрицы А являются постоянными величинами, то решением системы (!!!.1) является линейная ьомбипация х= С,р пе"' ...+С,рм'с' ', (Ш.
2) где Ла — корни уравнения; ~Л! — А / =Π— (! — единичная матрица; (1П. 3) С,— постоянные величины, определяемые из начальных условий; рщ — собственные векторы — решения уравнений Л,р"=. Ар~", (Ш. 4) Ограничимся случаем, когда все корни различны. лп По аналогии с (П1. 2) ищем решение системы (1П. 1) с медленно изменяющимися коэффициентами в виде линейной комбинации решений, порождаемых различными корнями уравнения !Л(т) 7 — А(т))=0 (!П.
5) Будем считать, что все корни Л1(т) ... Л„(т) остаются различными в рассматриваемом диапазоне изменения т. Итак, рассмотрим любой из корней уравнения (Ш,5) Л(т) и будем искать порождаемое им решение в виде 1'л «мг х=(рз(т)+тР,(т)+...) е ' (Ш. 6) Тогда 1; (од~ — =(Л(т) ра(т)+а [ро(т)+Лр1 (т)]-~-...) е' лг (штрих обозначает дифференцирование по т). Подставляя (1П.
6) н (1П. 7) в систему (П!.1) и выделяя члены нулевого порядка малости, получим Л (т) Ро (т) = А (т) Ро (т). (1П. 8) Поскольку Л(т) является корнем уравнения (П1. 5), однородное уравнение (П!. 8) имеет решение (25), если компоненты вектора р~ пропорциональны минорам йн(т) какой-нибудь строки опреде- лителя !Л(т)! — А(т) ) — они известны с точностью до неопреде- ленного пока множителя С(т): д1(т)1 р (г) С(т) (!!!.
9) д„(т) Для того чтобы определить функцию С(т); выделим в уравнении (1П. !), в которое подставлены выражения (П1.6) и (П1,7), члены первого порядка, пропорциональные е, Лр,(т) — А(т) р,(т)= — ро(т). (1!1. 10) Поскольку определитель (1П. 5) равен нулю, неоднородное урав- нение (П1, 10) имеет решение для р, только в том случае, когда правая часть (П1. !О) совместна с однородным уравнением (25). Условие совместности можно получить, заменяя в определителе (П1. 5) любой из столбцов вектором р~'(т)' и приравнивая нулю измененный определитель. Но, поскольку а1(т) ! д1 (т) ра(т)=С' (т) )+ С (т), (Ш, 11) ..(,) Ь.(т) 4оа условие совместности приводит к дифференциальному уравнению вида а(т) С'(т) 4- Ь(т) С(г) =О (П!. 12) с решением или "~ у а(т)О у где нх у= —.
й Корнями характеристического уравнения являются ).ь2=- )Га(т). Рассмотрим корень )ч= )'а(т). Матрица (л11 — А) имеет вид )/а (т) — 1 — а (т) )1 а (т) Найдем вектор рм вычисляя миноры определителя этой матрицы для элементов второй строки: (П!. 15) 1 р (т) С(т) )/а (.) Отсюда 1 ра (т) =-С' (т) + )/а (т) С'(т) С'(с) )~а(т]+С(т) 2 У а(т) — , 'С(т) а' (т) 2 '! "а (т) 4С9 4 О) С (т) = С (та) е (1П.
13) что позволяет определить вектор рз(т). Описанная процедура применяется поочередно для построения всех решений, порождаемых различными корнями уравнения (Н1.5). Если в какой-либо точке два корня уравнения (1Н,5) совпадают и.ти становятся очень близки, то построенные решения перестают быть справедливыми.
Кроме того, следует помнить, что приближенные решения справедливы лишь в случае медленного изменения коэффициентов матрицы А. Рассмотрим простейший пример — — а(т) х=О, а2х а 22 Заыецяя вектором ра'(т) первый столбец матрицы (111. 15) и приравнивая определитель полученной матрицы нулю, получим С' (т) С' (т) )Га (т) + С (х) 2 )Уа(т) откуда следует, что = О, (П1. 16) )Га (т) С(т)= 4 т/ а (т) Таким образом, решение порождаемое первым корнем, записывается в виде ( Уа<~) ш С1 т/а (т) ) Уа()аг у, = С, 1У а (т) ем ) г= — ) а(т), Аналогично имеет впд решение, порождаемое корнем — ) Уасп ш х= ' е тУа (т) (Уао) аг у,=С,): а(т)е ' Константы С1 и Сг определяются из начальных условий Если а(т) (О, то общее решение удобнее представить через линейпыс комбинации комплексных решений ~ ' ~ и ~ Дг Дг ! х= 4- У вЂ” а(т) С,з(п '1' — а(т) й+Сгсоз )à — а(т)Ж ы ы ,=,'- () с,.м.(У вЂ” (Ча — се ъ(У вЂ” ~ )а1.
! (аа ~г ага ~!б аг 4аг (( 1. Выписанные решения несправедливы, если функция а(т) пере- ходит через нуль. Условие применимости полученных решений имеет вид [46) Литература 1. Алекса н дров С. Г., Федоров Р. Е., Советские спутники п кас- чическпе ракеты, изд-во АН СССР, 1959. 2. Алексеев К.
Б., Б е бе ни н Г. Г., Управление космическим лета. тельным аппаратом, изд-во «Машиностроение», 1964. 3. Бе бенин Г Г., Ориентация и управление полетом Справочник по космонавтике, Воениздат, !966. 4. Б ел е ц к и й В. В., О траекториях космических полетов с постоянным вектором реактивного ускорения, «Космические исследования», 1964, т П, вып. 3. 5.
Б ел ецк п й В. В., Егоров В. А., Разгон космического аппарата сферой действия планеты, «Космические исследования>, 1964, т. П, вып. 3. 6. Б е тт и н Р., Наведение в космосе, пзд-во «Машиностроение», !966. 7. Б и бе р м а н Л. М., и др., Радиационный нагрев при гиперзвуковом обтекании, «Космические исследования», 1964, т. 1, вып. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
