Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Вектор индукции магнитного поля магнитного диполяµ 3( p mr )r p m B= 0 (7.20)− 3 .4π r 5r Эта формула совпадает по форме с выражением для напряженности электрического поля точечного электрического диполя (1.4).lВ пределе → 0 приведенная формула становится асимптотичеrски точной, а магнитный диполь называется точечным. Если вектор r сонаправлен с вектором pm, то ( p m r )r = p m r 2 и индукциямагнитного поля на оси диполя выражается соотношением:µ p(7.21)B = 0 m3 .2π rгде учтено, что§ 7.2.
Основные типы задач (классификация)7.1. Определение индукции магнитного поля, создаваемоголинейным током заданной конфигурации.7.2. Определение индукции магнитостатического поля от безграничных распределений токов, обладающих плоской или осевойсимметрией.7.3. Определение индукции магнитостатического поля, созданного заданным распределением магнитных диполей.7.4. Определение индукции магнитного поля с использованиемвекторного магнитного потенциала (эквивалентные плоские электростатические и магнитостатические задачи).210ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ§ 7.3.
Методы решения и примеры решения задачВ начале решения необходимо проанализировать условие и определить тип, к которому можно отнести данную задачу.Особое внимание следует обратить на распределение токов илидиполей – существуют ли пространственные ограничения рассматриваемой системы, имеется ли симметрия в распределении токов ит.п. Исходя из принципов симметрии и суперпозиции, определитьнаправление силовых линий результирующего магнитного поля исил, действующих на диполи и проводники с током, фигурирующиев данной задаче.Среди всего многообразия задач, встречающихся в задачниках,можно выделить некоторые базовые задачи. Решение других задачосновывается на результатах, полученных при решении базовыхзадач.
В данной теме к таким основным задачам можно отнестиследующие – определение магнитной индукции прямого тока(7.3.1), кругового витка (7.3.3), бесконечной плоскости, по которойтечет ток с постоянной плотностью (7.3.6), бесконечной полойтрубки (7.3.8) и сплошного цилиндрического провода (7.3.10). Прианализе условия задачи следует попробовать провести аналогиюмежду заданной системой и системами из одной или несколькихбазовых задач.Задачи типа 7.1Определение индукции магнитного поля линейноготока заданной конфигурацииМетод решения. Если необходимо определить индукцию магнитостатического поля линейного тока, то универсальным методомрешения является использование закона Био-Савара–Лапласа (7.3)–(7.5) и принципа суперпозиции (7.6).Задача 7.3.1.
(базовая задача) Определить индукцию магнитного поля, создаваемого отрезком прямого провода длиной 2L вточке А, находящейся в плоскости, перпендикулярной отрезку ипроходящей через его центр, на расстоянии а от провода. Сила тока,текущего в проводе, равна I.РешениеВ данной задаче ток, магнитное поле которого необходимо определить, ограничен в пространстве и расположен симметричноГл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакууме211относительно плоскости, указанной в условии.Выберем правую декартову систему координат, у которой ось Zсовпадает с проводом, начало – с центром провода, ось Y проходитчерез точку А (рис. 7.2).Рассмотрим произвольный элемент тока длиной dl = dz, находящийся на расстоянии z от начала отсчета.
Он создает в точке А, характеризуемой радиус-вектором r, магнитное поле с индукцией dВ.YСогласно (7.3) направление вектора dВ определяется направлениемвектора [dl r], т.е вектор dВ направлен на нас перпендикулярно плоскости рисунка (так как в рассматриваемом случае ток течет против направления оси Z и вектор dl направлен в ту же сторону). Силовые ли- Рис. 7.2.
Определение индукциимагнитного поля, создаваемогонии поля, создаваемого таким пря- отрезком прямого провода с токоммолинейным участком тока, лежат в (задача 7.3.1)плоскости, перпендикулярной проводу.Пусть угол, который составляет некоторый элемент тока с направлением на точку А, равен α. Тогдаaa dα; z = a ctg α ; dz = − 2 .sin αsin αВ соответствии с законом Био-Савара–Лапласа (7.3)r=µ 0 Idzµ Isin α = − 0 sin α dα .24π r4π aВ силу симметрии задачи для нахождения В можно проинтегрировать это выражение по половине провода и удвоить результат:dB = dB x =α1B = Bx = 2µ0 Iµ I( − sin α) dα = 0 cos α1 .∫4π a π / 22π aЗдесь α1 – угол, который составляет с направлением на точку АLкрайний элемент тока. Так как cos α1 =, окончательно по2a + L2212ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧлучаемµ0 IL.2πa a 2 + L2Ответ: Вектор магнитной индукции лежит в плоскости, перµ ILпендикулярной проводу, его модуль равен B = 0.22πa a + L2Замечание 1. Если плоскость, в которой лежит рассматриваемаяточка, перпендикулярна проводу, но не проходит через его середину, то индукция магнитного поля может быть вычислена аналогично:µ IB = 0 (cos α1 − cos α 2 ) ,4π aгде α1 и α2 – углы, которые составляют с направлением на точкурасчета крайние элементы тока.Замечание 2. В предельном случае a << L (бесконечный прямой провод) получаем B = µ0 I ( 2πa ) . Это выражение проще получить из теоремы о циркуляции (7.9), что показано далее в задаче7.3.9.B=Задача 7.3.2. Найти величину и направление вектора магнитной индукции в центре плоского контура, имеющего вид прямоугольника, если длины его сторон равны соответственно b и с, а токравен I (рис.
7.3).РешениеТак как система проводника с током,представленная в условии задачи ограничена в пространстве и представляет собой несколько отрезков линейного тока, то даннаязадача относится к типу 7.2.1.Основываясь на решении базовой задачи 7.3.1 можно сказать, что векторы индук- Рис. 7.3. Прямоугольции магнитного поля, создаваемые всеми ный проводник с токомсторонами рассматриваемого прямоуголь- и направление вектораника, в центре контура (точка О на рис. 7.3) магнитной индукциибудут направлены на нас и перпендикуляр- (задача 7.3.2)ны к плоскости рисунка. Их величины равны:Гл.
7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеB1 =µ0 Ic2π2213b/2b2 c2+44(индукция поля, создаваемого отрезками АВ или СD);B2 =µ0 I2π b / 2c/2b2 c 2+44(индукция поля, создаваемого отрезками ВС или DА).По принципу суперпозиции (7.6) величина индукции магнитного поля в центре контура равна2µ IB = 2( B1 + B2 ) = 0 b 2 + c 2 .π bcОтвет: Вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости контура по правилу правого винта (см. рис. 7.3) и2µ Iравен по модулю B = 0 b 2 + c 2 .π bcЗадача 7.3.3 (базовая задача).
Определить величину индукциимагнитного поля на оси кругового витка радиуса R с током I в зависимости от расстояния до его плоскости.РешениеОбласть существования тока ограничена, а распределение токаимеет осевую симметрию.В силу осевой симметрии задачи и принципа суперпозиции(7.6) вектор индукции магнитного поля кругового витка на егооси будет направлен вдоль этойоси. Направим ось Х декартовойсистемы координат вдоль осивитка, начало координат поместим в центр витка.Вектор dB индукции поля,создаваемого элементом токаРис.
7.4. К определению индукцииIdl, перпендикулярен к вектораммагнитного поля на оси круговогоdl и r и лежит в плоскости, первитка с током (задача 7.3.3)пендикулярной плоскости коль-214ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧца и проходящей через его диаметр, проведенный через dl(рис. 7.4). Проекция вектора dB на ось Х по закону Био–Савара–Лапласа (7.3) равнаµ I sin αdB x = 0dl .4π r 2Отсюда получимµ I sin αµ0IR 2B= 02πR=.4π r 22 R2 + x2 3 / 2(µ0IR22 R + x2)2Ответ: B =()3/ 2.µ0 I.2RЗамечание 2. При x >> R выражение для индукции магнитногоµ IR 2 µ 2 I πR 2 µ 0 2 p mсовпадает споля на оси витка B ≈ 0 3 = 0=2 x4π x 34π x 3выражением (7.21) для индукции поля магнитного диполя на егооси.
В этом случае виток с током можно рассматривать как магнитный диполь и определять магнитное поле такой системы в произвольной точке по формуле (7.20).Замечание 1. В центре кольца (х = 0) поле равно B =Задача 7.3.4. Два одинаковых круговых витка, ток в каждом изкоторых равен I, располагаются так, что их плоскости параллельны,а центры лежат на одной оси на расстоянии L друг от друга. Радиусвитков R.
Предполагая, что токи в витках текут в одном направлении, определить, при каком соотношении между R и L магнитноеполе в центре системы на оси витков будет максимально однородным, а также величину индукции этого поля.РешениеВыберем систему координат так, чтобы её ось Х совпадала сосью витков. Начало координат совместим с центром симметриисистемы (см.
рис. 7.5).При решении данной задачи будем опираться на решение базовой задачи 7.3.3.Используя принцип суперпозиции, получим, что величина индукции магнитного поля в произвольной точке (с координатой х) наоси равна215Гл. 7. Магнитное поле стационарного тока в вакуумеµ IR 2B( x ) = 022 −3 / 22 −3 / 2 2 L 2 L + R + − x R + + x .22 Рис. 7.5. Индукция магнитного поля на оси двух круговых витков содинаковыми токами (задача 7.3.4)Рассмотрим магнитное поле вблизи начала координат. При разложении функции B(x) в ряд в окрестности точки x = 0 получимx2B ( x ) = B (0) + xB ′(0) +B ′′(0) + ...2Поле в окрестности точки x = 0 будет тем однороднее, чембольше производных будут равны нулю.
Определим, при какомрасстоянии между витками B ′(0) = 0 и B ′′(0) = 0 .Введем обозначения:−3−322L 2L 2F1 ( x ) ≡ R 2 + + x ; F2 ( x ) = F1 ( − x ) = R 2 + − x .2 2 Тогда B ′(0) = 0 , если F1′(0) = − F2′(0) ;B ′′(0) = 0 , еслиF1′′(0) = − F2′′(0) .Дифференцируя полученные функции, получаем:условие F1′(0) = − F2′(0) выполняется при любых L;условие F1′′(0) = − F2′′(0) выполняется при L = R.Таким образом, поле между витками на их оси максимальнооднородно, если расстояние между витками равно их радиусу. Определим значение функции B(x) в точке x = 0 при этом условии.ПолучимB ( 0) L = Rµ IR 2 2 R 2 = 02 R +24 −3 / 2 4 = µ 0 IR 2 2 5R 3/ 2=216ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ=µ0 IR4 53/ 2≈ 0,715µ0 I.RОтвет: Поле на оси витков в окрестности центра системымаксимально однородно при L = R и равно3/ 2µ I 4µ IB = 0 ≈ 0,715 0 .R 5RЗамечание 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
