Бориско (1223143), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Эссеену [6]. Так что теорема Ляпунова верна сзаменой оценки (1) наn¯¯ ³ 1 X´β3¯¯(ξj − µ) < x − Φ(x)¯ ≤ C0 3 √ .sup ¯P √σ n j=1σ nx(2)Неравенство (2) в математической литературе принято называть неравенством Берри – Эссеена (в случае одинаково распределенных слагаемых).Но еще в 1937 г. в [7] появился результат американского математикарусского происхождения Я.В. Успенского, который в частном случае бернуллиевых распределений по точности превосходил неравенство (2). Доказательство этой оценки, так же, как у Берри и Эссеена, было получено8методом характеристических функций, причем посредством тонких оценокматематического анализа, имеющих значение независимо от вероятностнойзадачи. Кроме того, в представлении погрешности нормальной аппроксимации Успенский впервые указал вид слагаемого порядка √1n , учитывающий разрывность исходной функции распределения.
Результат Успенскогобыл настолько совершенен, что он оставался лучшим до 10-х годов 21-говека. В главе 1 дается его сравнение с результатом С.В. Нагаева и В.И. Чеботарева, опубликованным в 2011 г. [8].Целью предлагаемой работы является проверка непростого доказательства Успенского, и получение более подробного доказательства с необходимыми уточнениями. Такое исследование актуально как с точки зренияматематики, так и с точки зрения приложений, учитывающих погрешностьпри замене вероятности попадания рассматриваемых сумм случайных величин в какое-либо множество на вероятность того, что соответствующаянормальная случайная величина попадет в это множество.91Предельные теоремы в схеме независимыхиспытанийВведем следующие обозначения: Sn – число успехов в n независимых испытаниях, p – вероятность успеха в каждом испытании, q = 1 − p.Теорема 1.1 (интегральная теорема Муавра – Лапласа).
Пусть t1 < t2 .Тогда³´ Z t2Sn − nplim P t1 < √< t2 =ϕ(t) dt.n→∞npqt1Теорему 1.1 можно переформулировать в терминах функций распределения следующим образом.Теорема 1.2. Для любого вещественного t³ S − np´nlim P √< t = Φ(t).n→∞npqВ [7] Я.В. Успенский дал, с одной стороны, новое доказательство интегральной теоремы Муавра – Лапласа, а с другой, – представление вероят¢¡Rt−np< t2 в виде суммы интеграла t12 ϕ(t) dt с величинаминости P t1 < S√nnpqпорядка √1n и n1 . При этом величина порядка √1n выписана в явном виде, авеличина порядка n1 весьма точно оценена.10Теорема 1.3 [7, с. 130]. Пусть t1 < t2 , а θ1 , θ2 – дробные части чисел√√nq − t1 npq и np + t2 npq соответственно. Тогд൶ Z t2´Sn − npq − p ³ 00P t1 < √< t2 =ϕ(t) dt + √ϕ (t1 ) − ϕ00 (t2 ) +npq6 npqt1µ¶1(1/2 − θ1 ) ϕ(t1 ) + (1/2 − θ2 ) ϕ(t2 ) + R,+√npqгде R удовлетворяет неравенству|R| ≤√0.1809 + 0.2694|p − q|+ 0.9742 e−3 npq/2 ,npq(1.1)если выполнено условиеnpq ≥ 25.(1.2)На самом деле в работе Успенского вместо (1.1) утверждается, что|R| ≤√0.2 + 0.25|p − q|+ e−3 npq/2 .npqНиже показано (см.
лемму 2.19 и замечание 2.2), что коэффициент 0.25ошибочен.Пусть Z – индикаторная случайная величина с распределением11P(Z = 1) = p,P(Z = 0) = q,p + q = 1,(1.3)Z1 , Z2 , . . . , Zn – независимые копии случайной величины Z. ОбозначимZj − pXj = √,pqj = 1, . . . , n.Очевидно,nSn − np1 X=√Xj .√npqn j=1Обозначимα3 (p) = EXj3 .Легко видеть, чтоq−pα3 (p) = √ .pqИз теоремы 1.3 вытекаетТеорема 1.4. Пусть t – произвольное вещественное число, θ – дробная12√часть числа np + t npq. Тогдаn´³ 1 Xα3 (p)1/2 − θP √Xj < t = Φ(t) − √ ϕ00 (t) + √ϕ(t) + R,npqn j=16 nгде R удовлетворяет неравенству (1.1), если выполнено условие (1.2).Рассмотрим вопрос точности теоремы 1.4.
Обозначимn¯¯ ³ 1 X´¯¯Xj < t − Φ(t)¯,∆n (p) = max ¯P √xn j=1p2 + q 2β3 (p) = E|X1 |3 = √.pqВ силу неравенства Берри – Ессеена (2) существует такая постояннаяC0 , что при всех n и pβ3 (p)∆n (p) ≤ C0 √ ,nпричем вследствие работы К.–Г. Эссеена [9]√3 + 10C0 ≥ CE ≡ √= 0.409732 . . . .6 2πИз теоремы 1.4 следует, что при условии (1.2)∆n (p) ≤ maxt³ |q − p|6´ 11|ϕ (t)| + ϕ(t) √+ r,2npq0013(1.4)гдеr=√0.1809 + 0.2694|p − q|+ 0.9742 e−3 npq/2 .npqОбозначимp0 =4−√1023 + |q − p|E(p) = √,6 2π (p2 + q 2 )√= 0.418861 .
. . ,q 0 = 1 − p0 =10 − 2= 0.581138 . . . .2Заметим, чтоmax E(p) = E(p0 ) = E(q0 ) = CEp∈[0,1](см. также [8, с. 249–251]). Функция E(p) введена в [8] для p ∈ [0, 1/2]и названа функцией Эссеена, поскольку она, хотя и в других терминах,впервые появилась в работе этого известного шведского математика [9].Учитывая, что максимумы функций |ϕ00 (t)| и ϕ(t) достигаются в однойи той же точке t = 0, из (1.4) получаем√nn∆n (p) ≤ E(p) +r=β3 (p)β3 (p)´√1 ³ 0.1809 + 0.2694|p − q|√−3 npq/2= E(p)+ 2+0.9742 npq e≡ G(p, n).√p + q2npq√Таким образом, чем ближе max G(p, n) к CE , тем точнее оценка (1.4). Полоp,nжим, например, n = 200.
В силу условия (1.2) для p должно выполнятьсянеравенство pq ≥ 18 , т. е. 8p2 − 8p + 1 ≤ 1. Решением последнего неравен14√2− 24стваявляются все точки из промежутка p1 ≡= 0.1464 . . . ≤ p ≤ p2 ≡√2+ 2= 0.8535 . . . . Вычисления показывают (смотрите также рисунок 1),4чтоmax G(p, 200) = G(p3 , 200) = 0.47547 . . . ,p∈[p1 ,p2 ]где p3 = 0.37844 . . . .pРисунок 1 – График G(p, 200)Таким образом, из теоремы 1.4 вытекает, что при условии (1.2) справедливо неравенство√¯n¯∆n (p)¯≤ 0.47548.n=200β3 (p)В то же время в качестве следствия из работы [8] при менее ограничительных условиях, чем (1.2), следует более точная оценка√n∆n (p) ≤ 0.4215.β3 (p)152Доказательство теоремы 1.3Так же, как в [7], мы докажем сначала частный случай теоремы 1.3 вследующей форме.Теорема 2.1 [7, с. 129].
Пусть Sn – число успехов в n независимыхиспытаниях с вероятностью успеха p. Вероятность P выполнения неравенства√√np + 1/2 + a1 npq ≤ Sn ≤ np − 1/2 + a2 npq,границы которого являются целыми числами, может быть представлена в видеZa2P =a1´q − p ³ 0000ϕ (a1 ) − ϕ (a2 ) + R9ϕ(t) dt + √6 npqгде|R9 | ≤√0.1204 + 0.1776|p − q|+ 0.9742 e−3 npq/2 .npqДля доказательства этого утверждения нам понадобится 16 лемм.Обозначимf (t) = p eit + q16(2.1)– характеристическая функция бернуллиевого распредения.
Тогдаf n (t) = (p eit + q)n– характеристическая функция биномиального распределения с параметрами p и n. Автор доказал ряд неравенств для этих функций, которыемы соберем в лемме 2.2. Докажем сначала одно элементарное, хотя и неочевидное, неравенство.Лемма 2.1. При всех вещественных y справедливо неравенствоcos 2y − 16 cos y ≤ 6y 2 − 15.(2.2)Доказательство. Имеем∞(2y)2 (2y)4 X(2y)2jcos 2y − 16 cos y = 1 −(−1)j++−24!(2j)!j=3µ¶∞2jy2 y4 Xy− 16 1 −++(−1)j=24! j=3(2j)!2= 6y − 15 +∞Xj=32jj (2y)(−1)(2j)!− 16∞X(−1)jj=3y 2j.(2j)!Учитывая абсолютную сходимость этих рядов при всех y, можем сгруппировать слагаемые по своему усмотрению.
Например,∞X∞2jXj y(−1)=(2j)!j=3k=1µ¶y 2(2k+1)+2y 2(2k+1)+−.(2(2k + 1))! (2(2k + 1) + 2)!17Отсюда∞X∞2jXj y(−1)− 16(−1)=(2j)!(2j)!j=3j=3"#∞³´³´2(2k+1)2(2k+1)+2Xyy=− 22(2k+1) + 16 +22(2k+1)+2 − 16 .(2(2k + 1))!(2(2k + 1) + 2)!2jj (2y)k=1Чтобы убедиться в справедливости неравенства (2.2), достаточно показать,что2(2k+1)−2³´y22(2k+1)+2+ 16 +2− 16 ≤ 0,(2(2k + 1) + 1)(2(2k + 1) + 2)т.
е.¡ 2(2k+1)¢2−16(2(2k + 1) + 1)(2(2k + 1) + 2).y2 ≤22(2k+1)+2 − 16Так как правая часть последнего неравенства является возрастающей функцией по k ≥ 1, то само неравенство выполняется для y, удовлетворяющихусловиюy2 ≤56.5(2.3)Таким образом, оценка (2.2) верна, если выполнено условие (2.3). Сдругой стороны, эта оценка очевидна при y 2 ≥ 316 . Отсюда следует справедливость леммы.18Лемма 2.2. Справедливы следующие неравенства:2pq 2|f (t)| < e− π2|f (t)| ≤ et2 pq 4− pq2 t + 24 tpq 2|f (t)| ≥ e− 22 2t − p 4q t4при 0 < t < π,(2.4)при t2 ≤ 24,πпри t ≤ .2(2.5)(2.6)Кроме того, еслиnpq ≥ 25,(2.7)то¯ npqt4 t2¯2¯n− t2 npq ¯e− 2 npq при 0 ≤ t ≤¯<¯|f (t)| − e16s√3.npqДоказательство. 1.
Доказательство оценки (2.4). Во-первых,³t ´1/2|f (t)| = 1 − 4pq sin.22Так какln(1 − x) = −∞Xxjj=119j,x ∈ [−1, 1),(2.8)то´´j1 ³1X1³2 t2 tln |f (t)| = ln 1 − 4pq sin=−4pq sin,222 j=1 j2∞(2.9)если4pq sin2t< 1.2(2.10)Про это условие автор ничего не говорит, а ведь при p = 1/2 и t = π ряд вправой части равенства (2.9) расходится и его сумма равна ∞.
Но если0 < t < π,(2.11)то все в порядке. Отбрасывая в ряду из правой части (2.9) все слагаемые,кроме первого, получаем оценку|f (t)| < e−2pq sin2(t/2).(2.12)Так какsin(t/2) > t/π,если выполнено условие (2.11), то оценка (2.4) доказана.20(2.13)2. Доказательство оценки (2.5). Так какt3 ³ t5 t7 ´ ³ t9t11 ´t3sin t = t − +−+−+ ··· > t − ,3!5! 7!9! 11!3!еслиt55!−t77!> 0, т.
е. если t2 < 42, тоtt3tsin > −2 2 48при³ ´2t2(2.14)< 42, т. е. приt2 < 168.Заметим, что в этом месте у автора появляется другое условие: t2 < 24.Оно необходимо чуть дальше: неравенство (2.14) эквивалентноtt2t4t6sin > −+,2448 4822еслиt2 ≤ 24.Тогдаt2t4tsin > −2448221и используя (2.12), получаем (2.5).3. Доказательство оценки (2.6). Используя (2.9), запишем ln |f (t)| в виде"´211³22 tln |f (t)| = − pqt + 4pq sin−222#µ³ ´¶ X∞³´jt 2t1t− 4pq− sin2+4pq sin2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
