Анализ простой автоколебательной системы (1188436)
Текст из файла
Àíàëèç ïðîñòîé àâòîêîëåáàòåëüíîé ñèñòåìûÁóëûãèí Â.Ñ.27 íîÿáðÿ 2012 ã.Àâòîêîëåáàíèÿìè íàçûâàþòñÿ íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ â íåëèíåéíîé äèññèïàòèâíîé ñèñòåìå, ïîääåðæèâàåìûå çà ñ÷¼ò ýíåðãèè âíåøíåãî èñòî÷íèêà, íî (â îòëè÷èå îò âûíóæäåííûõêîëåáàíèé) ïðè îòñóòñòâèè ïåðåìåííîãî âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ: íå òîëüêî ïåðèîä, íî è àìïëèòóäà êîëåáàíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñâîéñòâàìè ñàìîé ñèñòåìû è ñàìîñòîÿòåëüíî óñòàíàâëèâàþòñÿòàêèìè, ÷òî ïîñòóïëåíèå ýíåðãèè îò èñòî÷íèêà â òî÷íîñòè êîìïåíñèðóåò ýíåðãåòè÷åñêèå ïîòåðè â ñèñòåìå. Ïðèìåðàìè àâòîêîëåáàíèé ÿâëÿþòñÿ êîëåáàíèÿ òîêà â ëàìïîâîì èëè òðàíçèñòîðíîì ãåíåðàòîðàõ (ïèòàþùåå íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî), êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà èëè æå áàëàíñèðà â ìåõàíè÷åñêèõ ÷àñàõ (óñèëèå ïðóæèíû ïîñòîÿííî), çâó÷àíèå îðãàííîé òðóáû (ñêîðîñòüïîäà÷è âîçäóõà ïîñòîÿííà), êîëåáàíèÿ ñêðèïè÷íîé èëè âèîëîí÷åëüíîé ñòðóíû (ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñìû÷êà ïîñòîÿííà) è ò.
ï.Àíãëèéñêèé ó÷¼íûé Óèëüÿì Ôðóä (Ôðîóä) îáíàðóæèë, ÷òî åñëè ïîäâåñ èçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà òð¼òñÿ î ðàâíîìåðíî âðàùàþùèéñÿ âàë, òî, ðåãóëèðóÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âàëà, ìîæíîèëè óâåëè÷èâàòü àìïëèòóäó êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, èëè æå íåîãðàíè÷åííî äîëãî ïîääåðæèâàòüýòè êîëåáàíèÿ, ñäåëàâ èõ íåçàòóõàþùèìè. ýëåé îáúÿñíèë ýòî ÿâëåíèå òåì, ÷òî âçàèìíîåòðåíèå âàëà è ïîäâåñà ìàÿòíèêà óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì ñêîðîñòè èõ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ, ïîýòîìó êîãäà îíè äâèãàþòñÿ â îäíó ñòîðîíó ìàÿòíèê óâëåêàåòñÿ âàëîì ñèëüíåå, ÷åìòîðìîçèòñÿ ïðè ñâî¼ì äâèæåíèè â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè [1℄.Ìàÿòíèê Ôðóäà ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíûì ïðèìåðîì àâòîêîëåáàòåëüíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû,èññëåäîâàíèå åãî äâèæåíèÿ ïðîâîäèëîñü â ðàáîòàõ [2℄, [3℄.
àññìîòðèì áîëåå ïðîñòóþ àâòîêîëåáàòåëüíóþ ñèñòåìó ýòîãî òèïà, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé ïðóæèííûé ìàÿòíèê, ãðóç êîòîðîãîêàñàåòñÿ íàêëîííîé ëåíòû, ðàâíîìåðíî äâèæóùåéñÿ ñî ñêîðîñòüþ V~ (ñì. ðèñ. 1).kmV~xαξèñ. 1. Ïðóæèííûé ìàÿòíèê íà äâèæóùåéñÿ ëåíòå.Âûáåðåì íà÷àëî îòñ÷¼òà îñè x â êîíöå íåäåîðìèðîâàííîé ïðóæèíû, òîãäà 2é çàêîíÍüþòîíà äëÿ ìàÿòíèêà â ïðîåêöèè íà îñü x çàïèñûâàåòñÿ â âèäå:mẍ = −kx + mg sin α + µ(V − ẋ) · mg cos α1ãäå m ìàññà ãðóçà, k æ¼ñòêîñòü ïðóæèíû, µ(vîòí ) êîýèöèåíò òðåíèÿ, çàâèñÿùèé îòîòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè vîòí ëåíòû è ãðóçà.
Îòñþäà ïîëó÷àåì(1)ẍ + ω 2 x = g sin α + gα µ(V − ẋ)ãäå ω = k/m öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà è gα ≡ g cos α. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà x0 (V ) íà äâèæóùåéñÿ ëåíòå çàâèñèò îò å¼ ñêîðîñòè V è íàõîäèòñÿèç óðàâíåíèÿ (1), â êîòîðîì ñëåäóåò ïîëîæèòü ẍ = 0 è ẋ = 0, îòêóäàpx0 (V ) =g sin α + gα µ(V )g sin α + µ(V ) g cos α=.ω2ω2Ïåðåíåñ¼ì íà÷àëî îòñ÷¼òà ïîëîæåíèÿ ìàÿòíèêà â ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.
Äëÿ ýòîãî ââåä¼ìíîâóþ ïåðåìåííóþ ξ(t) = x(t) − x0 (V ), ïîñëå ÷åãî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà ïðèìåò âèä:hi˙ − µ(V ) .ξ¨ + ω 2 ξ = gα µ(V − ξ)(2) ðàáîòàõ [2℄, [3℄ äëÿ îáúÿñíåíèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àâòîêîëåáàòåëüíîãî ðåæèìà ìàÿòíèêà Ôðîóäà èñïîëüçîâàëàñü ïîëèíîìèàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ çàâèñèìîñòè êîýèöèåíòà òðåíèÿ µ îòñêîðîñòè, ñ ðîñòîì ñêîðîñòè ñíà÷àëà ïàäàþùàÿ, à çàòåì ðàñòóùàÿ. Êàê áóäåò ïîêàçàíî íèæå,àâòîêîëåáàíèÿ âîçíèêàþò è â áîëåå ïðîñòîé ìîäåëè, êîãäà äîñòàòî÷íî òîëüêî ïàäåíèÿ âåëè÷èíû êîýèöèåíòà òðåíèÿ ïðè óâåëè÷åíèè ñêîðîñòè è îíî ïðîèñõîäèò ïî ëèíåéíîìó çàêîíó(ñì.
ðèñ. 2).µ(v)µ0Vv−µ0èñ. 2. Çàâèñèìîñòü êîýèöèåíòà òðåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòèv = vîòí .Òàêèì îáðàçîì, ïðèíèìàåì:dµ > 0,µ1 = −dv v=0µ(v) = µ0 sgn(v) − µ1 v,ãäå çíàêîâàÿ óíêöèÿ(−1 ïðè x < 0 ,sgn(x) =+1 ïðè x > 0 .Òàê êàê sgn(x) = H(x) − H(−x) = 1 − 2H(−x), ãäå(0 ïðè x < 0H(x) =1 ïðè x > 0(3) óíêöèÿ Õåâèñàéäà (åäèíè÷íàÿ óíêöèÿ), òî äëÿ êîýèöèåíòà òðåíèÿ èìååì âûðàæåíèå:µ(v) = µ0 [1 − 2H(−v)] − µ1 v2îòñþäà, ñ ó÷¼òîì, ÷òî µ(V ) = µ0 − µ1 V (ñì. òàêæå ðèñ. 2), íàõîäèìhi˙ − µ(V ) = µ0 1 − 2H(ξ̇ − V ) − µ1 (V − ξ)˙ − (µ0 − µ1 V ) = µ1 ξ˙ − 2µ0 H(ξ̇ − V ) ,µ(V − ξ)è óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèäξ¨ − µ1 gα ξ˙ + ω 2 ξ = −2µ0 gα · H(ξ˙ − V ) =(0−2gα µ0ïðèïðèξ˙ < V ,ξ˙ > V .(4)Êàê ñëåäóåò èç ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêà ÿâëÿåòñÿ íåóñòîé÷èâûì (ò.
å.äâèæóùàÿñÿ ëåíòà âîçáóæäàåò êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ãðóç â íà÷àëüíûéìîìåíò âðåìåíè îòîø¼ë îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå A0 ( ò. å. ξ(0) = A0 ),˙˙ < V ) äâèæåíèå ãðóçà ïðè ñëàáîé= 0 è åù¼ íå î÷åíü áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ (ïîêà ξ(t)òî ïðè ξ(0)1çàâèñèìîñòè òðåíèÿ îò ñêîðîñòè (êîãäà 2 µ1 gα < ω ) ñîãëàñíî (4) îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì!rµ g 11 αt · cos t ω 2 − µ21 gα2 ,ξ(t) = A0 · exp(5)24ò. å. àìïëèòóäà êîëåáàíèé ìàÿòíèêà ýêñïîíåíöèàëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ ñî âðåìåíåì äî òåõ ïîð,˙ íå ñòàåò ïðåâûøàòü ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëåíòû V è â óðàâíåïîêà åãî ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ξ(t)íèè (4) óæå ñòàíåò ìåíÿòüñÿ ïðàâàÿ ÷àñòü.
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ íåóñòîé÷èâî è ïðè ñèëüíîéçàâèñèìîñòè òðåíèÿ îò ñêîðîñòè (êîãäà 12 µ1 gα > ω ), â ýòîì ñëó÷àå îòêëîíåíèå ãðóçà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ ìîíîòîííî (áåç êîëåáàíèé).Äëÿ ëó÷øåé îáîçðèìîñòè äàëüíåéøèõ âûêëàäîê ïðèâåä¼ì óðàâíåíèå (4) ê áåçðàçìåðíîìóâèäó. Ââåä¼ì õàðàêòåðíóþ ñêîðîñòüVc =2µ0=πµ122µ 0= dµ dπ π ln µ(v)dv v=0dvv=0(6)(íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî óñòîé÷èâûå àâòîêîëåáàíèÿ ñóùåñòâóþò ïðè ñêîðîñòè ëåíòû V <Vc ), áåçðàçìåðíóþ êîîðäèíàòóωψ= ξ(7)Vcè áåçðàçìåðíîå âðåìÿτ = ωt(8)Òàê êàê, ñîãëàñíî (7) è (8):dξ̇d2 ψξ¨ = ω= ωVc 2 ,dτdτdξVc dψVc dψ dτdψξ˙ ==== Vc,dtω dtω dτ dtdτω 2 ξ = ωVc ψ ,òî, ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (4), ïîñëå äåëåíèÿ íà ωVc ïîëó÷àåìd2 ψ µ1 gα dψ2µ0 gαdψ−+ψ =−· H Vc−V .dτ 2ω dτωVcdτÂâåä¼ì îáîçíà÷åíèå2n =òîãäà, ñ ó÷¼òîì (6),2µ0 gαωVcµ1 gα,ω−V=H= 2πn è ïîñêîëüêó H Vc dψdτυ=3VVc(9)dψdτ−VVc=Hdψdτ− υ ãäå(10) îáåçðàçìåðåííàÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ëåíòû, òî áåçðàçìåðíîå óðàâíåíèå êîëåáàíèé ìàÿòíèêàîêîí÷àòåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå (d2 ψïðè dψ0dψdψ<υdτ−2n+ψ=−2πn·H−υ=(11)dψdτ 2dτdτ−2πn ïðè dτ > υçàâèñÿùåì òîëüêî îò äâóõ ïàðàìåòðîâ: áåçðàçìåðíîé ñêîðîñòè ëåíòû υ è n ïîêàçàòåëÿâîçðàñòàíèÿ ñî âðåìåíåì τ àìïëèòóäû êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, ïîêà ñêîðîñòü ãðóçà dψíå ïðådτâîñõîäèò ñêîðîñòè ëåíòû υ .Óðàâíåíèå (11) ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íîëèíåéíûì äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì è ïîýòîìóìîæåò áûòü ðåøåíî òî÷íî: ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòè è ïðè ïðàâîé ÷àñòè, ðàâíîé −2πn, ñøèâàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû â ìîìåíòû âðåìåíè, êîãäà dψ= υ , ó ýòèõdτ(íàðåøåíèé ñîâïàäàëè ψ (ãðóç íå ìîæåò ìãíîâåííî èçìåíèòü ñâî¼ ïîëîæåíèå) è ñîâïàäàëè dψdτãðóç íå äåéñòâóþò áåñêîíå÷íûå (óäàðíûå) ñèëû, êîòîðûå ìîãëè áû ìãíîâåííî èçìåíèòü åãîñêîðîñòü).
Îäíàêî òî÷íîå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ òðóäíîîáîçðèìûì è ïîýòîìó ìû ïîëó÷èì ïðèáëèæ¼ííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11) ìåòîäîì ÂàíäåðÏîëÿ (ìåòîäîì ìåäëåííî ìåíÿþùèõñÿàìïëèòóä) [4℄. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (11) â îðìå d2 ψdψ(12),+ψ =f2dτdτãäåfdψdτdψ= 2n− 2πn · Hdτdψ−υdτ,(13)ò. å. âûäåëèì â óðàâíåíèè ÷àñòü, îïèñûâàþùóþ ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, à îñòàëüíûå ÷ëåíûóðàâíåíèÿ, ïåðåíåñ¼ííûå â ïðàâóþ ÷àñòü, áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ïðè÷èíó âîçìóùåíèÿ ÷èñòî ãàðìîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ; â îáùåì ñëó÷àå ïðàâàÿ ÷àñòü ìîæåò íåëèíåéíî çàâèñåòü è îòψ , è îò dψ.dτÁóäåì òåïåðü èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12) â âèäå êîëåáàíèÿ ñ ïåðåìåííîé àìïëèòóäîéè àçîé, âîçìóùàþùåé îñíîâíóþ ÷àñòîòó:ψ(τ ) = a(τ ) cos [τ + ϕ(τ )] = a(τ ) cos Φ(τ ) .(14)Ïðåäñòàâëåíèå îäíîé óíêöèè ψ(τ ) â âèäå êîìáèíàöèè äâóõ óíêöèé: a(τ ) è ϕ(τ ) ìîæíîñäåëàòü áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñïîñîáîâ, èç íèõ âûáèðàåì òàêîé, ÷òîáû ïðîèçâîäíàÿdψdadΦdadϕdϕda=cos Φ −a sin Φ =cos Φ − a sin Φ −a sin Φ =cos Φ −a sin Φ − a sin Φdτdτdτdτdτdτdτïðèíÿëà ïðîñòåéøèé âèä:dψ= −a sin Φ ,dτ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ:dϕdacos Φ −a sin Φ = 0.dτdτ(15)(16)Äèåðåíöèðóÿ (15) åù¼ ðàç, íàõîäèì:d2 ψdadΦdϕda= − sin Φ −a cos Φ = −sin Φ +a cos Φ − ψ ,dτ 2dτdτdτdτ÷òî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå (12), ñ ó÷¼òîì (15) äà¼ò:dadϕsin Φ +a cos Φ = −f (−a sin Φ) .dτdτ4(17)daàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (16) è (17) îòíîñèòåëüíî dτè dϕïîëó÷àåì ñèñòåìó äâóõ íåëèíåéíûõdτóðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêàda= −f (−a sin Φ) sin Φdτ(18) dϕ = − 1 f (−a sin Φ) cos Φdτaìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíóþ èñõîäíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà (12).
Ñëåäóÿ ìåòîäóÂàíäåðÏîëÿ, áóäåì ñ÷èòàòü òåïåðü a(τ ) è ϕ(τ ) ìåäëåííî ìåíÿþùèìèñÿ óíêöèÿìè (ïî÷òèíå èçìåíÿþùèìèñÿ çà ïåðèîä êîëåáàíèÿ) è óñðåäíèì óðàâíåíèÿ (18) ïî áûñòðîé ïåðåìåííîé Φda(îíà ïðîïîðöèîíàëüíà τ ), ñ÷èòàÿ ïðè óñðåäíåíèè a(τ ), ϕ(τ ), dτè dϕêîíñòàíòàìè. Óñðåäíåíèådτñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ âûðàæåíèå ïî Φ çà ïåðèîä (ðàâíûé â íàøåì ñëó÷àå 2π ) è äåëåíèþ ðåçóëüòàòà èíòåãðèðîâàíèÿ íà âåëè÷èíó ïåðèîäà, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿóêîðî÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìàÿòíèêà:da= FS (a)dτ(19) dϕ = 1 FC (a)dτaãäå ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ óñðåäí¼ííûõ çíà÷åíèé ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé (18):1FC (a) =2π2πZ1FS (a) =2π−f (−a sin Φ) cos Φ dΦ ,02πZ−f (−a sin Φ) sin Φ dΦ .0Çàìåòèì, ÷òî åñëè â òî÷íîé ñèñòåìå (18) èñêîìûå óíêöèè a(τ ) è ϕ(τ ) âõîäÿò â îáà óðàâíåíèÿè ýòè óðàâíåíèÿ íàäî ðåøàòü ñîâìåñòíî, òî óêîðî÷åííàÿ ñèñòåìà (19) ÿâëÿåòñÿ ðàñùåïë¼ííîéè å¼ óðàâíåíèÿ ìîæíî ðåøàòü ïîî÷åð¼äíî: ðåøèòü ïåðâîå óðàâíåíèå è íàéòè a(τ ), çàòåì åñëè íåäîñòàòî÷íî çíàíèÿ, êàê âåä¼ò ñåáÿ òîëüêî àìïëèòóäà ðåøèòü âòîðîå, íàéòè ϕ(τ ) è,òåì ñàìûì, íàéòè âñ¼ ïðèáëèæ¼ííîå ðåøåíèå (14).Ñîãëàñíî (13) èìååì:υ−f (−a sin Φ) = 2na sin Φ + 2πn · H(−a sin Φ − υ) = 2na sin Φ + 2πn · H − sin Φ −,aïîýòîìónaFC (a) =π2πZsin Φ cos Φ dΦ + n0= n2πZ0naFS (a) =π0υH − sin Φ −cos Φ dΦ =aυcos Φ dΦH − sin Φ −a2πZsin2 Φ dΦ + n0= na + n2πZ02πZ0Òàê êàê H − sin Φ −2πZυH − sin Φ −sin Φ dΦ =aυH − sin Φ −sin Φ dΦa= 0 ïðè a < υ , òî ýòè âûðàæåíèÿ ïåðåïèñûâàþòñÿ â âèäå:υυFC (a) = nFC1 (a) · H 1 −, FS (a) = na + nFS1 (a) · H 1 −,aaυa5(20)ãäå òåïåðü èíòåãðàëûFC1 (a) =2πZ0υH − sin Φ −cos Φ dΦ ,aFS1 (a) =2πZ0υH − sin Φ −sin Φ dΦaäîñòàòî÷íî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïðè a > υ .
Ïîñêîëüêó óíêöèÿ Õýâèñàéäà H − sin Φ − υaîòëè÷íà îò íóëÿ (è ðàâíà 1) ïðè − sin Φ > υa , ò. å. ïðè Φ ∈ (π + β, 2π − β), ãäå β = arcsin υa , òîFC1 (a) =2π−βZcos Φ dΦ = sin(2π − β) − sin(π + β) = 0 ,π+βFS1 (a) =2π−βZsin Φ dΦ = − cos(2π − β) + cos(π + β) =π+β= −2 cos β = −2q21 − sin β = −2r1− υ 2aè, ñîãëàñíî (19) è (20), óêîðî÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ êîëåáàíèÿ ãðóçà íàäâèæóùåéñÿ ëåíòå, èìååò âèä:q2da= na − 2n 1 − υa · H 1 − υadτ(21)dϕ=0dτÈç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (21) ñëåäóåò: ϕ(τ ) = ϕ0 = onst, òàê ÷òî, ñîãëàñíî (14), èñêîìîåðåøåíèå èìååò òåïåðü îðìóψ(τ ) = a(τ ) cos(τ + ϕ0 ) ,(22)ãäå àìïëèòóäà a(τ ) íàõîäèòñÿ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (21). Ïðè ìàëûõ àìïëèòóäàõ (a < υ, H == 0) ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ a(τ ) = a0 e−nτ , ò.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
