Учебник - Уравнение Гамильтона-Якоби - Сидоренко В.В. (1238803), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Системой Лиувилля называют систему, у которойкинетическая и потенциальная энергии имеют вид1 n  n n T    ai  bi qi2 ,     ai 2  i 1  i 1 i 1 1 n i ,i 1(41)где ai , bi ,  i - функции от одной переменной qi ( i  1, n ). Показать, что общеерешение уравнений движения данной системы может быть получено спомощью квадратур (теорема Лиувилля).Указание. Гамильтониан системы Лиувилля имеет вид (40).3.

Критерии разделения переменных. При обсуждении методаразделения переменных возникает естественный вопрос: если необходимонайти полный интеграл какого-то конкретного уравнения Гамильтона-Якоби,то имеет ли смысл применять данный метод или нет?Ограничимсяобсуждениемситуациивклассеобобщенноконсервативных систем. Условие разделения переменных в гамильтонианеH ( pi , qi ) было выписано Леви-Чевита (1904): H p kH  Hq j  pk(42)2HH  2 H  0,p j qk qk p j pk 1 j  k  n.Соотношения (42) можно интерпретировать как систему из n(n  1) / 2уравнений в частных производных, общее решение которой определяет всюсовокупность гамильтонианов H ( pi , qi ) , допускающих решение уравненияГамильтона-Якоби разделением переменных (задача Морера).

К сожалению,все усилия проинтегрировать эти соотношения оказались безрезультатными.Более успешными были попытки выделить гамильтонианы сразделяющимися переменными при каких-то дополнительных предположенияхо структуре функции H .Рассмотрим, например, механические системы с гамильтонианами,содержащими только квадраты импульсов pi :1 n(43)H (qi , pi )   a j (q1 ,, qn ) p 2j   (q1 ,, qn ) .2 j 1Укороченное уравнение Гамильтона-Якоби, соответствующее такой системе,имеет вид:Hp j2HH  2 Hq j qk qk q j pk2 W 1 n   (q1 ,, qn )  ha j (q1 ,, qn )2 j 1 q j (44)Теорема Штекеля (1895).

Уравнение (44) допускает разделениепеременных тогда и только тогда, когда существует неособая матрица (qi ) , вкоторой элементы  k r зависят только от переменной qr , и вектор  (1,, n )T , где  r тоже зависит только от qr , такие, чтоn n1 j1 j a j (qi ) ,  (qi )    a j j (q j ) . 1 jj 1  1 jj 1(45)Здесь   det  , 1 j - алгебраическое дополнение к элементу 1 j ( j  1, n) .Доказательство теоремы Штекеля можно найти, например, в [3].Подробное описание других классов гамильтонианов с разделяющимисяпеременными приведено в [4].Упражнение. Показать, что системы Лиувилля (41) являются частнымслучаем систем Штекеля.УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИВ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ И АСТРОФИЗИКЕ1. Проблема выбора "удачных" координат. В большинстве случаеврассмотрение уравнение Гамильтона-Якоби в небесной механике иастрофизике связано с анализом условий разделения переменных.

Еслипеременные разделяются, то построенная математическая модель исследуемойсистемы интегрируема, динамика системы в рамках данной модели будетотносительно простой и может быть достаточно подробно изучена. Кроме того,интегрируемая модель важна как основа для дальнейшего анализа поведениясистемы методами теории возмущений.Разделение переменных происходит тогда, когда для задания положенияобъекта (звезды в поле галактики или пробной частицы в окрестности чернойдыры) используются координаты, отражающие в каком-то смысле "геометрию"задачи - геометрию силового поля или геометрию искривленного пространствавремени.Далее для простоты мы предполагаем ограничиться обсуждениемдвижения в полях, обладающих осевой симметрией.

В этом случае в качествепримера "удачных" координатами, позволяющих решить ряд интересных задах,следует отметить эллиптические координаты (вытянутые и сжатые). , ,  с декартовымиВытянутые эллиптические координатыкоординатами x, y , z связаны соотношениямиx   ( 2  1)(1   2 ) cos  ,(1)y   ( 2  1)(1   2 ) sin  ,z   ,где - параметр, смысл которого будет установлен ниже.

Справедливыследующие равенства:x2  y2z2 1,(2) 2 ( 2  1)  2 2x2  y2z2 1, 2 (1   2 )  2 2x  y tg   0 .Равенства (2) позволяют дать наглядное описание "геометрии" эллиптическихкоординат. Поверхности   const (1     ) являются вытянутымиэллипсоидами вращения (именно этим и объясняется название системыкоординат). Большие и малые полуоси эллипсоидов имеют величины  и  2  1 соответственно, их фокусы располагаются в точкахx  y  0, z    .(3)  const (  1    1 )Поверхностьпредставляет одну из компонентдвуполостногогиперболоидавращения,софокусногос  const . Условиеэллипсоидами  constопределяетплоскость,содержащую ось Oz - меридиональную плоскость. Изображениекоординатных поверхностей и линийРис.

2.приведено на рис. 2.Укажем еще одно важное свойство эллиптических координат. Пусть r иr - расстояния от точки с координатами  , ,  до фокусов (3). Послеэлементарных манипуляций с формулами (1) мы получим:r  x 2  y 2  ( z  c) 2   (   ) ,(4)r  x 2  y 2  ( z  c) 2   (   ) . ,Из соотношений (4) вытекает, что эллиптические координатыпропорциональны полусумме и полуразности расстояний до фокусов:r rr r(5)   ,   .22Выражение для кинетической энергии точки массой m как функцииэллиптических координат и их производных имеет следующий вид:2m 2  2 2 2  222(6)T()(1)(1).  2 1 12 2 Уравнения движения частицы в поле с потенциалом  ( , ,  ) можнополучить в форме уравнений Лагранжа с лагранжином(7)L( , ,  , , ,  )  T  или в форме уравнений Гамильтона с гамильтонианомH ( , ,  , p , p , p )  11  21  2222(1)p(1)p  2  1 1   2  p    ( , ,  ) .2m 2  Сжатые эллиптические координаты  ,  ,  вводятся формулами(8)x   (1  2 )(1   2 ) cos  ,(9)y   (1  2 )(1   2 ) sin  ,z   .Координатными поверхностями в этом случае будут сплюснутые эллипсоидывращения (   const ), однополостные гиперболоиды (   const ) и плоскости(   const ).2.Задача о движении в поле двух неподвижных притягивающихцентров.

Предположим, что неподвижно закрепленные материальные точки смассами m и m имеют координатыx  y  0, z  (10)иx  y  0, z  (11)соответственно. Нужно установить, каким образом в их гравитационном полебудет двигаться материальная точка с массой m .Принимая во внимание формулы (4), получим, что в эллиптическихкоординатах (1) потенциал данного гравитационного поля имеет видm mm m (12)  m       m      .r       rгде  - универсальная гравитационная постоянная.Гамильтониану (8) с потенциалом (12) соответствует укороченноеуравнение Гамильтона-Якоби22 2 W 12  W  (1)(1)  2m 2 ( 2   2 ) (13)2 1 m1  W  m    m       h .  22         1 1      Уравнение (13) будем решать методом разделения переменных. является циклической переменной, выражение дляУчитывая, чтохарактеристической функции W запишем следующим образом:W  1  W ( )  W ( ) .После подстановки (14) в уравнение Гамильтона-Якоби получим:22 1 dW 1 22  dW   (1   )  12  2(  1)2 d  d   1 1  (14)(15) m2 2 m (  )  m (  )  2m 2h( 2   2 ) .Сгруппировав слагаемые, зависящие только от  и только от  , запишемуравнение (15) в виде суммыf ( ,dWd)  f (,dWd)  0.(16)Здесь2 dW 12(17)  2f  (  1) 2m 2 h 2  m 2 2 (m  m ) ,d  12122  dW  f  (1   ) 2m 2 h 2  m 2 2 (m  m ) .2 d  1  Уравнение (16) будет тождеством при условииdWdWf ( ,)   2 , f (,)   2 ,(18)ddгде  2 - постоянная величина.

Разрешив соотношения (18) относительноdWdWпроизводныхи, получимdd(19)g ( )g ( )dWdW 2,,dd 11 22g  12  ( 2  1)[2hm 2 2  m 2 (m  m )   2 ],g  12  (1   2 )[2hm 2 2  m 2 (m  m )   2 ].Проинтегрировав (19), мы выпишем полный интеграл уравнения ГамильтонаЯкоби нашей задачи:(20)S ( , ,  ,1 , 2 , h)  ht  1  W  W  ht  1  g ( )d  g ( )d . 2 112Упражнение. Описать, каким образом с помощью интеграла (20) можнополучить законы движения.Задача о движении материальной точки в поле притяжения двухнеподвижных центров была поставлена Л.Эйлером в XVIII веке.Ограничившись анализом плоских движений, Эйлер выписал решениеуравнений движения в квадратурах.

В пространственном случае решение былодано Лагранжем и Якоби.Длительное время задача двух неподвижных центров была темойабстрактно-математических исследований, несвязанных с анализом конкретныхнебесно-механических систем.Ситуация изменилась в середине XX века, когда выяснилось, что поледвух неподвижных центров хорошо аппроксимирует поле сжатойсфероидальной планеты при формальном размещении центров … на чистомнимом расстоянии друг от друга! Движение в этом случае обладает многимисвойствами реального движения искусственного спутника в гравитационномполе, отсутствующими в кеплеровском приближении (Земля - материальнаяточка). Более подробно применение задачи двух центров в теории движенияИСЗ описано в [5].Предельным случаем задачи двух неподвижных центров можно считатьзадачу о движении точки в поле притягивающего центра при наличии ещеодной силы, постоянной по величине и направлению ("тяги") [5].

Предельныйпереход состоит в перенесении одного центров на бесконечность в направлениисилы тяги при одновременном увеличении его массы пропорциональноквадрату удаления, что обеспечивает приблизительное постоянство "тяги" вокрестности другого центра.3. Проблема построения моделей с разделяющимися переменными взвездной динамике. Звездной динамикой называют раздел астрономии,изучающий строение и эволюцию звездных систем - звездных скоплений,галактик, скоплений галактик.

Одно из направлений исследований в звезднойдинамике связано с анализом движения звезд в усредненном поле галактики безучета случайных близких пролетов. Рассмотрение модельных потенциалов,более или менее согласованных с реальным распределением вещества вгалактике и обеспечивающих разделение переменных в уравнении ГамильтонаЯкоби, было начато А.Эдингтоном (1915). Внимание к таким моделямобусловлено не только возможностью дать полное описание движенияотдельной звезды в поле галактики. Использование интегрируемых моделейсущественно упрощает изучение статистических характеристик звездныхсистем (в частности, эволюции плотности распределения звезд).В звездной динамике заключение о разделении переменных уравненииГамильтона-Якоби в большинстве случаев основывается на теореме Штекеля.Потенциалы  (r ) , удовлетворяющие условиям этой теоремы, называютштекелевыми. Таким образом, построение интегрируемых моделей движениязвезд сводится к поиску распределений вещества в галактике, обладающихштекелевым гравитационным потенциалом.В вытянутых сферических координатах гамильтониан звезды,движущейся в осесимметричном галактическом поле, имеет вид1H  (a p2  a p2  a p2 )   ( , ) .(21)2Выражения для коэффициентов a , a , a в (21) можно записать следующимобразом (масса звезды m  1 ): 2  1 1 1   2 1 a , a ,(22) 11 1222a где11 ,( 2  1)(1   2 )  13220 11 20 .(23)  det ,    11 211 ( 2  1)(1   2 )  ( 2  1)(1   2 ) 1 Гамильтониан (21) будет удовлетворять условиям теоремы Штекеля втом случае, когда1(24)( , )  2[ ( )   ( )] .2 Упражнение.

Характеристики

Список файлов книги