Бориско (1223143)
Текст из файла
Министерство транспорта Российской ФедерацииФедеральное агентство железнодорожного транспортаФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕУЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ«ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»Кафедра "Высшая математика"К защите допуститьзав. кафедрой, д-р физ.-мат. наук, профессорП.В. Виноградова2015 г.О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ВИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ МУАВРА – ЛАПЛАСАБакалаврская работаВКР 010400.62.942Студент 942 гр.Е.В. БорискоРуководительПрофессорВ.И. ЧеботаревНормоконтрольЕ.П. СуляндзигаХабаровск–2015ANNOTATIONThe thesis is devoted to the proof of the brief asymptotic expansion in theMoivre – Laplace integral theorem with the error estimate in an explicit form,published by J.V.
Uspensky in 1937. The aim of the thesis is to verify of thisproof and to reproduce it in detail with necessary refinements.The relevance of the topic of the thesis is predetermined by the practicalimportance of the information on error estimates in cases of normal approximation.The proof of the brief asymptotic expansion in the Moivre – Laplace integraltheorem with the error estimate in an explicit form is given in the thesis in detailwith necessary refinements.During of checking the Uspensky proof some inaccuracies were found andcorrected. It is given a brief comparison of the J.V.
Uspensky result with anew achievement of S.V. Nagaev and V.I. Chebotarev in the considered field ofprobability theory.1РЕФЕРАТВыпускная квалификационная работа содержит 57 с., 2 рис., 11 источниковИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА – ЛАПЛАСА, КОРОТКОЕАСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ, ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ВЯВНОМ ВИДЕ, ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ СХОДИМОСТИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУОбъектом исследования является доказательство короткого асимптотического разложения в интегральной теореме Муавра – Лапласа с оценкойпогрешности в явном виде, опубликованного В.Я. Успенским в 1937 г.Цель работы – проверить доказательство, данное Успенским, и получить более детальное доказательство с необходимыми уточнениями.В настоящей работе получен детальный вывод короткого асимптотического разложения в интегральной теореме Муавра – Лапласа.
В ходе доказательства оценки скорости сходимости исправлены некоторые неточностив монографии Я.В. Успенского. Дано также краткое сравнение результатаВ.Я. Успенского с новым достижением в рассматриваемой области теориивероятностей, полученным С.В. Нагаевым и В.И. Чеботаревым.2СОДЕРЖАНИЕВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 Предельные теоремы в схеме независимых испытаний102 Доказательство теоремы 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Биография Я.В. Успенского . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 51ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ . . . . . 563ВВЕДЕНИЕИсторические сведения. Теория вероятностей — математическая дисциплина, в которой ярко проявляется взаимодействие теоретической и прикладной математики. Потребности демографии и страхового дела, азартные игры и оценки точности решений, рассеивание при артиллерийскойстрельбе – все это явилось источником задач, при решении которых былинайдены основы теории вероятностей как самостоятельной области математики.
Великий французский математик Пьер-Симон Лаплас (1749 − 1827)писал: «Теория вероятностей есть, в сущности, не что иное, как здравыйсмысл, сведенный к исчислению: она заставляет оценить с точностью то,что справедливые умы чувствуют как бы инстинктом, часто не умея отдатьсебе в этом отчета» [1, с. 28].Сейчас уже достаточно трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественногоизмерения возможности появления случайного события. Более или менееудовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал большого количествавремени и значительных усилий ряда поколений выдающихся исследователей. Долгое время исследователи ограничивались изучением разного родаигр, особенно игр в кости, так как их изучение позволяет ограничиватьсяпростыми и прозрачными математическими моделями.Американский математик Уоррен Уивер (1894 − 1978) писал: «Теориявероятностей и статистика – две важные области, неразрывно связанные снашей повседневной деятельностью» [2, с.
376-377].В настоящее время вероятностные методы широко применяются при решении большого числа экономических, инженерных, финансовых и естественно-научных задач.Важным толчком к развитию основных понятий теории вероятностейявились исследования Джона Граунта (1620 − 1675) и Вильяма Петти(1623−1687) по демографии [3, с. 32]. Их работы наглядно продемонстрировали, каким мощным орудием могут служить статистические наблюдениядля изучения массовых явлений, если их правильно обработать.4Огромное влияние на развитие теории вероятностей оказала идея, впервые высказанная и реализованная знаменитым швейцарским математикомЯкобом Бернулли (1654 − 1705): рассматривать не только точные решения задач теории вероятностей, но и их асимптотические постановки принеограниченном увеличении некоторого параметра.
В первую очередь следует указать на закон больших чисел в форме Я. Бернулли. Именно онпослужил источником для различного рода уточнений как в 18-ом веке,так и в последующие столетия.Книга «Искусство предложений» Я. Бернулли была тщательно изучена его племянником, математиком и юристом, Николаем Бернулли (1695 −1726).
В работе «О применении искусства предположений в вопросах прав»он изучал вопрос о вероятности дожития до определенного возраста. Наосновании долголетних регистраций рождений он отметил тот факт, чтомальчиков рождается больше, чем девочек. При этом отношение числарождений мальчиков к числу рождений девочек оказывается, как он считал, равным 18 : 17 [4, с. 415] .В своей книге «Доктрина шансов» Абрахам де Муавр (1667−1754), знаменитый английский математик французского происхождения, отметил,что для решения ряда задач теории вероятностей необходимо подсчитывать суммы членов биномиального распределения, и что вычисления становятся громоздкими и затруднительными при больших значениях числаиспытаний [4, с.
415]. В результате перед Муавром возник вопрос о поиске асимптотической формулы. Эта задача была им благополучно решена.Основная трудность, возникшая при этом, состояла в оценке факториала m! при больших значениях m. Он доказал, что m! ≈ mm+1/2 e−m B,где B ≈ 2.507, однако это его не удовлетворило, и ему хотелось связатьэту константу с ранее введенными в математику. Шотландский математик√Джеймс Стирлинг (1692 − 1770) показал, что B = 2π = 2.5066 . . . .Известную формулу Стирлинга для приближенного вычисления факториала в случае больших чисел, таким образом, следовало бы назвать формулой Муавра – Стирлинга. Использовав найденную им формулу, Муаврпервоначально выяснил, что в случае p = q = 1/2 средний член бинома21( 12 + 12 )n асимптотически равен √2πn, а затем доказал локальную= √2πnpq5теорему, названную его именем. Далее Муавр получил локальную теоремудля случая p 6= 1/2 фактически в принятом теперь виде [4, с.
415-417].Муавр также сформулировал интегральную теорему, правда, только длясимметричных границ. Муавр отметил, что интегральную теорему можноиспользовать и для оценки неизвестной вероятности p , т.е. для решенияобратной задачи – задачи математической статистики.Теорема Муавра о сходимости распределений центрированного и нормированного числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие A может наступить с одной и той же вероятностьюp , к нормальному распределению долгое время служила образцом для последующих обобщений. Первое обобщение принадлежит Лапласу. Оно формулируется как предельная теорема для сумм независимых случайных величин ξk , каждая из которых имеет дискретное равномерное распределениена отрезке[−a, a] с увеличивающимся числом возможных значений.
Тем самым давалась аппроксимация непрерывного распределения дискретным.Существенное продвижение исследований в этой же области связано сименем французского математика Симеона Дени Пуассона (1781 − 1840).Он рассмотрел схему последовательности независимых испытаний с разными вероятностями появления события A в каждом из испытаний. Для этогослучая Пуассон доказал локальную теорему. Здесь же он дал ошибочноеобобщение этой теоремы на суммы произвольных независимых случайныхвеличин, имеющих конечные дисперсии, при условии их центрированиясуммами математических ожиданий и нормирования квадратным корнемиз суммы дисперсий слагаемых [3, с.
233].Интерес к нормальному распределению в начале 19-го века возрос всвязи с появлением исследований французского математика Адриена МариЛежандра (1752 − 1833) и немецкого математика Карла Фридриха Гаусса(1777 − 1855). Второй толчок, который вызвал дополнительный интереск предельным теоремам теории вероятностей, была статистическая физика, начала которой были положены в середине 19-го века. Первый общийрезультат в этом направлении был сформулирован в 1887 г.
ПафнутиемЛьвовичем Чебышевым (1821 − 1894), выдающимся русским математиком и механиком, основоположником петербургской математической шко6лы, академиком Петербургской академии наук. Для доказательства этого утверждения Чебышевым был разработан метод, получивший названиеметода моментов и являющийся одним из самых крупных достижений науки того времени. Однако, в формулировке теоремы и ее доказательствебыл допущен ряд ошибок, которые исправил Андрей Андреевич Марков(1856−1922), не менее выдающийся русский математик, академик, внесшийбольшой вклад в теорию вероятностей, математический анализ и теориючисел.
Им была строго доказана несколько исправленная теорема Чебышева. Гениальный математик и механик Александр Михайлович Ляпунов(1857 − 1918) на протяжении 1900 − 1901 гг. обобщил эти результаты.Общность результатов Ляпунова произвела большое впечатление на математиков того времени. Тогда же и появился термин «центральная предельная теорема» для обозначения сходимости распределений нормированных сумм независимых случайных величин к нормальному закону.Многие ученые получили важные продвижения при изучении нормальной аппроксимации: финский математик Ярл Вальдемар Линдеберг (1922),американский математик Уильям Феллер (1934), советские математикиСергей Натанович Бернштейн (1927) и Александр Яковлевич Хинчин (1935),французский математик Поль Пьер Леви (1935) и др.Исследование вопроса сходимости вероятностных распределений к нормальному закону продолжаются и в наши дни.Об оценках погрешности в предельных теоремах.
Любое болееили менее сложное случайное явление формируется под влиянием большого количества факторов, которые, в свою очередь, являются случайными.В особенно важных частных случаях влияние этих факторов суммируется,и они являются независимыми.
Таковыми, например, являются результатывсех измерений. Точный расчет вероятностей, связанных с суммами дажевесьма небольшого числа случайных величин, представляет собой достаточно сложную задачу. Если же мы сумеем доказать, что при n → ∞¡ Pn¢справедливо соотношение Pξ<x→ F (x), то при больших знаk=1 k¡ Pn¢чениях n вместо Pk=1 ξk < x можно вычислять F (x). В этом состоитпрактическое значение предельных теорем.
Кроме того, приближение приобретает еще большую практическую ценность, если становится извест7ной погрешность этого приближения. Таким образом, возникает вопрос обоценке скорости сходимости распределения суммы случайных величин кпредельному распределению.В 1900 году А.М. Ляпунов в работе «Об одном предложении теориивероятностей» получил обобщение теоремы Муавра – Лапласа. Используяпреобразование Фурье, он разработал метод характеристических функций.Это позволило ему доказать центральную предельную теорему с оценкойпогрешности. Сформулируем теорему Ляпунова в случае одинаково распределенных слагаемых и при условии существования третьего момента.ОбозначимZ x1 −t2 /2ϕ(t) = √ e, Φ(x) =ϕ(t) dt.2π−∞Теорема (А.М.
Ляпунов, 1900). Пусть ξ, ξ1 , ξ2 , . . . , ξn – независимые одинаково распределенные случайные величины, Eξ = µ, Dξ = σ 2 ,E|ξ|3 = β3 < ∞. Тогда существует такая постоянная C, что при всехn≥1n¯¯ ³ 1 X´β3β3¯¯(ξj − µ) < x − Φ(x)¯ ≤ C 3 √ ln 3 √ .sup ¯P √σ n j=1σ n σ nx(1)Затем математики пытались убрать логарифмический множитель в правой части неравенства (1). Это удалось сделать только в 1941 году американскому математику А. Берри [5] и, независимо от него, в 1942 г. шведскому математику К.–Г.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
