МУ - Избранные задачи по математическому анализу - Козлов (1238750), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Тогда13·2−11− 2 −−→ 0,→0 (+1) () =(︁)︁11−1−1= 3·2 − 2 (′ () + () · 2−3 ) · 3·2 − () · 3 · 2−1 · 3·2 −1 =11= 3·2 − 2 · () −−→ 0,→0где () — многочлен, и по лемме (+1)(0) = 0.Ряд Тейлора для () оказывается функцией, равной 0 на всей прямой R, и совпадает с () только при = 0.27Докажите неравенство Йенсена:Если : (, ) → R — выпуклая вниз функция; 1, 2, .

. . , — точкиинтервала (, ); 1, 2, . . . , — неотрицательные числа такие, что32.1 + 2 + · · · + = 1,то справедливо неравенство (1 1 + 2 2 + · · · + ) 6 1 (1 ) + 2 (2 ) + · · · + ( ).(*)Доказательство. При = 2 неравенство (*) совпадает с определениемвыпуклости функции (). Покажем, что если (*) справедливо для = − 1, то оно справедливо и для = .Пусть, для определённости, в наборе 1, . .

. , имеем, что ̸= 0.Тогда2+ ··· += 1, а также 1 + = 1. = 2 + · · · + > 0 иИспользуя выпуклость функции (), находим, что(︂(︂)︂)︂2 (1 1 + · · · + ) = 1 1 + 2 + · · · +6)︂(︂22 + · · · + ,6 1 (1 ) + (︂)︂2так как 1 + = 1 и 2 + · · · + ∈ (, ).Далее, по предположению индукции(︂22 + · · · +)︂62 (2 ) + · · · + ( ),следовательно,(︂)︂2 (1 1 + · · · + ) 6 1 (1 ) + 2 + · · · + 66 1 (1 ) + 2 (2 ) + · · · + ( ),что и требовалось доказать.Для функции, выпуклой вверх, (1 1 + 2 2 + · · · + ) > 1 (1 ) + 2 (2 ) + · · · + ( ).28Пример. Функция () = ln строго выпукла вверх на R+, поэтому если > 0 и 1 + · · · + = 1, тоln (1 1 + · · · + ) > 1 ln 1 + · · · + ln = ln 1 1 · · · · · ,откуда следует, что1 1 + · · · + > 1 1 · · · · · .11 = 2 = · · · = = , то среднееВ частности, еслиарифметическое√1 + · · · + большеилиравно,чемсреднеегеометрическое1 · · · · · .Докажите красивую теорему:Если1) Функции () и () -кратно дифференцируемы,2) ()(0) = ()(0) при = 0, 1, − 1,3) ()() > ()() при > 0,то имеет место неравенство () > () при > 0.Доказательство.

Рассмотрим функцию () = () − ().С одной стороны33.(−1) () − (−1) (0 ) = (−1) () − (−1) () − (−1) (0 ) + (−1) (0 ) == (−1) () − (−1) (),так как (−1)(0) = (−1)(0) по условию 2) теоремы.С другой стороны, по теореме Лагранжа о конечном приращении наотрезке [0, ](︀)︀(−1) () − (−1) (0 ) = () ()( − 0 ) = () () − () () ( − 0 ) > 0по условию 3) теоремы, так как ∈ (0, ).Сравнивая эти результаты, мы видим, что)︀(︀(−1) () − (−1) () = () () − () () ( − 0 ) > 0.Т. е. мы получили, что для всех > 0 (−1) () > (−1) ()и дело свелось к первоначальной задаче для = − 1.Тогда повторим приведённое доказательство к функции (−2)() =(−2)() − (−2) () и так далее.

После − 1 шага получим, что () >() при > 0 , что и требовалось доказать..

Характеристики

Список файлов книги