Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.Л. Теория ракетных двигателей. 1989 г. (1241535), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Таким образом, в зависимости от м конец вектора Тг' ((/, Ю) на комплексной плоскости опишет некоторую кривую, которую называют амплнтудно-фазовой частотной характ е р и с т и к о й. Такие характеристики наиболее полно отображают реакцию звена на установившееся изменение по гармоническому закону входного сигнала. 26.2. ПРИМЕРЫ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Исследование динамических свойств агрегатов двигателя является предметом таких курсов, как динамика ЖРД, авто-, матическое управление и регулирование и др.
В работах по этим дисциплинам, например, подробно рассматриваются уравнения 296 для всех важнейших агрегатов ЖРД. Поэтому в данной главе приводятся лишь некоторые принципы вывода уравнений динамики на примере камеры и двухкомпонентного газогенератора. Камеру и газогенератор обычно представляют совокупностью звеньев — смесительной головкой и собственно камерой сгорания или камерой разложения (газовый тракт с физико-химическими превращениями).
26.2.1. Смесительная головка Лля смесительной головки камеры сгорания (газогенератора) связь между расходом компонента и перепадом давлений на форсунках устанавливается уравнением вида (20.3) к ь = Е ~., = Е ~.,~., ~'ттк. — ы ~.. Е Переменными величинами во времени в этом уравнении являются расход компонента ть и давления на входе в головку и выходе из форсунок (р,„и Р„). Придавая переменным величинам отклонения Ьптф, Лр,„и ЛР„., после разложения уравнения для тф в ряд Тейлора и несложных преобразований можно получить б~~~ф — двхбРвх йи.
сбРк (26.9) где я,„ = Р„.!2 (р,„ — Р„), lг„ , = Р„(2 (Р,, — Р„) — коэффициент усиления расхода по соответствующим давлениям. 26.2.2. Камера сгорания и газогенератор, модель с сосредоточенными параметрами При записи уравнений для газового тракта в нульмерном приближении необходимо принять ряд допущений: процесс горения осуществляется в узком фронте пламени, т. е. теплота подводится в одном сечении, вне которого газ движется адиабатически с параметрами, одинаковыми для всех точек камеры; скоростью движения в камере сгорания пренебрегаем.
Это означает, что акустические волны давления распространяются мгновенно, а гидравлические сопротивления отсутствуют. Как и ранее, для продуктов сгорания примем уравнение состояния идеального газа; кроме того, не будем учитывать изменение состава и температуры в камере из-за колебаний давления. Сделанные допущения позволяют описать динамику камеры или газогенератора с применением только одного уравнения: баланса массы. За бесконечно малое время Ж изменение содержания продуктов сгорания йи в объеме тракта 1~„., равно разности массы образовавшихся (поступивших в объем) за это время продуктов сгорания т пт н массы газа, вытекшего за это время из объема, т,„„!Нт: ЙГп~~)т = швх гпвых ° Для определения производной г!т/о(т воспользуемся уравнением состояния т = р„У„,//«Т«, где У„о = сопз( н г«Т„= Ук. с крк ят„лт = =сопз1.
Дифференцируя выражение для и, получаем — — ' = твх твкх ° Поступление продуктов сгорания из реакционной зоны в камеру т,х определяется расходами окислителя и горючего; величину т,„, можно представить в виде т,„х = р,г"„/р. Теперь уравнение баланса массы можно записать в форме, аналогичной уравнению (26.1): г!р„/г(т == КТ„(т„„— Р„(У(р„) Ук,. (26.'10) В уравнении (26.!0) выходная величина у — это давление в камере сгорания (газогенераторе), входная х — расход т,х = = т,к + тг.
Вводя постоянную времени Т, и коэффициенты передачи для окислителя й,к и горючего йг, уравнение (26.10) можно привести к «стандартному» виду (26.3): Т, г/бркгт(т + брк = локбток + лгбтг (26 11) ГдЕ Т, = У„,(!/РТ«Г„--= /„Р!У(КТ„= т,; й,к = /«„Г(1 — , '/г ); йг = =1/(1 + й„). За промежуток времени от 0 до т из общего количества под- веденного в реакционную зону топлива в объем камеры сгорания или газогенератора из этой зоны поступает только та его часть, которая накопилась в реакционной зоне за время от 0 до (т — т,) (т, — период запаздывания, см.
гл. Х!/П1), следовательно, х — г ~ т„дт =- ~ (т,к+ тг) г(т. о о Дифференцируя это уравнение по времени при условии т, = = соп51, получим т,к =- т,к (т — т,) + тг (т — т,), бтвх /гокбтак (т тв) + Мтг (т тв) запись в скобках указывает на значение величины в момент времени (т — т,). Применим к уравнению (26.11) преобразование Лапласа (26.5) с учетом известной из математики теоремы соответствия операций над оригиналом и изображением: / (т — т,) = г (з) ехр ( — т~). Тогда по аналогии с уравнением (26.6) можно записать (Тгз+ 1) У (з) = [йокХ, (з)+/ггХ, (з)! ехр ( — ту), (26.12) где У (з), Х, (з), Х, (з) — соответственно изображения функций брк (т), бт„(т), бтг (т). 298 226 Ц Изменение лавленин во времени при ступенчатом входном сигнале дл Переходный процесс в камере сгорания можно рассчитать, пользуясь принципом суперпозиции.
Для этого дифференциальное уравнение (26.1!) сначала интегрируется по отношению к одному (бт,„), а затем к другому (бт„) независимому переменному, после чего результаты интегрирования складываются (рис. 26.!). 26.2.3. Камера сгорания и газогенератор, модель с распределенными параметрами — + — (рш) = О; др 'д дт дх дм дю 1 дР— +ш — + — — =- О; дт ' дк р дк (26.13) да дз — +ш — = О. дт дх Уравнения (26.!3) содержат четыре неизвестных: параметры р, р, пз и з. Уравнение изоэнтропного процесса рура = сопз! позволяет исключить одну из неизвестных (плотность р) и получить замкнутую систему уравнений. Линеаризуя уравнения (26.13) и вводя безразмерные (по отношению к некоторым средним) параметры бш = гхш/Ф, Вр = Ьр7р, бз = бз/ср, из системы (26.13) получают систему уравнений 299 Для анализа устойчивости рабочего процесса в камере сгорания или газогенераторе динамические характеристики этих агрегатов определяют на основе модели одномерного нестационарного течения.
Как и ранее, рассматривается адиабатический поток вне зоны горения; газ считаем невязким и нетеплопроводным. Из-за изменения соотношения компонентов топлива, вызванного колебаниями их расходов бт,и и бт„, меняется температура и состав смеси на входе в газовый тракт. Указанные изменения температуры и состава смеси принято оценивать через изменение ее энтропии.
Порции газа с различной температурой и составом, транспортируемые вдоль камеры со скоростью движения газа, образуют так называемые «энтропийные» волны (7). В результате взаимодействия акустических и энтропийных волн вид частотных характеристик газового тракта может существенно отличаться от характеристик тракта без энтропийных волн. Исходная система уравнений для одномерного неустановившегося течения включает уравнения неразрывности, движения и постоянства энтропии: в частных производных относительно величин бв, бр и бз. Для каждого из параметров гр =- бв, Ьр, Ьз частное периодическое решение этой системы уравнений имеет вид Ь~Р = Ач ехр (/ат), где Ат — амплитуда колебаний — комплексная величина, зависящая от частоты, координаты х и параметров потока: а, в): Постоянные интегрирования в формулах для Ат находят из граничных условий.
Рассмотрим задание граничных условий на примере камеры сгорания. Для начального сечения (х = 0) из уравнений расхода т„= = рвг и состояния путем их линеаризации и приведения к безразмерному виду можно найти первое граничное условие бв+ бр = Ьт, + ЬТ, (26.14) Второе граничное условие для этого сечения найдем из очевидного соотношения бз = (дз/дТ) „ЬТ + (дз/др)т бр, где (дз/дТ)„= = ср/Т, (дз/др)т = аро. Используя приближенные равенства ар— = 1/Т, ср — х/г/(х — 1), после приведения вариаций к безразмерному виду получаем бз + (к — 1) Ьр/к = ЬТ,„.
(26.16) Третье граничное условие для выходного сечения тракта (х = /.„,,) определяется уравнением расхода через сопло (см. гл. Ч11). После несложных преобразований с учетом формул (26.14) и (26.15) имеем Ьв — 2 бз — (х — 1) бр/2к = О. (26.16) Внешними возмущающими воздействиями, определяющими колебания расхода бт,„н температуры ЬТ,„= ЬТ„, являются колебания расходов компонентов, поступающих в камеру сгорания. С помощью простых соотношений можно установить следующие взаимосвязи между параметрами: Ьт„= [й„бт,„(т — т,)+ бт„(т — т,)и! +/г ), (26.17) д! и ьщ / р Как показывают расчеты, энтропийные волны существенно влияют на динамические характеристики газогенератора как при низких, так и при высоких частотах; для камер сгорания влияние энтропийных волн существенно меньше. 26.3. НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИГАТЕЛЯ Для расчета динамических характеристик двигателя необходимо составить систему уравнений, описывающих динамические процессы в различных его агрегатах и магистралях, связывающих между собой агрегаты.
Эта система уравнений со- 300 ставляется применительно к конкретной принципиальной схеме двигателя, примеры которых приводились в гл. ХЧП Обычно в систему уравнений входят уравнения гидравлических магистралей (от насосов к газогенератору и камере сгорания), газовых трактов (камера сгорания, газовод, газогенератор), ТНА и несколько (в зависимости от схемы регулирования) уравнений регуляторов.
При этом параметры на входе и выходе пз магистрали (давление, скорость или расходы) одновременно являются входными или выходными параметрами для этих агрегатов. Система может состоять из десяти и более уравнений. В качестве переменных в системе уравнений двигателя используют относительные вариации (отклонення) величин: расходов компонентов в камеру сгорания бт,„, „, 6гп„, „,, и газогенератор бт„„ „„, бт„ „„, параметров рабочего тела в камере сгорания бр„, 6Т„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
