Лекции по дисциплине Оптимальное управление многоуровневыми ММС. Глава 1 (2016) (1245050), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

В свою очередь, векторный характертребований к системе определяется свойствами структурной и функциональной сложности обликасовременных управляемых технических систем.Вектор технических требований к параметрам, статическим и динамическим характеристикам,управляющим силам, обобщенным свойствам эффективности и потерь и др. формируется, какправило, в форме системы неравенств, удовлетворяющих вектору технических требований,составляет основу (прообраз) многокритериальной оптимизации (в смысле получения допустимыхначальных приближений оптимальных решений).Собственно, задача многокритериальной оптимизации формируется тогда, когдапроектировщик ряд допустимых свойств, которые следуют из соответствующих техническихтребований-неравенств, стремится заменить на достижимые предельные (экстремальные),формируя по данным свойствам вместо неравенств обобщенные показатели эффективности ипотерь.Достижимая максимизация эффективности и/или минимизация потерь составляет критерийрешения задачи.

Множество критериев совместно с сохранившимися техническими требованиямив форме неравенств составляет существо задачи многокритериальной оптимизации (далее МКО).61.2.2. ПОСТАНОВКА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙБез ограничения общности анализа рассматриваются две постановки: оптимизации управленияи принятий решений.Постановка многокритериальной задачи оптимизации управления имеет вид.Вектор критериев эффективности или потерь в смешанной формеJ   J1 ,, J l   max  min  .(1.1)Структура i-го критерия:tkJ i   f 0i  x, u  dt  Fi  x  tk  , tk  .(1.2)t0Описание модели системы с вектором состояния x  t  и управлением u с размерностями n иm соответственноx  t   f  x  t  , u  , dim x  n, dim u  m.(1.3)Ограничения на управление и состояниеu  U, x  X.(1.4)Краевые условияx  t0   x 0 , x  t k   x k .(1.5)К подобной постановке может быть приведена и задача регулирования, где вектор u можетиметь смысл регулирующего воздействия на объект задачи и принимать другие формы.Управляющие силы в задачах регулирования, управления могут принимать следующиеварианты:«управляющие» параметрыq   q1 ,, qi ,, qm  , qi  Qi , Q  Q1  Q2  Qm ,(1.6)где Q — декартово произведение областей параметров Qi , i  1, m;программные управляющие силыu  t    u1  t  ,, ui  t  ,ui  t  U i , U  U1  U 2 , um  t   , Qm ,(1.7)где U — декартово произведение областей управлений U i , i  1, m;позиционные управляющие силы,,(1.8)где U  x  — декартово произведение областей управлений U i  x  , i  1, m.Постановка многокритериальной задачи принятия решения формируется, без ограниченияобщности, на основе векторной задачи распределения ресурсов в форме задачи назначения–выбораE  E1,, El  max  min  ;, E ,n(1.9)nE   aij xij ;(1.10)i 1 j 1 xij  1,ij  1, n; xij  1, i  1, n;(1.11)j1, i  j;xij  0, i  j,(1.12)7где (1.9) — вектор критериев эффективности (потерь), или в смешанной форме; (1.10) —структура  -го показателя задачи назначения, где aij — эффективность выполнения i-ымсотрудником j-ой работы, а (1.10) означает эффективность выполнения всеми сотрудниками всехработ (в варианте, когда рассматривается задача назначения–целераспределения и i-ая ракетанаправляется на j-ую цель, т.

е. xij  1, aij  Pij — вероятность поражения j-ой цели, то (1.10) —среднее число пораженных целей); (1.11) — ограничения по столбцам и строкам матрицыназначения aij , i, j  1, n, имеющих смысл, что каждая работа выполняется одним из сотрудников и все участвуют в работах; (1.12) означает, что управляющая переменная бивалентная (принимаетвсего два значения: 0 или 1).1.2.3. ПОНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОСТИОсновным понятием оптимальности в многокритериальной оптимизации (МКО) являетсяоптимальность по Парето [1].Определение 1.1 [1]. Вектор управления u Ï  U (или вектор параметров q Ï  Q, или векториз n величин xij  1 в задаче назна-чения) оптимален по Парето, если при любом допустимом   J  q   J  q   , где J — вектор показателейJ  u   J  u   J  q   J  q   , либо заданная система неравенствu  U (или q  Q ) из условия J  u   J uÏэффективности, следует либоÏÏÏнесовместна и хотя бы одно из неравенств — противоположного смысла.Замечание 1.1.

Например, при l  2 u Ï оптимально по Парето, если, как необходимое условие,имеют место варианты неравенств      J Q   J   J1  u   J1 u Ï ,  J1  u   J1 u Ï ,  J1  u   J1 u Ï ,(1.13)ÏÏ J 2 u   J 2 u ;  J 2 u   J 2 u ;  J 2 u   J 2 uÏ ,где u  U — любое допустимое управление.Замечание 1.2. Оптимальным является вектор управления (параметров), который являетсярешением системы неравенств, а решение системы неравенств не единственное, поэтому имеетместо область оптимальных управлений (параметров) uÏ  UÏ  U ( q Ï  Q Ï  Q ), которойвзаимно однозначно (изоморфно) соответствует односвязная область значений показателей —фронт Парето J U Ï  J Ï  U ÏÏQ ,где зависимость J  U  имеет смысл множествазначений показателей на множестве управлений.

Свойство изоморфизма имеет место, если,например, функции f 0i , Fi в (1.2) и вектор в правой части (1.3) непрерывны и дифференцируемыпо x, u, а область U — выпуклая (тогда и J  U  — выпуклая область), что часто выполняется.Рис. 1.6. Область Парето-оптимальных значений показателей(фронт Парето) при Ji  maxu8Замечание1.3.БезограниченийобщностизадачиМКОнарис. 1.6–1.8 показаны варианты отображений области Парето на область значений показателейпри l  2 для трех вариантов комбинаций скалярных показателей эффективности и потерь.Рис.

1.7. Область Парето-оптимальных значений показателейпри Ji  minuРис. 1.8. Область Парето-оптимальных значений показателейдля смешанного варианта показателейПояснение замечания на рис. 1.6 заключается в том, что, рассматривая системы (1.13)относительно допустимой точки J  u  , нетрудно убедиться, что третий вариант системынеравенств выполняется для решений по Парето ( u Ï ) в квадранте 1, второй вариант системы(1.13) — для Парето-решений в квадранте 4, первый вариант системы (1.13) — в квадранте 2, а втретьем квадранте значения показателей меньше, чем в точке J  u  .  соответствует области оптимальных по Парето управлений uОбласть J Ï  U   J U ÏÏ UÏ(или параметров q Ï  Q Ï ).Замечание 1.4.

При нарушении свойств и показателей (1.2) и системы (1.3) и/илиневыпуклости области U, а также в зависимости от вида экстремумов может иметь место многосвязность области значений J UÏиз-за приобретенной невыпуклости J  U  . Этоиллюстрирует рис. 1.9 при l  2 и критериях J i  max.u9Рис. 1.9. Двухсвязная область Парето-оптимальных значений показателей1.2.4. ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙВ рамках классических формальных подходов среди других можно выделить три подхода кМКО.1.

Первый подход связан с прямыми интерактивными методами МКО на основе конусовдоминирования и генетических алгоритмов ГА МКО по В.А. Серову.2. Второй подход формирует методы скаляризации.3. К третьему подходу относятся методы МКО в форме компромиссов.Дополняют указанные подходы в формализованных задачах методы МКО в слабоформализованных задачах, особенно в задачах принятия решений, когда решение формируется сучастием эксперта или ЛПР.

Поэтому среди других выделяются следующие два подхода.4. Экспертный подход принятия решений со следующими методами:5. Интерактивный подход ПР на основе аппроксимации функции предпочтений (ФП) ЛПР:1.2.5 ПРИМЕР МКО НА ОСНОВЕ СЕТЕВОГО АНАЛИЗА ПО КОНУСУ ДОМИНИРОВАНИЯ.В данном разделе приводится краткий анализ постановок и общих алгоритмических свойстврядаметодовМКО,перечисленныхв п.

1.4.Определение 1.2. Многогранный конус доминирования на области значений показателейJ  U  эффективности имеет видΩ  J : BJ  0 ,(1.14)где B — матрица конуса доминирования размерности dimB  l  l.1 0 Пример 1.1. Пусть l  2, B  E   , область J  U  выпуклая,0 1  J1  0;1 0   J1   J1 BJ   0  0 1   J 2   J 2  J 2  0.(1.15)Геометрически неравенство (1.15) дано на рис. 1.10.10Рис.

1.10. Получение Парето-области значений J Ï  U  на основепрямоугольного конуса доминированияКонус Ω (1.15), как следует из рис. 1.10, является прямоугольным.Без ограничения общности рассуждений для l  2 рассматриваетсяинтерпретация алгоритма получения области Парето значений показателей JÏгеометрическая U   J  UÏоснове прямоугольного конуса доминирования на этапе глобального (сетевого) анализа.Шаг 1. Задается конус доминирования (КД) Ω (1.15).наШаг 2. КД переносится в любую точку C1 (рис.

1.10) области J  U  , где J C1  J1C1 , J 2C1 : J1  J1C1 ; J1  0; C1 J 2  0; J 2  J 2 .(1.16)КД в точке C1 разделяет область J  U  на две подобласти. В одной из них (1.16) находятсязначения показателей J , лучшие, чем в вершине C1 , в другой — хотя бы один из показателей позначению меньше, чем в точке C1.Шаг 3. В соответствии с неравенством (1.16) определяется любая точка C2 , принадлежащаяКД с вершиной C1 : J1C2  J1C1 ; CC J 2 2  J 2 1 ;(1.17)и вершина КД переносится в точку C2 (рис. 1.10) J1  J1C2 ;C J 2  J 2 2 .(1.18)Шаг заключительный. Процедура улучшения значений показателей J1 , J 2 заканчивается вточке C k , когда «внутри» КД нет значений показателей, лучших по значениям, чем в вершине Ck(рис.

1.10). Тогда J Ck  J uÏ  J Ï ,(1.19)где (1.19) дает значения показателя в точке u Ï области Парето-оптимальных управлений.Очевидно (рис. 1.10), что свойствами точки Ck при J  u  —выпуклой области будут обладатьвсе точки выделенной линии между граничными точками J1max и J 2 max , где грани КД касаются границы области J  U  . Данная область является областью Парето значений J Ï  u   J u Ï .Увеличение области, например, до точек Ck , Ck показывает, что в КД с вершинами Ck , Ck естьподобласти J  U  со значениями показателей, большими, чем в вершинах.111.2.6. О МЕТОДАХ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ В ОДНООБЪЕКТНЫХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХСИСТЕМАХ.В работах [14–16] дано обобщение методов получения многокритериально-оптимальногопрограммного управления до многокритериального синтеза позиционного управления u o  x  какфункции состояния x  t  .

Характеристики

Список файлов лекций