МУ - Избранные задачи по математическому анализу - Козлов (1238750)
Текст из файла
Избранные задачи по математическомуанализуУчебно-методическое пособиеКозлов Геннадий Тимофеевич,кандидат физико-математических наук,доцент кафедры высшей математики ФФ НГУПредисловие1Одной из актуальных задач университета, как известно, является усиление и улучшение самостоятельной работы студентов. Я придумал алгоритм для решения этой задачи. Он состоит в публикации методическихпособий по данному курсу, в котором содержатся избранные задачи вместе с решениями.
Студент листает такую методичку, встречает там интересную для себя задачу, старается решить, решает, если сможет, либопосле неудачной попытки с интересом (как же, всё-таки она решается?)разбирает опубликованное доказательство. Тем самым студент совершает, что и доказывает правильность алгоритма.В настоящем пособии содержится набор полезных задач с решениямидля студентов первого семестра первого курса ФФ.
Это пособие — мояпервая (экспериментальная) работа по применению указанного алгоритма.акт абсолютно самостоятельной работы2(Теорема Кантора) Пусть = {. . . , , . . .} — множество элементов и () = {. . . , , . . .} — множество всех подмножеств множества . Теорема Кантора утверждает, что не существует взаимнооднозначного соответствия между множествами и ().Доказательство.
Для конечных множеств это очевидно: если содержит элементов, то () содержит 2 элементов, 2 > . Даже если — пустое множество, т. е. в нём нет элементов, то () содержит одинэлемент — пустое множество.Предположим, что для какого-то множества и множества ()нам удалось построить взаимно-однозначное отображение1. : → ( ∈ , ∈ ()).Назовём элемент хорошим, если он сам лежит в множестве ( ∈ ), и назовём плохим в противном случае (т. е. ∈/ ).
Такимобразом, все элементы из становятся либо хорошими, либо плохими(если существует отображение ). Обозначим через множество всехплохих элементов из . Ясно, что ⊂ и по нашей гипотезе существуетэлемент ∈ такой, что () = .Спрашивается: элемент хороший или плохой? Хорошим он быть неможет, так как в этом случае ∈ , а в собраны все плохие элементыи только они. Но и плохим не может быть, так как в этом случае ∈ (ведь в собраны все плохие элементы) и, значит, хороший.Получили противоречие ( не хороший и не плохой), следовательно, нашепредположение о том, что существует взаимно однозначное отображение : → () является ложным.
Теорема доказана.Построить взаимно-однозначное отображение отрезка [0, 1] на интервал (0, 1).Решение. Нарисуем две прямые, на первой разместим отрезок [0, 1], навторой — интервал (0, 1). Если число расположено на первой прямой,то равное ему число, расположенное на второй прямой, будем обозначать′ .2.0 = r1r2SS′0 =bS′1SwrS′2r3r4SSSSwr′3r5 .
. .12r. . . r5r4SSSSwr′4r3SSwrS′5···?r1′2···r/5′r2r/4′r1 = 1r/3′r/2′b1′ = 1′3На этом рисунке последовательность {1, 2, 3, . . .} строго возрастает, а последовательность {1, 2, 3, . . .} строго убывает, причём1lim = lim = .→∞2→∞Взаимно-однозначное отображение : [0, 1] → (0, 1) определим следующим образом:(︂ )︂′1( ) =212;′∀, ( ) = ′+1 , ( ) = +1;на интервалах ( , +1), (+1, ) определяется как тождественноеотображение, т. е.∀ ∈ ( , +1 ) () = ′ ,∀ ∈ (+1 , ) () = ′ ,′′при этом ′ ∈ (′ , ′+1), ′ ∈ (+1, ).Отображение построено.Докажите, что никаким способом нельзя отобразить натуральныйряд N на всю числовую прямую R.Решение.
Для любого числа ∈ R назовём -окрестностью точки множество B(), определяемое следующим образом3.{︁ }︁df.B () = ∈ R | | − | <2Некто заявил нам, что ему удалось отобразить натуральный ряд N навсю числовую прямую R с помощью некоторой функции , так чтоR = {() | ∈ N} .Но мы не поверим Некту, так как помним о существовании бесконечноубывающей геометрической прогрессии {1, 12 , 212 , .
. . , 21 , . . . } со знаменателем 12 , сумма которой, как известно, равна числу 2. Заботливоукроем каждое число () -одеялом, точнее -окрестностью B (()).Увы суммарная длина всех -одеял, даже если они не пересекаются, равна числу 2. Так что для любой функции множество {() | ∈ N} —очень малая часть прямой R.124Докажите, что для всякого натурального число = 5·23+1 +33+2нацело делится на 19.Решение. Заметим, что4.0 = 5 · 2 + 3 · 3 = 10 + 9 = 19,1 = 10 · 23 + 9 · 33 = (10 + 9)(23 + ) = 10 · 23 + 9 · 23 + 10 · + 9 · =9(33 − 23 )= 9,= 10 · 23 + 9 · 23 + 19 · = 10 · 23 + 9 · 33 , значит =19т. е.
1 = 10 · 23 + 9 · 33 = 19 · (8 + 9) = 19 · 17.Применим этот подход для любого : = 10 · 23 + 9 · 33 = (10 + 9)(23 + ) = 10 · 23 + 9 · 23 + 19 · =9(33 − 23 ).= 10 · 23 + 9 · 33 , значит =19Осталось доказать, что ∀ (33 − 23) делится на 19. Напомним формулу: − = ( − )(−1 + −2 + · · · + −1 ).Тогда(︁(︀ )︀(︀ )︀ (︀ )︀(︀ )︀−2(︀ )︀−1 )︁−133 − 23 = 33 − 23 = 19 · 33+ 33· 2 + · · · + 23,что и требовалось доказать.Докажите таким же способом, что для любого натурального число 11+2 + 122+1 кратно 133.5.Докажите, что при любом натуральном число 55+1 + 45+2 + 35делится на 11.Решение.
Вычислим остатки от деления степеней чисел 3, 4, 5 на 11:6.50 ≡ 1(11), 51 ≡ 5(11), 52 ≡ 3(11), 53 ≡ 4(11), 54 ≡ 9(11), 55 ≡ 1(11);40 ≡ 1(11), 41 ≡ 4(11), 42 ≡ 5(11), 43 ≡ 9(11), 44 ≡ 3(11), 45 ≡ 1(11);30 ≡ 1(11), 31 ≡ 3(11), 32 ≡ 9(11), 33 ≡ 5(11), 34 ≡ 4(11), 35 ≡ 1(11).5Видим, что числа 55, 45, 35 при делении на 11 дают в остатке единицу,поэтому остаток от деления числа 55+1 + 45+2 + 35 равен остатку отделения числа 51 + 42 + 30 на 11, и этот остаток равен 0 (5 + 16 + 1 = 22).Используя написанную выше таблицу сравнений, можно найти ещё14 выражений типа 55+ + 45+ + 35+ , делящихся на 11.7.Докажите формулу () = 3 + 33 + 333 + · · · + 333 . .
. 33 =10+1 − 9 − 10.27(*)Решение (по индукции). Для = 1 формула (*) верна:100 − 9 − 2081== 3.2727Пусть формула (*) верна для , тогда докажем её для + 1.10+1 − 9 − 10· 10 + 3( + 1) =2710+2 − 9( + 1) − 1010+2 − 90 − 100 + 81( + 1)=,=2727 ( + 1) = () · 10 + 3( + 1) =что и требовалось доказать.8.Для каждого натурального докажите неравенство() =111++ ··· +> 1.+1 +23 + 1(*)Решение (по индукции). Для = 1 неравенство (*) верно:(1) =1 1 113+ + => 1.2 3 412Пусть неравенство (*) доказано для .
Докажем тогда, что( + 1) =11111+ ··· ++++> () > 1.+23 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4Действительно,( + 1) − () =1111++−=3 + 2 3 + 3 3 + 4 + 1121=−+> 0,3 + 2 3 + 3 3 + 46так как для любого > 1 верно неравенство1212− +=> 0.2−1 +1( − 1)9.Пусть1 111+ + ··· ++ .2 3−1 lim = ∞ = 1 +Докажите, что →∞.Решение. Требуемое легко вытекает из задачи 8. Действительно, начиная с любого сумма111++ ··· +> 1,+1 +23 + 1и пусть 3 + 1 = , тогда111++ ··· +> 1,+1 +23 + 1обозначим 3 + 1 = 111++ ··· +> 1,+1 +23 + 1и т. д.Можно повторять этот процесс сколько угодно раз и сумма такихкусочков-частичных сумм вида +1 1 + +1 2 + · · · + 3 1+ 1 превыситлюбое наперёд заданное число.В дополнение к задаче 9 докажите такое утверждение:Для любого натурального > 1 сумма10.
= 1 +1 111+ + ··· ++2 3−1 не является натуральным числом.7Решение. Пусть 2 · тот из знаменателей, который делится на наибольшую степень двойки ( — нечётное число). Тогда = 1, поскольку, еслибы среди знаменателей (от числа 2 до числа ) содержалось большеекратное числа 2 , то нечётный коэффициент был бы больше 2, а этобы означало, что среди знаменателей содержится число 2+1, что противоречит максимальности числа .Следовательно, наименьший общий знаменатель всех дробей из имеет вид 2 · , где — нечётное число. После приведения к наименьшему общему знаменателю числитель каждой дроби, за исключением1= 2 · станет чётным. Таким образом, сумма всех числителей после2приведения к наименьшему общему знаменателю нечётна и не делитсяна знаменатель, равный 2 · . Значит сумма никогда не может бытьнатуральным числом, что и требовалось доказать.11.Докажите, что при любом натуральном выражение√︃√︂1+√︁√2 + 3 + ··· + принимает значения, меньшие 2.Решение.
Рассмотрим числовую последовательность, определённую соотношениями0 = 2, = 2−1 − при > 1.(1)Докажем, что для любого > .(2)Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что неравенство (2) выполняется для 0, 1, 2, 3. Предположим, что > для некоторого > 3. Тогда, в силу определяющих соотношений (1)+1 = 2 − ( + 1) > 2 − ( + 1) = 2 − − 1.Поскольку > 3 2 − − 1 > + 1,√ 2 − 2 − 2 имеет корни 1 ± 3 меньшие 3)то +1 > + 1,(параболат. е.
неравенство (2) доказано. Из него вытекает, что > 0 для > 0.(3)8Из определяющих соотношений (1) и неравенства (3) получаем последовательную цепочку неравенств0 > 0,1 = 20 − 1 > 0,2 = (20 − 1)2 − 2 > 0,)︀2(︀3 = (20 − 1)2 − 2 − 3 > 0,............Разрешая их относительно 0, получаем0 > 0,0 > 1,√︁√0 > 1 + 2,√︂√︁√0 > 1 + 2 + 3,............Вообще, для любого натурального √︃0 = 2 >1+√︂2+√︁3 + ··· +√,задача решена.На плоскости проведено прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. На сколькочастей разбивают плоскость эти прямые?Решение. Число частей, на которые разбивают плоскость проведённыхпрямых, обозначим ().
Поскольку для небольших вычисления несложны, выпишем их результаты в таблицу12. ()C20 1 2 3 4 51 2 4 7 11 161 3 6 106 ...22 . . .15 . . .9где C2 = (2− 1) — число сочетаний из по 2.Из рассмотрения таблицы возникают две гипотезы:1) () = ( − 1) + ,2) () = C2+1 + 1 = (2+ 1) + 1,которые хорошо согласованы, потому что, если ( − 1) = C2 + 1, то () = ( − 1) + =( − 1)( + 1)+1+=+ 1.22Поэтому будем доказывать такое предложение:Для любого натурального () = (2+ 1) + 1.
Оно проверено длямалых , и будем считать, что оно истинно для − 1. Проведём на плоскости -ую прямую, которая пересечётся с ранее проведёнными прямымив точках 1, 2, . . . , −1:r 1r 2 r 3r 4...r−2r−1Эти точки разделяют прямую на отрезков, каждый из которыхделит на две части ту часть плоскости, которая образовалась на ( − 1)ом шаге. Общее число частей нового разбиения увеличилось на , () = ( − 1) + =( + 1)+ 1.2Соединяем поочерёдно середины сторон выпуклого четырёхугольника.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
