Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 31
Текст из файла (страница 31)
6.8 а – схема соединения резисторов в задаче 6.3.9;б – схема цепи и контурные токиПусть к точкам А и В, между которыми нужно определить сопротивление, подключен источник с ЭДС E (рис. 6.8б). Применимметод контурных токов. Проводники разбивают данную схему на 3области. Каждой из них сопоставим соответствующие контурные196ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧтоки I1-3, направление которых произвольно выберем, например, какпоказано на рис.
6.8б, пунктирными линиями со стрелкой. Запишем3 независимых уравнений Кирхгофа, совершив обходы трех контуров.(I1 − I 2 )r + (I1 − I 3 )2r = E ,Контур ABCD:DEFC:I 2 2r + I 3 r = E ,AEGH:I 2 2r + ( I 2 − I3 )r + ( I 2 − I1 )r = 0 .Решая получившуюся систему уравнений, получаем I1 =откуда находим сопротивление цепи R AB = E I1 = (7 5) r .Ответ:5E,7rRAB = ( 7 5 ) r .Задачи типа 6.4Разветвленные цепи, сводимые к неразветвленным благодаряэлементам симметрииМетоды решения.
Задачи этого типа, в принципе, можно решить общим методом с помощью правил Кирхгофа. При этом, однако, решение зачастую получается громоздким или в ряде случаевприводит к бесконечной системе уравнений, анализ которой требует особых методов.Возможны разные способы сведения к задаче с неразветвленной цепью: соединение точек равного потенциала, удаление проводников с нулевым током, соединяющих точки равного потенциала, добавление дополнительного звена к бесконечной повторяющейся цепочке и др.Задача 6.3.10. Найти сопротивление RAB между точками А и В всхеме, представленной на рис. 6.9. Даны величины сопротивленийR, r, R1.РешениеСПри подключении данной це- ARrВR1пи к источнику ЭДС в силу симRrметрии схемы потенциалы точек СDи D будут одинаковы и ток в R1отсутствует.Рис.
6.9. Схема к задаче 6.3.10197Гл. 6. Постоянный электрический токСпособ 1. Ввиду равенства потенциалов точек С и D их можносоединить между собой. Схема сводится к последовательному соединению левого и правого участков с сопротивлениями R/2 и r/21соответственно, что дает R AB = ( R + r ) .2Способ 2. Поскольку тока в участке CD нет, резистор R1 можноубрать. Схема сводится к параллельному соединению двух одинаковых участков с сопротивлением R + r, что дает тот же результат.Ответ: R AB =1(R + r) .2Задача 6.3.11 (базовая задача). Бесконечная цепь образованаповторением звена R1, R2. Найти сопротивление RАВ между точкамиА и В (рис.6.10).РешениеПусть вся цепочка эквива- A R1R1R1лентна сопротивлению RАВ.
Ввидуее бесконечности добавление ещеR2R2R2одного звена R1, R2 не изменит ее Всопротивления (рис. 6.11), поэтоРис. 6.10. Бесконечная цепь (задачамуR AB6.3.11)RR= R1 + 2 AB .R2 + R ABРешая это уравнение, получаем:RAB =R1 1 + 4 R21+2R1Ответ: RAB =.R1 1 + 4 R21+2R1.AR1R2RABВРис. 6.11. Эквивалентнаясхема соединения элементов цепи в задаче 6.3.11Задача 6.3.12. Имеется бесконечная сетка с квадратнымиячейками. Сопротивление каждого проводника между узлами ячейки равно R. Найти сопротивление RAB между соседними узлами(рис. 6.12).198ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧРешениеДанная задача не сводится к неразветвленной цепи, но позволяет ввидусимметрии эффективно применить принцип суперпозиции.ABНа бесконечности потенциал вездеравен нулю, поэтому бесконечно удаленные узлы можно соединить между собойпроводником, не меняя картины протекаРис.
6.12. Бесконечная прония токов. Подсоединим источник ЭДС водящая сетка с квадратплюсом к точке А, а минусом – к этому ными ячейками (задачабесконечно удаленному проводнику. То- 6.3.12гда в силу симметрии ток I, входящий вА, разделится на четыре части величиной I 4 на каждом из 4 проводников, выходящих из А. Подсоединим теперь такой же источникЭДС минусом к точке В, а плюсом – к бесконечно удаленному проводнику. Поскольку относительно бесконечности точка В эквивалентна А, то в точку В по каждому из 4 проводников будут сходиться токи величиной − I 4 , давая в сумме полный ток –I. Пусть будуттеперь подключены оба источника ЭДС.
Полный ток на бесконечноудаленный проводник обратится в нуль, т.е. ток будет течь толькомежду точками А и В.По проводу АВ потечет ток I AB = I 4 + I 4 = I 2 , следовательно, напряжение на нем будет U AB = ( I 2 ) R . По закону ОмаR AB = U AB I AB = R 2 .
Решение этой задачи по правилам Кирхгофапривело бы к бесконечной системе уравнений.Ответ: R AB =1R.2§6.4. Задачи для самостоятельного решения6.4.1. Два одинаковых металлических шара с радиусами a находятся в однородной среде с удельным сопротивлением ρ. Определить сопротивление R между шарами, считая, что расстояниемежду шарами много больше их радиуса.Ответ: R =ρ.2πa199Гл. 6.
Постоянный электрический ток6.4.2. Найти сопротивление между внутренней и внешней поверхностями кольца толщиной d. Материал кольца имеет удельноесопротивление ρ. Радиусы внутренней и внешней частей кольцаравны a и b (a < b).Ответ: R =ρbln .2πd a6.4.3. Плоский конденсатор, заполненный веществом, диэлектрическая проницаемость которого равна ε, за время τ теряет третьсообщенного ему заряда. Считая, что утечка заряда происходиттолько через диэлектрическую прокладку, найти удельное сопротивление её материала.Ответ: ρ =τ.εε 0 ln (3 2 )6.4.4.
Обкладкам конденсатора емкости С сообщили заряды,равные соответственно +q0 и –q0. Затем обкладки замкнули черезсопротивление R. Найти заряд, протекший в цепи за время τ.()Ответ: q = q0 1 − e −τ RC .6.4.5. Зазор между обкладками плоского конденсатора толщиной d заполнен последовательно двумя диэлектрическими слоямиодинаковой толщины. Удельные сопротивления слоев соответственно равны ρ1 и ρ2, диэлектрическая проницаемость ε = 1. Площадь обкладок S.
На конденсатор подано напряжение U. Найти тепловую мощность, выделяемую в каждом слое.Ответ:P1 =2U 2ρ1S,d (ρ1 + ρ2 )2P2 =2U 2ρ2S.d (ρ1 + ρ2 )26.4.6. Металлический шар радиуса R находится в среде судельной проводимостью λ. На шар в некоторый момент временипомещен заряд q. Определить количество теплоты, выделившеесяво всей среде за время, пока весь заряд стечет с шара.Ответ: Q =q2.8πε 0 R200ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ6.4.7. Пространство между обкладками цилиндрического конденсатора длины L заполнено двумя слоями веществ с удельнымипроводимостями λ1 и λ2 соответственно. Определить мощность,выделяемую в первом слое, если напряжение между обкладками U.Радиусы цилиндров равны R1, R2, R3.2πU 2 L λ1 λ22 lnОтвет: P =R2R1R R λ2 ln 2 + λ1 ln 3 R1R2 2.6.4.8. Пространство между обкладками сферического конденсатора, радиусы обкладок которого равны R1 и R2, заполнено веществом с удельным сопротивлением ρ.
Какое количество теплотыбудет выделяться в единицу времени в такой системе, если междуэлектродами конденсатора поддерживается постоянная разностьпотенциалов U?Ответ: P =4πU 2 R1 R2.ρ(R2 − R1 )E2, r26.4.9. В схеме, представленVной на рис. 6.13. известны ЭДС иE1, r1внутренние сопротивления источников E1, E2, E3, r1, r2, r3.E3, r31) Найти напряжение U, показываемое идеальным вольтметРис. 6.13. Электрическая схемаром V (рис. 6.13).задачи 6.4.92) Чему равно U, если E1/r1 = E2/r2 = E3/r3?Ответ: 1) U = − r1E1 + E2 + E3− E1 ; 2) U = 0.r1 + r2 + r36.4.10. Аккумулятор с ЭДС E = 2,6 В, замкнутый на внешнююцепь, дает ток I = 1 А при напряжении на его клеммах U = 2 В.
Найти тепловую мощность Р, выделяемую в аккумуляторе, и мощностьPэл, которую развивают в нем электрические силы.Ответ: P = I(E – U) = 0,6 Вт, Pэл = –IU = –2 Вт.201Гл. 6. Постоянный электрический токЗамечание: мощность электрических сил в аккумуляторе противоположна по знаку мощности сторонних сил Pстор = IU, обуславливающих его ЭДС.6.4.11. Электромотор постоянного тока подключили к напряжению U. Сопротивление его обмотки равно R. При каком токе Iчерез обмотку полезная мощность мотора будет максимальна? Чему равна эта максимальная мощность Рмакс? Каков при этом к.п.д.мотора η?EE2Ответ: I =; Рмакс =; η = 0,5 .2R4RЗамечание: тип мотора не имеет значения.E6.4.12.
В схеме, представленной на рис. 6.14. дано: R, R1-3, E,E0. Найти силу тока через резистор R.Ответ:I=E ( R2 + R3 ) + E0 R3.R ( R2 + R3 ) + R2 R36.4.13. Между точками А и Вв схеме, представленной нарис. 6.15. поддерживается напряжение U = 20 В, R = 5 Ом. Найтисилу тока и его направление научастке CD.U= 1 A.4RНаправление тока от C к D.R2E0R1R3RРис. 6.14. Электрическая схемазадачи 6.4.12AR2RСD2RВRРис. 6.15. Электрическая схемазадачи 6.4.13Ответ: I =6.4.14.
Найти сопротивлениемежду точками А и В в схеме,представленной на рис. 6.16, еслиR = 100 Ом, r = 50 Ом.Ответ: R AB =r ( r + 3R )= 70 Ом .R + 3rArRrRrРис. 6.16. Электрическая схемазадачи 6.4.14В202ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ6.4.15. Цепь состоит из двухбатарей с ЭДС E1 и E2 и резисторов R1-4 = R (рис. 6.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
