Главная » Просмотр файлов » Криволинейные интегралы - Примеры решения задач

Криволинейные интегралы - Примеры решения задач (1238749), страница 2

Файл №1238749 Криволинейные интегралы - Примеры решения задач (Криволинейные интегралы - Примеры решения задач) 2 страницаКриволинейные интегралы - Примеры решения задач (1238749) страница 22020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Условия независимостикриволинейного интеграла второго рода отпути интегрированияПримеры решения задач1. Вычислить криволинейный интегралI=(еx sin у − ру) dx + (еx cos у − р) dy,где кривая АO − верхняя полуокружность x2 + y2 = ах, А(а, 0), O(0, 0) (Рис.59).Рис. 59Решение. Введем обозначения: Р = еx sin у − ру, Q = еx cos у − р. Дополним кривуюинтегрирования АО до замкнутого контура L отрезком ОА оси Ох.

Тогда получимI=Так как−P dx + Q dy −P dx + Q dy.= р, то по формуле Грина находимР dx + Q dy =p dx dy,где область G − верхняя половина круга радиуса а/2. Поэтомуp dx dy = p · S(G) =.Вычислим интеграл по отрезку ОА оси Ох. Учитывая, что на этом отрезке Р = О, dy = 0,получимР dx + Q dy = 0. Таким образом, I =· p.2.

Пусть функции u(x, y), v(x, y) и их частные производные первого и второго порядканепрерывны в замкнутой области G, ограниченной гладкой кривой L. Доказать, чтосправедлива вторая формула Грина:dl =dx dy,где− производная по направлению внешней нормали L, Δu =в левой части есть криволинейный интеграл первого рода.+; а интегралРешение. Сначала докажем, что(7)vdl =v Δu +·+·dx dy.Пусть n = {cos ϕ, sin ϕ} − единичный вектор внешней нормали к кривой L.

Так какcosϕ +=sin ϕ, тоvdl =vcos ϕ + vsin ϕ dl.Рис. 60Единичный касательный к L вектор τ = {cos α, sin α}, направление которого соответствуетположительному направлению обхода контура, получается поворотом вектора n на уголπ/2 против часовой стрелки (Рис. 60). Поэтомуα = ϕ + π/2, cos α = −sin ϕ, sin α = cos ϕ.Учитывая эти равенства, с помощью формулы (8) из § 2 выразим криволинейный интегралпервого рода через криволинейный интеграл второго рода:vcos ϕ + vВводя обозначения Р = −vГрина. Учитывая, что,Q=v==получимsin ϕ dl =−vdx +vdy., преобразуем последний интеграл по формулеv−v=v= −v+−,,−vdx +vdy =v Δu +=·−+·dx dy =dx dy.Таким образом, справедливость равенства (7) доказана.Поменяв в равенстве (7) ролями функции v(x, y) и u(x, y), получим(8)uu Δv +dl =·+·dx dy.Составляя разность равенств (8) и (7), приходим ко второй формуле Грина:u−vdl =(u Δv − v Δu) dx dy.3.

Вычислить площадь S фигуры, ограниченной астроидой х = a cos3 t, у = b sin3 t, 0 ≤ t ≤2π.Решение. Пользуясь формулой (3), находимS = 1/2x dy − у dx = 1/2= 3/2 ab(3ab cos4 t sin2 t + 3ab sin4 t cos2 t) dt =cos2 t sin2 t dt = 3/8 absin2 2t dt = 3abπ/8.4. Доказать, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, ивычислить криволинейный интеграл:а)x dx − y dy, где А(0, 1), В(3, −4);б)(x4 + 4xy3) dx + (6x2y2 − 5y4)dy, где А(−2, −1), В(3, 0).Решение. а) Очевидно, x dx − y dy = du, где u = x2/2 − y2/2. По формуле (4) находимx dx − y dy = u(B) − u(A) = −7/2 − (−1/2) = −3.б) Проверим выполнение условия IV теоремы 6: Р = x4 + 4xy3, Q = 6x2y2 − 5y4,= 12xy2,= 12xy2. Таким образом,=, т.

е. условие IV выполнено. Следовательно, потеореме 6 выражение Р dx + Q dy является полным дифференциалом, а криволинейныйP dx + Q dy не зависит от пути интегрирования. Возьмем в качестве путиинтеграл I =интегрирования ломаную АМВ, где M(−2, 0). Тогда AM = {(x, y): x = −2, −1 ≤ у ≤ 0}, МB ={(x, у): y = 0, −2 ≤ x ≤ 3}.Р dx + Q dy =Вдоль отрезка AM имеем x = −2, dx = 0, −1 ≤ у ≤ 0; поэтому45у ) dy = 7. Вдоль отрезка MB имеем y = 0, dy = 0, −2 ≤ x ≤ 3; поэтомуP dx + Q dy=(24y2 −x4 dx = 55.Искомый интеграл по ломаной АМВ равен сумме вычисленных интегралов, т.

е. равен 62.5. Дважды дифференцируемая функция u(x, y) называется гармонической в области G,если в этой области Δu =+= 0. Доказать, что если для функции u(x, y),имеющей непрерывные частные производные второго порядка в односвязной области G, идля любого гладкого замкнутого контура L, лежащего в области G, справедливо равенствоdl = 0, где− производная по внешней нормали к контуру L, то u(x, y) −гармоническая функция в области G.Решение.

Пусть n = {cos ϕ, sin ϕ} − единичный вектор внешней нормали к кривой L. Таккак=cosϕ +sin ϕ,тоdl =cos ϕ +sin ϕ dl.Далее, пусть τ = {cos α, sin α} − единичный касательный вектор к кривой L, направлениекоторого соответствует положительному направлению обхода контура. Тогда α = π/2 + ϕ(см. рис. 60), cos α = −sin ϕ, sin α = cos ϕ, и по формуле (8) из § 2 получимdl =sin α −cos α dl =−dx +dy.Таким образом,−dx +dy = 0 для любого замкнутого гладкого контура L,лежащего в односвязной области G, т.

е. выполнено условие I теоремы 6. По теореме 6 изусловия I следует условие IV, т. е.−=, откудаΔu = 0. Это и означает, что функция u(x, y) гармоническая в области G.+= 0, или6. Вычислить интеграл I =, где L − замкнутый кусочно гладкий контур,окружающий начало координат, пробегаемый в положительном направлении иограничивающий область G.Решение. Покажем, что интеграл I не зависит от выбора контура L, окружающего началокоординат.

Положим Р = −,Q=. Тогда=при x2 + y2 ≠ 0,=т. е. условие IV теоремы 6 выполнено всюду в области G, за исключением точки O(0, 0).Область G с выброшенной точкой O уже не является односвязной, поэтому утверждение2° теоремы 6 использовать нельзя (нельзя утверждать, что из условия IV следует условиеI).Рассмотрим другой кусочно гладкий замкнутый контур l, окружающий начало координат.Пусть контур l лежит внутри (или вне) области G, тогда кривые L и l ограничиваютнекоторую область Ω.Рис. 61Применим к этой области формулу Грина. Если кривая l лежит внутри G (Рис.

61, а), то вформуле Грина обход контура L совершается против часовой стрелки, а контура l − почасовой стрелке. ПоэтомуР dx + Q dy −Р dx + Q dy =−dx dy = 0,откуда(9)Р dx + Q dy =Р dx + Q dy.Если же кривая l лежит вне G (Рис. 61, б), то в формуле Грина обход контура Lсовершается по часовой стрелке, а контура l − против часовой стрелки. Значит,Р dx + Q dy −Р dx + Q dy = 0.Отсюда снова получаем равенство (9). Если контуры L и l пересекаются в n точках (Рис.61, в), то для каждой из n полученных при этом областей nk, не содержащих началакоординат (они заштрихованы на рис. 61, в), справедлива формула Грина. Пользуясь этойформулой, находимР dx + Q dy +Р dx + Q dy = 0.(направления обхода показаны на рис.

61, в). Просуммировав эти равенства по к от 1 до n,получим, что сумма интеграла по контуру L в положительном направлении и интеграла поконтуру l в отрицательном направлении равна нулю. Отсюда снова приходим к равенству(9). Таким образом, интеграл I не зависит от выбора кривой L. Вычислив его по единичнойокружности x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π, получим= 2π.I=З а м е ч а н и е . Рассмотренный пример показывает, что если область не являетсяодносвязной, то из условия IV теоремы 6 может не следовать условие I.7. Найти функцию u(x, y), если du = [y cos xy − 2x sin(x2 − y2)] dx + [х cos xy + 2у sin(x2 −y2)] dy.Решение.

Нетрудно убедиться, что для дифференциального выражения выполненоравенство (5). Для вычисления функции u(x, y) воспользуемся формулой (6). Находим[y0 cos хy0 − 2х sin(x2 − y02)] dx +u(x, y) =+[х cos xy + 2y sin(x2 − y2)] dy == [sin xy0 + cos(x2 − y02)]+ [sin xy + cos(x2 − y2)]+С== [sin xy0 + cos(x2 − y02) − sin x0y0 − cos(x02 − y02)] ++ [sin xy + cos(x2 − y2) − sin xy0 − cos(x2 − y02)] + С == sin xy + cos(x2 − y2) + C1,где C1 − произвольная постоянная..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
530,48 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов учебной работы

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее