Анализ простой автоколебательной системы (1188436), страница 2
Текст из файла (страница 2)
å. ðåøåíèå óêîðî÷åííûõ óðàâíåíèé,ñîãëàñíî (22), èìååò â ýòîì ñëó÷àå âèäψ(τ ) = a0 e−nτ cos(τ + ϕ0 ) .(23)Ïðè ϕ0 = 0 è a0 = Vωc A0 (ñì. (7)) ýòî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóåò òî÷íîìó ðåøåíèþ (5) ïðè òåõ æåóñëîâèÿõ, ïîñêîëüêó ñ ïîìîùüþ (8) è (9) ïîëó÷àåì èç (5):rrµ gµ g µ g 211α1 α1 α2 22=t · cos t ω − µ1 gα = A0 · expωt · cos ωt 1 −ξ(t) = A0 · exp24 2ω2ω√VcVc1= A0 enτ cos τ 1 − n2 ≃ A0 enτ cos τ 1 − n2 ≃ A0 enτ cos τ =a0 enτ cos τ =ψ(τ ) ,2ωωò. å.
òî÷íîå ðåøåíèå (5), îïèñûâàþùåå ïðîöåññ íàðàñòàíèÿ êîëåáàíèé, ñîâïàäàåò ñ ïðèáëèæ¼ííûì ðåøåíèåì (23), êîãäà 12 n2 ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ 1, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ìåäëåííîñòèèçìåíåíèÿ (ýêñïîíåíöèàëüíîãî íàðàñòàíèÿ) àìïëèòóäû êîëåáàíèé, èñïîëüçîâàííîé ïðè ïåðåõîäå îò òî÷íûõ óðàâíåíèé (18) ê ïðèáëèæ¼ííûì óñðåäí¼ííûì óêîðî÷åííûì óðàâíåíèÿì(19).Òàêèì îáðàçîì, êàê ïîêàçûâàåò ðåøåíèå (23), àâòîêîëåáàíèÿ íå ñóùåñòâóþò, ïîêà áåçðàçìåðíàÿ àìïëèòóäà a êîëåáàíèé ãðóçà ìåíüøå áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè ëåíòû υ , ñëåäîâàòåëüíî,àâòîêîëåáàíèÿ ãðóçà íà äâèæóùåéñÿ ëåíòå ìîãóò áûòü òîëüêî òîãäà, êîãäà a ïðåâûñèò υ .
Âûÿñíèì òåïåðü, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ ìîãóò ñóùåñòâîâàòü óñòîé÷èâûå àâòîêîëåáàíèÿ ãðóçà íàäâèæóùåéñÿ ëåíòå.6Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ìåäëåííî ìåíÿþùàÿñÿ àìïëèòóäà a çàâèñèò, ñîãëàñíî ïåðâîìó óðàâíåíèþ (21), îò ìåäëåííîãî âðåìåíè θ, ãäå (ñì. (8) è (9))1θ = nτ = nωt = µ1 gα t ,2è, ïîñêîëüêó(24)da dθdada== n , òî óðàâíåíèå äëÿ a(θ) ïðèíèìàåò âèädτdθ dτdθr υ 2daυ,·H 1−=a−2 1−dθaa(25)çàâèñÿùèé óæå òîëüêî îò åäèíñòâåííîãî ïàðàìåòðà υ áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè ëåíòû.Óðàâíåíèå (25) ÿâëÿåòñÿ äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìèè, â ïðèíöèïå, ìîæåò áûòü ïðîèíòåãðèðîâàíî (ðåøåíèå áóäåò èìåòü âèä θ −θ0 = F (a), ãäå θ0 ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà àìïëèòóäà a(θ0 ) = υ ).
Îäíàêî, äëÿ íàõîæäåíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿàâòîêîëåáàíèé ïîëíîå ðåøåíèå íå òðåáóåòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ âîçìîæíîñòè àâòîêîëåáàíèé êîëåáàíèé ñ ïîñòîÿííîé àìïëèòóäîé íåîáõîäèìî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ da= 0, èëè (ñì.dθ(25))r υ 2a−2 1−= 0,aîòêóäà âîçìîæíûå àìïëèòóäû àâòîêîëåáàíèé äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:qq√√√√2a1 = 2 1 − 1 − υ ,a2 = 2 1 + 1 − υ 2 ,(26)êîòîðûå, êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè υ < 1, ò. å. (ñì. (10) è (6)) ïðè ñêîðîñòèëåíòû V < Vc .Ïðè υ > 1 ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (25) âñåãäà ïîëîæèòåëüíà (ñì. ðèñ. 3), ñêîðîñòü ðîñòààìïëèòóäû da> 0, ò. å.
àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà áóäåò â ïðèíÿòîé ìîäåëè íåîãðàíèdθ÷åííî âîçðàñòàòü (ðåàëüíî å¼ ðîñò îãðàíè÷èò íåëèíåéíîñòü ïðóæèíû èëè æå ìàÿòíèê ðàçðóøèòñÿ).dadθυaυèñ. 3. Ñêîðîñòü ëåíòû áîëüøå êðèòè÷åñêîé (υ> 1),íåîãðàíè÷åííûé ðîñò àìïëèòóäû.Ïðè ñêîðîñòè ëåíòû υ = 1 (V = Vc ), êàê âèäíî èç ðèñ. 4, âîçíèêàåò√ ïîëóóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë ñ áåçðàçìåðíîé àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ ñòðóíû a1,2 = 2 (ïðè êîòîðîé ñêîðîñòüðîñòà àìïëèòóäû îáðàùàåòñÿ â íóëü); ïðè ýòîì, åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ óìåíüøèòñÿ, òî> 0), à åñëè óâåëè÷èòñÿ, òî áóäåò ïðîäîëæàòü íåîãðàîíà áóäåò âîçâðàùàòüñÿ ê a1,2 (ò. ê.
dadθdaíè÷åííî âîçðàñòàòü, ïîñêîëüêó ñíîâà dθ > 0.Ïðè ñêîðîñòè ëåíòû υ < 1 (V < Vc ), êàê âèäíî èç ðèñ. 5, âîçíèêíåò äâà ïðåäåëüíûõ öèêëàñ áåçðàçìåðíûìè àìïëèòóäàìè êîëåáàíèé a1 è a2 , äàâàåìûìè âûðàæåíèÿìè (26). Ïðè ýòîì7dadθυabυ a1,2èñ. 4. Ñêîðîñòü ëåíòû ðàâíà êðèòè÷åñêîé (υ= 1),ïîëóóñòîé÷èâûé ïðåäåëüíûé öèêë.öèêë ñ àìïëèòóäîé a1 áóäåò óñòîé÷èâûì, òàê êàê ïðè óìåíüøåíèè àìïëèòóäû îò çíà÷åíèÿ a1> 0 è àìïëèòóäà íà÷í¼ò âîçðàñòàòü, à ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèñêîðîñòü ðîñòà àìïëèòóäû dadθòóäû îò a1 da<0èàìïëèòóäàíà÷í¼ò óáûâàòü.
Ïðåäåëüíûé öèêë ñ àìïëèòóäîé a2 áóäåòdθ< 0 è àìïëèòóäàíåóñòîé÷èâûì: ïðè óìåíüøåíèè àìïëèòóäû îò a2 ñêîðîñòü å¼ èçìåíåíèÿ dadθdaáóäåò ïðîäîëæàòü óìåíüøàòüñÿ äî çíà÷åíèÿ a1 , à ïðè óâåëè÷åíèè îò a2 , ò. ê. dθ > 0, àìïëèòóäàáóäåò ïðîäîëæàòü íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàòü).dadθυa1bbèñ. 5. Ñêîðîñòü ëåíòû ìåíüøå êðèòè÷åñêîé (υ(àìïëèòóäàa2 )aa2< 1),óñòîé÷èâûé (àìïëèòóäàa1 )è íåóñòîé÷èâûéïðåäåëüíûå öèêëû.Òàêèì îáðàçîì, óñòîé÷èâûå àâòîêîëåáàíèÿ ïðóæèííîãî ìàÿòíèêà ïîä âîçäåéñòâèåì äâèæóùåéñÿ ëåíòû âîçíèêàþò ïðè ñêîðîñòè ëåíòû V < Vc , ïðè ýòîì, ñîãëàñíî (7) è (26), àìïëèòóäà àâòîêîëåáàíèé ìàÿòíèêà äà¼òñÿ âûðàæåíèåì:v su 2uVc uVcV,a1 = t2 1 − 1 −A=ωωVcãäå õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü Vc îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (6). Çàâèñèìîñòü àìïëèòóäû àâòîêîëåáàíèÿ ãðóçà íà äâèæóùåéñÿ ëåíòå îò ñêîðîñòè ëåíòû èçîáðàæåíà íà ðèñ. 6.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1℄ ýëåé (Äæ.Â.
Ñòðåòò). Òåîðèÿ çâóêà. Ì.: îñóäàðñòâåííîå èçäàòåëüñòâî òåõíèêîòåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1955. Ò. 1. Ñ. 234235.8a=√ωAVc21001èñ. 6. Çàâèñèìîñòü íîðìèðîâàííîé àìïëèòóäûaVVcóñòîé÷èâîãî àâòîêîëåáàíèÿ ãðóçà íà ëåíòå îò ñêî-ðîñòè äâèæåíèÿ ëåíòûV.[2℄ Ñòðåëêîâ Ñ.Ï. Ìàÿòíèê Ôðîóäà.// ÆÒÔ, ò. 3 (1933), âûï. 4, ñ.
563.[3℄ Æóêîâñêèé Í.Å. Î äâèæåíèè ìàÿòíèêà ñ òðåíèåì â òî÷êå ïîäâåñà. Ì.: îñóäàðñòâåííîå èçäàòåëüñòâî òåõíèêîòåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1948. Ñîá. ñî÷., ò. 1. Ñ. 290.[4℄ Ìîèñååâ Í.Í. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû íåëèíåéíîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà, ëàâíàÿðåäàêöèÿ èçèêîìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1981.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
