Учебник - Уравнение Гамильтона-Якоби - Сидоренко В.В. (1238803), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Показать, что потенциал двух притягивающих центров (14)является штекелевым.Рассмотрим некоторые примеры галактических потенциалов вида (24).Пример 1.Многие галактики состоят из относительно плоскогозвездного диска и более утолщенного центрального ядра. В качестве моделизвездного диска Г.Г.Кузьмин (1953) предложил использовать распределениемасс в плоскости z  0 с поверхностной плотностьюa3 0MD(25) 2,.0( x  y 2  a 2 )3 / 22a 2Здесь M D - полная масса диска, a - параметр модели.Гравитационное поле диска Кузьмина обладает интересным свойством: вполупространстве z  0 оно совпадает с полем притягивающего центра скоординатами x  y  0, z  a ; в полупространстве z  0 - с полем центра скоординатами x  y  0, z  a .Если дополнить диск Кузьмина притягивающим центром - аналогомгалактического ядра, то в полупространствах z  0 и z  0 их общее поле будетсовпадать с полем двух притягивающих центров, т.е.

будет полем соштекелевым потенциалом.Пример 2. Распределение вещества в R 3 c локальной плотностью02(26) x2 y2 z 2 1  2  2  2 bc  aв звездной динамике называют идеальным эллипсоидом: эквиденситныеповерхности этого распределения образуют семейство подобных эллипсоидовx2y2z2 1,(27)s 2 a 2 s 2b 2 s 2 c 2где s  0 - параметр семейства. Гравитационный потенциал распределения (26)используют как аппроксимацию галактического потенциала при изучениидвижения звезд в эллиптических галактиках.Если в выражении (26) взятьa  b  c,(28)то эквиденситные поверхности будут сплюснутыми эллипсоидами вращения.

Ввытянутых эллиптических координатах  , ,  с параметром   a 2  c 2потенциал распределения (26) при условии (28) имеет видG( )  G( ),( , ) (29) 2 2гдеcG( ) ~arctg,    , .(30)cТак как потенциал (29) штекелев, полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби в задаче о движении звезды в гравитационном поле распределения (26)при условии (28) может быть найден методом разделения переменных(Г.Г.Кузьмин, 1956).Условие (28) не является необходимым условием интегрируемостидвижения в поле распределения (26). Де Зю и Линденбелл показали, что и вобщем случае ( a  b  c  a ) переменные будут разделяться при использованииэллипсоидальных координат Якоби [6].

К сожалению, в данном краткомруководстве мы не можем дать более подробного описания подхода указанныхавторов.4. Уравнение Гамильтона-Якоби в общей теории относительности(ОТО). Одна из важнейших проблем современной физики состоит внеобходимости понять взаимосвязь свойств пространства, времени и материи.В астрофизике уделяется большое внимание построению различных моделейВселенной и анализу динамики пробных частиц в искривленном пространствевремени на основе общей теории относительности (А.Эйнштейн, 1916).Вариационные принципы ОТО позволяют использовать в таких исследованияхидеи и методы гамильтоновой механики. Уравнение Гамильтона-Якоби длячастицы в гравитационном поле в ОТО приобретает следующий вид [7]:S S(31)g ik i k  m 2c 2  0 .x xЗдесь m - масса частицы, c - скорость света, g ik - (контравариантный)метрический тензор, определяющий геометрию пространства-времени.Компоненты метрического тензора являются функциями пространственныхкоординат x1 , x 2 , x 3 и временной координаты x 0 .

В соответствии с правиламизаписи формул ОТО повторяющиеся индексы в (31) предполагаютсуммирование.Поиск случаев разделения переменных в уравнении (31) сводится кпостроению таких моделей Вселенной, в которых метрика пространствавремени обладает определенными свойствами. Можно сказать, что в ОТОусловия разделения переменных получают "вселенское" значение!Связь теории Гамильтона-Якоби с геометрической оптикойи волновой механикой1.

Оптико-механические аналогии. Рассмотрим материальную точку смассой m , движущуюся в потенциальном поле U (r ) , и запишем уравнениеГамильтона-Якоби, соответствующее данной механической системе:S12(1)S  U (r)  0.t 2mЗдесьT S S S  .S  ,, x y z Будем предполагать, что нам известен полный интеграл уравнения (1)S (r,1 , 2 , E, t )  W (r,1 , 2 )  Et ,(2)(3)где характеристическая функция W (r,1 , 2 ) является полным интегралом"укороченного" уравнения Гамильтона-Якоби12(4)W  U (r)  E2mили (в несколько другой записи)2W  2m( E  U (r )) .(5)В конфигурационном пространствеS   ( системы поверхностьнекоторая константа) в моментt 0временисовпадаетсповерхностью W   . Спустя времяt данная поверхность совпадет споверхностью W    t . ПереS   измещение поверхностиW   в положениеположенияW    tнапоминаетраспространение фронта некоторой волны(рис.

3). Так какРис. 3.p 11(6) S  W ,m mmтраектория материальной точки всегда нормальна к поверхности S   .Упражнение. Показать, что абсолютная величина локальной скоростираспространения волны S  EE(7)u (r ) .2m( E  U (r )) m | v |vПокажем, что траектория точки и перемещение поверхности S  находятся в таком же соотношении, как луч и волновая поверхность вгеометрической оптике.В геометрической оптике изучаются ситуации, когда длина световойволны  существенно меньше характерного расстояния, на которомпроявляется неоднородность коэффициента преломления n(r ) (коэффициентпреломления равен отношению скорости света в вакууме c к скорости светаданной среде):(8) n  1 .Распространениеуравнениемэлектромагнитнойволныописываетсяволновымn 2  2(9)   2 2  0,c  tгде - скалярный электромагнитный потенциал.

Ограничившисьрассмотрением волн с частотой  , будем искать решение уравнения (9) в виде(10)  (r)ei[ k0 L(r )  t ] .2- волновое число в вакууме,  (r ) и L(r ) - вещественныеcL(r ) называютскалярные функции. В геометрической оптике функциюэйконалом.Если показатель преломления среды имеет неизменную величину n(r)  n ,то в формуле (10) следует взять(11)(r)  0 , L(r)  n(r, e) ,где e - единичный вектор. Решение будет соответствовать плоской волне,распространяющейся в направлении e .В случае  n  1 подстановка формулы (10) в (9) приводит в главномприближении к уравнению эйконала2(12)L  n 2 .Здесь k 0 Соотношение(13)k0 L(r)   t   0определяет положение волновой поверхности (поверхности постоянной фазы   0 ) в каждый момент времени t .

Световые лучи распространяютсяперпендикулярно к поверхности (13).Сравнив выражения (3) и (13), можно заключить, что характеристическаяфункция W напоминает в некотором смысле функцию L(r ) : уравнениеГамильтона-Якоби в форме (5) является уравнением эйконала для среды с"коэффициентом преломления" 2mE  U (r) .Изучение оптико-механических аналогий было начато У.Гамильтоном впервой половине XIX века. Гамильтон полагал, что сходство оптики имеханики есть отражение общих принципов, определяющих движение твердыхтел и световых лучей. Эквивалентность уравнения (4) и уравнения эйконала(12) была обнаружена Гамильтоном в 1834 г.2. Волновая механика.

Развивая аналогию между оптикой и механикойдальше, естественно задать вопрос: какие величины для механической системыбудут иметь смысл частоты и длины волны?В предыдущем пункте мы интерпретировали поверхность S   каканалог поверхности равной фазы    0 . Если параметр  принять завеличину, пропорциональную "фазе"  0 механической системы скоэффициентом  , получим:S W(14)0     t , гдеE(15)следует рассматривать как "частоту" эквивалентной волны. Длину этой волныдает формула E   E  2 2 u(16) :    2 .|p |    |p |Теперь нас будут интересовать свойства "волнового" уравнения,соответствующее "уравнениюэйконала" (5).

Перепишем уравнение (9)следующим образом:1  2(17) 2  2 2  0 .u tЗдесь u  c / n - скорость света в среде. Разыскивая решение (17) в виде(18)  (r)ei t ,нетрудно установить, что функция (r) должна удовлетворять уравнению22(19)   2   0.uПосле подстановки в соотношение (19) выражений для локальной скоростираспространения "волны" (7) и ее частоты (15) получим:2m( E  U (r))(20)2   0.2Уравнение (20) представляет волновое уравнение Шредингера дляматериальной точки в стационарном потенциальном поле.

Коэффициентпропорциональности  называют постоянной Планка:  1,054 10 27 эрг  сек .(21)Гамильтон, опираясь на свои оптико-механические аналогии и уравнение(1), вполне мог провести рассуждения, подобные приведенным рассуждениямЭ.Шредингера, и в итоге получить уравнение (20) еще в первой половине XIXвека. Но стало бы это благом для человечества? Достаточно быстро "новая"физика позволила создать атомное оружие. Агрессивная и бескомпромисснаяфилософия XIX века, еще незнакомого с ужасами мировых войн, привела бы кгибели европейской цивилизации в результате неограниченного примененияатомного оружия в многочисленных военных конфликтах того времени.Упражнение.Переходотквантомеханическогоописаниякклассическому соответствует пределу S /    . Покажите, что при S /   1уравнение Шредингера2(22)ˆˆih H , H   U (r )t2mдопускает решение вида  aeiS /  ,(23)где в главном приближении функция S удовлетворяет уравнению Гамильтонаa (r, t ) - уравнению непрерывности плотностиЯкоби (1), а функциявероятностиa 2 S (24) div a 2  0.2m tУРАВНЕНИЕ БЕЛЛМАНА1.

Управляемые системы. В 50-ых годах XX века оказалось, чтометоды классического вариационного исчисления не позволяют решить многиеактуальные на тот момент проблемы динамики ракет и других сложныхтехнических устройств. Усилиями многих математиков и инженеров быларазработана новая теория - теория оптимального управления.Движение объектов, изучаемых в теории оптимального управления,обычно описывается системой обыкновенных дифференциальных уравненийdq(1) f (q, u, t ) .dtЗдесь q  (q1,  , qn )T - фазовый вектор, определяющий состояние системы вмомент времени t , u  (u1,  , um )T - вектор управляющих воздействий илиуправление.Управляющие воздействия осуществляются элементами конструкцииобъекта, величины этих воздействий ограничены:(2)u  Gu ,где Gu - множество допустимых управлений.Изменение фазовых переменных, положения объекта в начальный иконечный моменты времени t 0 и t1 также могут стеснены какими-тоограничениями:q(t )  Gq ,q(t0 )  G0 ,q(t1 )  G1 .(3)(4)Цель управления состоит в минимизации или максимизации заданногофункционала I (функционала качества).

Характеристики

Список файлов книги