Лесных (1219169), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дискретный сигнал представляет собой последовательность, элементы которой в точности равны соответствующим значениям исходного непрерывного сигнала (рисунок 1, б). Примером дискретного сигнала может быть последовательность импульсов с изменяющейся амплитудой – амплитудно-импульсно-модулированное колебание (рисунок 1, в). Аналитически такой дискретный сигнал описывается выражением

Интервал времени между соседними отсчетами называют интервалом Котельникова или интервалом Найквиста.

В соответствии с теоремой Котельникова вместо непрерывного сигнала с ограниченным спектром можно передавать дискретную последовательность значений , причем интервал дискретизации Т должен быть не более чем Если отсчеты взять слишком редко, то это может привести к грубым ошибкам. Практически все реальные сигналы имеют конечную длительность, и поэтому спектр их безграничен (см., например, рис. 2.1). Для таких сигналов оказывается невозможным указать значение частоты , выше которого спектр тождественно равен нулю. Это означает, что при любом значении интервала дискретизации последовательность дискретных отсчетов описывает исходный непрерывный сигнал с некоторой ошибкой. Величина этой ошибки определяется частью спектра сигнала, соответствующей частотам выше .

2.3 Дискретное преобразование Фурье

И дискретный спектр, и дискретный сигнал полностью описывают исходный непрерывный сигнал. Но для того, что бы найти дискретный спектр по заданному дискретному сигналу, надо проделать трудоемкие вычисления: сначала по дискретному сигналу восстановить непрерывный сигнал, затем с помощью преобразования Фурье найти непрерывный спектр, затем его дискретизировать. Непосредственный переход от дискретного сигнала к дискретному спектру и наоборот возможен с использованием дискретного преобразования Фурье.

Рассмотрим непрерывный сигнал конечной длительности с числом степеней свободы, равным N. Для этого сигнала можно записать разложение в ряд Котельникова:

С помощью преобразования Фурье найдем спектр этого сигнала:

Непосредственное вычисление интеграла в этой формуле — процедура трудоемкая. Однако это нетрудно сделать другим способом. Рассмотрим спектр , который определяется выражением

Применив к нему обратное преобразование Фурье, получим, что ему соответствует временная функция

Очевидно, справедливо и обратное соотношение

Применяя теорему о запаздывании, можно записать

Подставляя (3.2) в (3.1), получим окончательное выражение для спектра

Чтобы перейти к дискретному преобразованию Фурье, значения спектра в выражении (3.3) нужно вычислять не для всех значений частоты, а для дискретных (выборочных):

В результате получим окончательную формулу для ДФП

или

Одно из основных применений дискретного преобразования Фурье — это вычисление спектров функций, заданных графически или таблично. Дискретное преобразование Фурье можно применять при обработке экспериментальных данных, например в тех случаях, когда надо найти энергетический спектр по корреляционной функции сигнала [9].

Если входной сигнал имеет большую длительность, его обработку с помощью дискретного преобразования Фурье можно производить по частям. Для этого берут первые N отсчетов входного сигнала, вычисляют их дискретное преобразование Фурье и после умножения на частотную характеристику фильтра с помощью обратного дискретного преобразования Фурье вычисляют первые N отсчетов выходного сигнала. После этого аналогичным путем обрабатывают следующие N отсчетов входного сигнала и т. д. Для повышения точности обработки сигнала обрабатываемые серии отсчетов могут частично перекрываться.

Преимуществом такого метода обработки сигналов является отсутствие каких-либо ограничений на вид частотной характеристики фильтра. Например, частотная характеристика может быть идеальной прямоугольной формы, что невозможно реализовать с помощью обычных фильтров.

Обработку сигналов с помощью дискретного преобразования Фурье нельзя назвать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обычные цифровые фильтры, работающие в реальном масштабе времени, производят обработку сигнала непрерывно по мере его поступления, а вычисление выходного сигнала с помощью дискретного преобразования Фурье может быть произведено лишь после того, как станет известным полностью входной сигнал или хотя бы первая серия из N его отсчетов. Поэтому при использовании дискретного преобразования Фурье выходной сигнал может быть получен только с некоторым запаздыванием по отношению к входному сигналу. Однако в ряде практических применений такое запаздывание выходного сигнала не играет существенной роли, и тогда обработка сигналов с использованием дискретного преобразования Фурье оказывается целесообразной.

2.4 Быстрое преобразование Фурье

Недостатком дискретного преобразования Фурье является большое количество математических операций, которые необходимо произвести при применении формулы (2.4). Если число степеней свободы сигнала равно N, то для расчета по формулам дискретного преобразования Фурье необходимо выполнить умножений и сложений комплексных чисел — всего арифметических операций. При большем N такая обработка сигналов оказывается слишком трудоемкой [10].

Для облегчения вычисления дискретного преобразования Фурье применяют специальные алгоритмы, которые позволяют во много раз сократить объем необходимых вычислений. Такие алгоритмы называют быстрым преобразованием Фурье.

Существует несколько различных алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Каждый из них применяют в определенной ситуации, в зависимости от того, на какие множители может быть разложено число степеней свободы N. Наиболее простые алгоритмы получаются, если N является степенью числа 2. Рассмотрим один из таких алгоритмов, основанный на так называемом прореживании по времени.

Рисунок 2 – К выводу алгоритма БПФ

Пусть требуется вычислить дискретное преобразование Фурье числовой последовательности :

Поскольку число отсчетов сигнала N — четное, исходную последовательность можно разбить на две: куда войдут все с четными номерами, и , куда войдут все с нечетными номерами (рисунок 2), так что

Применим дискретное преобразование Фурье к последовательностям и и для сокращения записи обозначим ; при этом учтем, что последовательности и содержат по N/2 членов:

Конечной целью является вычисление значений . Учитывая, что все члены последовательности принадлежат или можно записать

Таким образом, значения можно вычислить по известным значениям и . Однако формула (2.5) справедлива только для , так как и не определены для больших значений . Поэтому для значения можно вычислить, используя свойство периодичности дискретного преобразования Фурье:

Учитывая, что = , получим окончательную расчетную формулу для при :

Процесс вычисления дискретного преобразования Фурье по формулам (2.5), (2.6) схематически изображен на рисунке 3 с помощью направленного сигнального графа. Здесь каждое из умножений на представлено в виде стрелки, под которой записан соответствующий множитель. Кружочки схематически обозначают сложение (вычитание), причем линия, отходящая от кружочка вправо вверх, соответствует сумме, а отходящая вправо вниз –разности двух значений, подводимых к кружочку слева.

Рисунок 3 – Замена восьмиточечного ДПФ двумя четырехточечными

Для вычисления значений и нужно выполнить два дискретных преобразования Фурье, однако число дискретных значений в каждом из этих преобразований оказывается в 2 раза меньше, чем в исходном преобразовании Фурье и равно . При этом для вычисления и необходимо выполнить по арифметических операций, и еще операций необходимо произвести в процессе расчетов значений по формулам (2.5), (2.6). Таким образом, общее число арифметических операций, необходимых для вычисления дискретного преобразования Фурье, будет равно , что при большом N оказывается значительно меньше, чем при вычислении по общей формуле дискретного преобразования Фурье (2.4).

Если число степеней свободы сигнала N является степенью числа 2, то число тоже будет четным. В этом случае для вычисления значений и вместо общей формулы дискретного преобразования Фурье можно применить алгоритм, аналогичный только что рассмотренному.

Процесс упрощения алгоритма расчета можно продолжать до тех пор, пока не останутся только простейшие двухточечные дискретные преобразования Фурье.

Характеристики

Список файлов ВКР