Учебник - Электричество и магнетизм. Методика решения задач - Д.Ф. Киселев (1238777), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Внутренний проводник несёт заряд q1, внешний – заряд q2. Определить потенциал внутреннего проводника и поляризованность диэлектрической прослойки.Ответ: ϕ1 =14πε 0 q2 ε − 1 1 1 (ε − 1)q1 .q − q1 + 1 ; P = +ε r3 r2 r1 4πεr 2 r44.4.9. Между пластинами плоского конденсатора, площадь которых S, помещен слоистый диэлектрик, состоящий из n слоёв вещества с диэлектрической проницаемостью ε1 и из n слоев с диэлектрической проницаемостью ε2.
Слои чередуются и каждыйимеет толщину d. Найти ёмкость конденсатора С.Ответ:C=ε 0ε1ε 2 S.nd (ε1 + ε 2 )4.4.10. Найти напряженность электрического поля между обкладкамисферического конденсатора, пространство между которыми заполнено однородными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. Диэлектрики граничат между собой вдольповерхности конуса с вершиной в центре О. Телесный угол конуса, заполненного первым диэлектриком, равенΩ1, а заполненного вторым диэлектри-ε1 Ω1Oε2 Ω2Рис.4.19. Распределение диэлектриков в сферическомконденсаторе (задача 4.4.10)Гл.4.
Диэлектрики в электростатическом поле143ком – Ω2 (Ω1 + Ω2 = 4π) (рис.4.19). Заряд на внутренней обкладкеравен Q.Найти также ёмкость конденсатора, если радиусы шаровых обкладок равны R1 и R2 (R1 < R2).Ответ: E =RRQ1, C = ε0 (ε1Ω1 + ε 2Ω 2 ) 1 2 .ε 0 (ε1Ω1 + ε 2Ω 2 ) r 2R2 − R14.4.11. Тонкая большая диэлектрическая пластина имеет постоянную («замороженную»), неxзависящую от электрическогополя, поперечно направленную dполяризацию, меняющуюся поРеётолщинепозакону 0P = P0 ( x 2 d 2 ) , где х – расстоя- Рис. 4.20.
Пластина с «замороженной»ние до одной из поверхностей поляризацией (задача 4.4.11)(рис. 4.20). Толщина пластиныравна d. Пренебрегая краевыми эффектами, найти разность потенциалов U между поверхностями пластины.Ответ: U =P0 d.3ε 04.4.12. В плоский конден+Uсатор, подключенный к источР–нику с напряжением U, вставили пластину толщиной h с Рис. 4.21. Конденсатор с поляризованнойпостоянным, не зависящим от пластиной (задача 4.4.12)электрического поля, векторомполяризации Р, направленным поперек пластинки. Площадь пластин конденсатора и вставленной пластины S, расстояние междупластинами d. Полярность источника и направление поляризациипоказаны на рис.
4.21. Найти заряд конденсатора. U h Ответ: q = ε 0 − P S . d d ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1444.4.13 Бесконечно длинный цилиндр радиуса R из однородногодиэлектрика с проницаемостью ε поместили в однородное электрическое поле напряженностью Е0, которое перпендикулярно оси цилиндра.
Найти поляризованность диэлектрика.Ответ: P = −21.2.3.4.ε −1ε0E0 .ε +1Литература к главе 4Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. –М.: Оникс 21век, 2005, §§17, § 20-24.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Электричество. –М.,Физматлит, 2006, §§ 12-16, 24.Калашников С.Г. Электричество.
–М.: Физматлит, 2003,§§ 38-52.Тамм И.Е. Основы теории электричества. –М.: Физматлит2003, §§ 20-29.145Гл. 5. Энергия электрического поляГлава 5ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ§ 5.1. Теоретический материалПотенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга, равнаминимальной работе, которая совершается электрическими силамипри увеличении расстояния между зарядами до бесконечности:W=1 q1q2 ϕ1q1 + ϕ2 q2,=4πε0 r2(5.1)где φ1 – потенциал, создаваемый зарядом q2 в точке нахождения заряда q1, а φ2 – потенциал, создаваемый зарядом q1 в точке нахождения заряда q2.Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна сумме энергий попарно взаимодействующихзарядов:11 qi q j 1W= ∑= ∑ ϕ i qi ,(5.2)2 i ≠ j 4πε 0 rij2 iгде ϕi – потенциал, создаваемый в точке нахождения заряда qi всемиостальными зарядами.Полная электростатическая энергия системы тел, заряженных с объемной плотностью ρ и поверхностной плотностью σ, определяется формулой11W = ∫ ϕρ dV + ∫ ϕσ dS ,(5.3)2V2Sгде φ – потенциал в точке нахождения элемента заряда ρdV или σdS,созданный всеми зарядами системы, а интегрирование ведется повсем областям, где имеются заряды.
Если система состоит из нескольких тел, то эта формула учитывает как взаимодействие зарядов, находящихся на разных телах, так и взаимодействие друг сдругом зарядов, находящихся на каждом из тел системы.Если заряженные тела расположены в конечной области пространства, то энергия электрического поля вычисляется по формуле146ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ1EDdV ,(5.4)2 V∫где интегрирование производится по всему пространству, занятомуполем.Плотность энергии электрического поля в любой точке1w = ED .(5.5)2Собственной энергией заряженного тела называется энергиявзаимодействия всех зарядов этого заряженного тела. Она определяется формулой (5.3), где V – объем тела и S – его поверхность, аϕ – потенциал, созданный зарядами самого тела.
Собственная энергия всегда положительна, так как она равна взятой со знаком «минус» минимальной работе, выполненной против сил электрического поля в процессе зарядки тела, что приводит к росту потенциальной энергии взаимодействия зарядов этого тела.Потенциальная энергия взаимодействия системы из нескольких заряженных тел определяется формулой (5.3) за вычетом собственной энергии всех тел системы. Она определяется работой по сближению заряженных тел и может быть как положительной, так и отрицательной.Пондеромоторная сила – уходящий в прошлое термин, означающий механическую силу, действующую со стороны поля навесомые тела. Поскольку невесомых тел не существует, теперьслово «пондеромоторная» обычно опускается и говорят просто осиле, действующей на тело, или о плотности силы.Силы при постоянстве зарядов системы. Если заряды напроводниках сохраняют постоянные значения (система отключенаот источников ЭДС), то, записывая энергию системы как функциюот зарядов и пространственных переменных, можно вычислитьпроекции сил, действующих в системе, и моментов этих сил: ∂W ,(5.6)Fi = − ∂xi qW= ∂W .(5.7)M i = − ∂θi qЗдесь xi – декартова координата, θi – угол поворота относительно iой оси, а индекс q показывает, что вычисление производится припостоянных зарядах.Гл.
5. Энергия электрического поля147Силы при постоянстве потенциалов системы проводников.Если на проводниках поддерживаются постоянные потенциалы (засчет подключения к источникам ЭДС), то энергию системы удобнозаписать как функцию от потенциалов и пространственных переменных. В этом случае вычисления надо производить по формулам: ∂W ,(5.8)Fi = + ∂xi ϕ ∂W ,(5.9)M i = + ∂θi ϕгде индекс φ показывает, что вычисление производится при постоянных потенциалах.Поверхностная плотность силы. Если на элемент поверхноdFсти тела dS действует сила dF, то отношение f S =называютdSповерхностной плотностью силы.Объемная плотность силы Если на элемент объема тела dVдействует сила dF, то отношение fV =dFназывают объемнойdVплотностью силы.Поверхностная плотность силы, действующей на заряженный проводник, равнаσ 2n,(5.10)fS =2εε 0где n – единичный вектор внешней нормали к поверхности проводника, σ – плотность заряда в точке наблюдения, ε – диэлектрическая проницаемость среды, с которой граничит проводник.
Здесь идалее предполагается, что имеется полный контакт диэлектрика спроводником, что возможно только в случае жидкого или газообразного диэлектрика. В состоянии равновесия эти силы, стремящиеся увеличить объем проводника, скомпенсированы силами,возникающими в результате упругой деформации (cм. [1], §19).Объемная плотность сил, действующих на диэлектрик спроницаемостью ε во внешнем поле напряженности Е для твердыхтел, газов и большинства жидкостей равна148ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧε 0 (ε − 1)grad( E 2 ) .(5.11)2Сила действует в направлении роста модуля напряженности электрического поля.Поверхностная плотность силы, действующей на незаряженную плоскую границу раздела двух диэлектриков ε1 и ε2.Пусть ε1 < ε2 и n12 – единичный вектор нормали к границе, проведенный из первой среды во вторую. Если внешнее поле направленопо нормали к границе раздела, то каждая среда своим электрическим полем как бы притягивает к себе поверхность раздела. Поверхностная плотность такой силы равна объемной плотностиэнергии, связанной с нормальной компонентой напряженности поля в своей среде.
Эти силы называются максвелловскими натяжениями, а их результирующая определяет силу, действующую награницу раздела. Плотность такой силы равнаfV =fS =1 1 1 2 − Dn n12 ,2ε 0 ε 2 ε1 (5.12)где Dn – нормальная компонента индукции внешнего поляЕсли внешнее поле направлено тангенциально к границе раздела двух диэлектриков ε1 и ε2, то на границу раздела по нормали кней действует сила, суммарная поверхностная плотность которойравнаε (ε − ε )f S = 0 1 2 Eτ2n12 ,(5.13)2где Eτ – тангенциальная компонента напряженности внешнего поля.В этом случае силы взаимодействия являются силами давления диэлектриков друг на друга; они называются максвелловскими давлениями. Поверхностная плотность сил давления равна объемнойплотности энергии, связанной с тангенциальной компонентой напряженности поля (см. [1], §19).Поверхностная плотность силы, действующей на поверхность раздела двух сред, всегда направлена в сторону среды сменьшей плотностью энергии и ее величина равнаf = w1 – w2,(5.14)где w1 и w2 – объёмные плотности энергии электрического поля соответственно в первой и второй среде.149Гл.
5. Энергия электрического поляЭнергия точечного диполя с моментом p во внешнем поле снапряженностью EW = – (pE).(5.15)Сила, действующая на диполь в электростатическом полеF = ( p grad ) E = ( p ∇ ) E = p x∂E∂E∂E.+ py+ pz∂x∂y∂z(5.16)§ 5.2. Основные типы задач (классификация)5.1. Определение собственной энергии заданного распределения электрического заряда и определение энергии электростатического поля этого распределения заряда в заданном объеме.5.2. Определение энергии взаимодействия системы, состоящейиз точечных зарядов, диполей и нескольких заряженных тел.5.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
