Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде Matlab (2006) (1246139), страница 24
Текст из файла (страница 24)
3, мы проиллюстрируем фильтрацию в частотной области примерами по улучшению изображений, включая фильтры низких частот, базовую фильтрацию высоких частот, а также фильтрацию с усилением высоких частот. Мы коротко остановимся на том, как частотная и пространственная фильтрации, выполненные одновременно, могут дать хорошие результаты, недоступные при использовании только одного типа фильтрации. Концепции и методы, развиваемые в следующих параграфах, являются достаточно общими, поэтому они будут часто иллюстрироваться в других приложениях, которым посвящены гл.
5, 8 и 11. 4. ~. Двумерное дискретное преобразование Фурье Пусть 1 1х, у), при х = О, 1, 2,..., М вЂ” 1 и у = О, 1, 2,..., Х вЂ” 1, обозначает изображение ЛХ х Х. Двумерное дискретное преобразование Фурье (гзг Т, Пеэгеге г опт!ег Тгапэ1огш) изображения з', которое обозначается Г(и, е), задается уравнениями м-г м-г г (и е) ~~~ ~~~" Г" (х р)е — 12ч(их/м+иУ/м) =о э=о при и = О, 1, 2,..., М вЂ” 1 и с = О, 1, 2,..., Х вЂ” 1. Мы могли бы разложить экспоненту на синусы и косинусы от переменных и и е с соответствующими частотами (переменные х и у уйдут после суммирования). Частотной областью называется координатная система, задающая аргументы Е(и, и) частотными переменными и и ш Здесь можно обнаружить аналогию с заданием аргументов 1(х, у) пространственными переменными х и у.
Прямоугольную область размера МхАт, .Д д б» ~23)) задаваемую при и = О, 1,2,..., М вЂ” 1 и и = О, 1, 2,..., 1У вЂ” 1, принято называть частотпнь«м прямоугольником. Видно, что частотный прямоугольник имеет те же размеры, что и исходное изображение. Обратное дискретное преобразование Фурье задается уравнениями 1 М вЂ” 1Л вЂ” 1 Р( ) ч «ч Р( ) -гз«( /м-'г»у/и) МА х =о »=о при х = 0,1,2,...,М вЂ” 1 и у = 0,1,2,...,Х вЂ” 1. Таким образом, зная Р(и,о), можно восстановить ~(х, у) с помощью обратного ПУТ. Величины Е(и, и) в этих уравнениях принято называть коэффициентлами разложения Фурье. В некоторых определениях коэффициент 1/МХ помещается в прямое преобразование, а в других — в обратное. Для совместимости с реализацией преобразования Фурье в системе МАТЬАВ мы будем считать, что коэффициент 1/МХ расположен в формулах обратного преобразования, как это приведено выше.
Поскольку индексы массивов в МАТЬАВ начинаются с 1, а не с О, в МАТ1,АВ формулы г (1, 1) и Х(1, 1) соответствуют математическим величинам Е(0, О) и г" (О, О), которые стоят в прямом и обратном преобразованиях. Значение преобразования Фурье в начале координат частотной области (т. е. величина Е(О,О)) называется коэффициентом или компонентой дс преобразования Фурье. Эта терминология пришла из электротехники, где «бс» означает «с11гесс спггепс», постоянный электрический ток (ток с нулевой частотой). Легко показать, что величина Р(0,0) равна числу МХ, умноженному на среднее значение функции 1(х, у).
Даже если изображение 1(х,у) вещественно, его преобразование Фурье является, как правило, комплексным. Основной метод визуального анализа этого преобразования заключается в вычислении его спектра (т. е. абсолютной величины Е(и, и)) и его отображения на дисплее. Пусть В(и, о) и 1(и, и) обозначают вещественную и мнимую компоненты Е(и,о), тогда спектр Фурье задается выражением /Р(и, и)! = (Я (и, о) + 1 (ихи)] Фазовый угол (угол сдвига фазы) преобразования задается формулой ф(и, и) = агстб ~ ( г'(и, и) 1 ~Г(и, и) ~ Введенные выше функции можно использовать для представления Г(и, о) в стан- дартных полярных координатах разложения комплексных величин Р(и, и) = ~Г(и, о)~ега1 '"~. Энергетический спектр (или спектлральнол функция) равен квадрату модуля Р(и, о) = ]Е(и, о) ~~ = йг(и, и) + г'г(и, и).
С точки зрения визуализации не принципиально, какую функцию отображать на экране, ~Е(и,и)~ или Р(и,и). Если Дх, р) вещественно, то его преобразование Фурье является сопряженно симметричным относительно начала координат, т. е. г'(и, и) = Г*( — и, — п), что означает симметрию спектра Фурье относительно начала координат: !г'(и,п)~ = (г'( — и, — и)!. Сделав прямую подстановку в уравнения для Г(и, и), можно показать, что Г(оп) = Г(и+ ЛХр) = Е(и, и+ Ю) = Г(и+ Мп+ Лз!).
Другими словами, функция Т)ЕТ является периодической по обеим переменным и и и, периоды которой равны ЛХ и )!! соответственно. Обратное преобразование Фурье также имеет свойство периодичности: ,Х(х, у) = Х (х + М, у) = Х(х, у + Л') = Х(х + М, р + Л1). Это свойство часто приводит к затруднениям, так как интуитивно не очевидно, что взятие обратного преобразования Фурье приводит к периодической функции.
Стоит помнить, что это обстоятельство просто является математическим свойством прямого и обратного Т)ЕТ. Заметьте также, что в конкретных реализациях вычисляется только один период 1)РТ, поэтому мы будем работать с массивами размера ЛХхЛ!. а) Г(и) — М12 0 М!2 ! '~ М!2 - — М М вЂ” 1 Один период (Мточек) б) с!и) 0 М!2 !ч М вЂ” ! — Один периол (М точек) Свойство периодичности весьма важно при изучении того, как данные Т)ЕТ связаны с периодами преобразования. Например, на рис.
4.1, а) показан спектр г'(и) одномерного преобразования Фурье. В этом случае свойство периодичности выражается формулой г'(и) = г"(и+ ЛХ), откуда следует, что !Г(и) ~ = )г-'(и+ ЛХ)), ~~~~24 Глава 4. Обработка в частотной области Рис. 4.1. а) Спектр Фурье показан составлением рядом двух полупернодов а интервале )О,М вЂ” 11. б) Перемещение центра спектра в том же интервале, которое достигается умножением Х!т) на 1 — Ц* до взятия преобразовани» Фурье 4..д ь сб е (2~~3) Рис. 4.2.
а) Спектр Фурье размера Мхл' (затевенная область); показан составлением 4 квадрантов. 6) Спектр, полученный умножением Х(х,у) на (-1) тв до взятия преобразования Фурье. Показан один период (затененный), поскольку только его необходимо вычислить по фор- муле б) а) [М!2 , М иода Периоды двумерного ПГТ (, ) Массив данных Мкгт), который получается при вычислении г(а, т) Приведенные выше рассуждения о центрировании преобразования с помощью умножения )(х, у) на ( — 1)зев представляют важную концепцию, которая а из свойства симметрии заключаем, что г'(и) = г'( — и).
Свойство периодичности указывает на то, что Е(и) имеет период ЛХ, а свойство симметрии означает симметрию функции относительно начала координат, как показано на рис. 4.1, а). Этот график, а также предыдущие комментарии показывак>т, что модули величин преобразования от М)2 до ЛХ вЂ” 1 являются повтором величин из первой половины слева от начала координат.
Поскольку в одномерном Пг Т необходимо вычислять ЛХ точек (т. е. для величин и из интервала [О, М вЂ” Ц), то достаточно вычислить преобразование для первой половины точек. Нам нужен один, прав лько упорядоченньгй период на интервале [О, ЛХ вЂ” 1[. Нетрудно показать (см. [Сопха1ех, Ч1оос)в, 2002[), что нужный период получается умножением Х(х) на ( — 1)* до вычисления преобразования. На самом деле, все зто означает перемещение начала координат преобразования в точку и = М)2, как показано на рис. 4.1, б).
Теперь величина спектра при и = 0 на рис. 4.1, б) соответствует [Г( — М/2)[ на рис. 4.1, и). Аналогично, величины [Е(ЛХ/2)[ и [Е(ЛХ вЂ” 1)[ на рис. 4.1, б) соответствуют величинам [Г(0)[ и [Е(ЛХ)2 — 1)[. Похожая ситуация наблюдается для двумерных функций. Вычисление двумерного ПГТ дает точки преобразования в прямоугольной области, показанной на рис.
4.2, а), где затененная область показывает величины Е(и,п), которые вычисляются по формулам, указанным в начале этого параграфа. Пунктирные прямоугольники получаются периодическим повторением, как на рис. 4.1, а). Затененная область показывает, что величины Е(и, и) распадаются на 4 периодических квадранта, которые соприкасаются в точке, указанной на рис. 4.2, а). Визуальный анализ спектра упрощается, если переместить начало координат преобразования в центр спектрального прямоугольника. Это можно сделать, умножив Х(х.р) на ( — 1)е+в до вычисления преобразования Фурье. Тогда периоды выстраиваются так, как показано на рис. 4.2, б)).
Как и при обсуждении одномерных функций, значение спектра в точке (М/2, Аг)2) на рис. 4.2, б) совпадает со значением в (О, 0) на рис. 4.2, а), а значение в (О, 0) на рис. 4.2, б) совпадает со значением в ( — ЛХ/2, — Ж)2) на рис. 4.2, а). Аналогично, значение в точке (М вЂ” 1, тт( — 1) иа рис, 4.2, б) равно значению в (М)2 — 1, Аг/2 — 1) на рис. 4.2, а). ~~26 Г 4. Об б г б здесь приводится для полноты изложения. Однако при работе с МАТ1,АВ подход заключается в вычислении преобразования без умножения на ( — 1) +", после чего данные передвигаются с помощью функции ЫтСвЬййе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
