Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Схема Бернулли (1188227)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.СХЕМА БЕРНУЛЛИСамарова С.С.II курс, теория вероятностей, лектор А.В. Булинский, гр. 855СОДЕРЖАНИЕНЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА ............................................................................... 1ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ .................................................................................... 5СХЕМА БЕРНУЛЛИ ................................................................................................ 9ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................................

11ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ТАБЛИЦЫ ........................................................................... 14НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВАНеравенство Чебышева встречается в теории вероятностей в двух видах: для неотрицательных случайных величин и в общем виде, т.е. для случайных величин, которыемогут принимать значения разных знаков.Неравенство Чебышева (для неотрицательных случайных величин).

Пусть случайная величина ξ ≥ 0 и имеет конечное математическое ожидание ξ < ∞ . Тогда длялюбого ε > 0 выполнено неравенствоP(ξ ≥ ε) ≤ξεДоказательство. Представим случайную величину ξ в виде суммыξ = ξ1 + ξ2 ,гдеξ , если ξ ≥ ε,ξ1 = {0, если ξ < ε,иξ2 = {0 , если ξ ≥ ε,ξ, если ξ < ε.Поскольку случайная величина ξ ≥ 0 , то и ξ1 ≥ 0, и ξ2 ≥ 0. Тогда1ξ = ξ1 + ξ2 ≥ ξ1 ≥ ε ∙ P(ξ ≥ ε)Разделив это неравенство на ε > 0, получим неравенство Чебышева.Доказано.Неравенство Чебышева (в общем виде). Пусть случайная величина ξ имеет конечную дисперсию ξ < ∞ . Тогда для любого ε > 0 выполнено неравенствоP(|ξ − ξ| ≥ ε) ≤ξε2Доказательство. Из неравенства Чебышева для неотрицательных случайных величин получаем22)P(|ξ − ξ| ≥ ε) = P((ξ − ξ) ≥ ε(ξ − ξ)2 ξ≤= 2ε2εДоказано.Разберем несколько задач из задания на эту тему.Задача 1 (задание 7: а, д).

По известному «правилу трех сигм» вероятность отклоненияслучайной величины от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, мала. Найти P(|ξ − ξ| < 3√ξ), если ξ имеет:1) нормальное распределение с параметрами , σ;2) распределение Пуассона с ξ = 0,09.Сравнить результат с оценкой, полученной по неравенству Чебышева.Решение.1)Ранее (см. пособие для дистанционного занятия «Числовые характеристики случайных величин») для случайной величины ξ , распределенной нормально с параметрами , σ, мы вычислили математическое ожидание и дисперсию:ξ = , ξ = σ2 .Вычислим сначала точное значение вероятности P(|ξ − ξ| < 3√ξ).Для этого, воспользовавшись формулой плотности нормального распределения с параметрами , σξ () =1σ√2π⋅−(−)22σ2 ,получаемP(|ξ − ξ| < 3√ξ) = P(|ξ − | < 3σ) = P(−3σ < ξ − < 3σ) =2+3σ1= P( − 3σ < ξ < + 3σ) =σ√2π∫ −(−)22σ2−3σПосле замены в этом интеграле=−,σ =,σнаходимP(|ξ − ξ| < 3√ξ) =31√2π∫−22 =−32√2π3∫−22 0Для вычисления значений этого интеграла во всех учебниках и задачниках по теориивероятностей имеется таблица значений функции0 () =1√22∫ −  2 0В этом пособии такая таблица приведена в разделе «Вероятностные таблицы».

Используя эту таблицу значений для 0 () находимP(|ξ − ξ| < 3√ξ) = 20 () = 2 ∙ 0,4987 = 0,9984Теперь получим оценку данной вероятности по неравенству ЧебышеваP(|ξ − ξ| ≥ 3√ξ) ≤ξ1= ≈ 0,11119ξ 9⟹P(|ξ − ξ| < 3√ξ) ≥ 0,8889Результат, полученный с помощью вероятностных таблиц, входит в область, полученную с помощью неравенства Чебышева.2)Вычислим точное значение вероятности P(|ξ − ξ| < 3√ξ) для случайной величины, распределенной по закону Пуассона с математическим ожиданием ξ = 0,09.Для этого сначала найдем параметр λ данного распределения.

Как мы выяснили напрошлом вебинаре (см. пособие для дистанционного занятия «Числовые характеристики случайных величин»), числовые характеристики случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром λ , равныξ = λ ,ξ = λ .Поэтомуλ = 0,09;ξ = ξ = 0,09 .ТогдаP(|ξ − ξ| < 3√ξ)= P(|ξ − 0,09| < 0,9) = P(−0,9 + 0,09 < ξ < 0,9 + 0,09) =3= P(−0,81 < ξ < 0,99) = P(ξ = 0) = −0,09 = 0,9139Здесь мы воспользовались формулой для вероятности, с которой случайная величина, распределенная по закону Пуассона, принимает заданное значение −( = ) = !( = 0,1,2,3, … ).Найдем оценку для требуемой вероятности по неравенству Чебышева:P(|ξ − ξ| ≥ 3√ξ) ≤ξ1= ≈ 0,11119ξ 9⟹P(|ξ − ξ| < 3√ξ) ≥ 0,8889Видим, что точное значение вероятности входит в интервал оценки, полученный спомощью неравенства Чебышева.Стоит заметить, что в некоторых случаях улучшить неравенство Чебышева нельзя.Например, в задаче из задания 7 г) приведен пример случайной величины, для которойоценка, полученная по неравенству Чебышева, является точной.Задача 2 (задание 7 г).

Для случайной величины ξ с распределением( = 1) = ( = −1) =1,18( = 0) =8,9найти P(|ξ − ξ| < 3√ξ) и сравнить найденную вероятность с оценкой, полученной понеравенству Чебышева.Решение. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины ξ = 1 ∙118+ (−1) ∙+0∙ =018189 = 2 − ()2 = 2 = 1 ∙118 1+1∙+0∙ =18189 9ТогдаP(|ξ − ξ| < 3√ξ) = P(|ξ| < 1) = P(ξ = 0) =89Заметим, что неравенство Чебышева в этом случае превращается в равенство4P(|ξ − ξ| ≥ 3√ξ) ≤ξ1=9ξ 9⟹P(|ξ − ξ| < 3√ξ) = 1 −ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛДля последовательности случайных величин1 , 2 , … , , …часто требуется оценить средние арифметические1 + 2 + ⋯ + Одну из таких оценок даёт закон больших чисел.Закон больших чисел. Если у случайных величин1 , 2 , … , , …существуют дисперсии и существует предел1 + 2 + ⋯ + = 0,→∞2limто к случайным величинам1 , 2 , … , , …применим закон больших чисел, а именно, справедливо равенство1 + 2 + ⋯ + 1 + 2 + ⋯ + lim {|−| < } = 1→∞Усиленный закон больших чисел.

Если случайные величины1 , 2 , … , , …51 8=9 9одинаково распределены, попарно независимы и имеют конечное математическое ожидание 1 = , то выполнено равенство1 + 2 + ⋯ + = } = 1→∞ { limРешим задачу на эту тему.Задача 3 (задание 9). Пусть функция () непрерывна на 0 ≤ ≤ 1, а1 , 2 , … , , …– независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0,1] .Доказать, что при любом > 0 выполнено равенство1(1 ) + (2 ) + ⋯ + ( )lim {|− ∫ () | > } = 0→∞0Решение. Если ввести обозначение(1 ) + (2 ) + ⋯ + ( ) =то, используя свойства математического ожидания и дисперсии (см. пособие для дистанционного занятия «Числовые характеристики случайных величин»), находим1(1 ) + (2 ) + ⋯ + ( ) == (1 ) = ∫ () 0 =(1 ) + (2 ) + ⋯ + ( ) (1 )==21211= (∫ 2 () − (∫ () ) ) = ,00где112 = ∫ 2 () − (∫ () )00С помощью неравенства Чебышева получаем610 ≤ P (| − ∫ () | > ε) ≤0<ε2ε2Поскольку= 0,→∞ ε2limто по теореме о трех последовательностях заключаем, что1(1 ) + (2 ) + ⋯ + ( )lim {|− ∫ () | > } = 0→∞0Доказательство закончено.Задача 4 (задание 10).

Последовательности1 , 2 , … , , …и1 , 2 , … , , …образованы одинаково распределенными случайными величинами, независимыми внутрикаждой последовательности (случайные величины и могут быть зависимыми), = = , = < ∞, = 1, 2, …Выполняется ли закон больших чисел для последовательности1 , 2 , … , , …где2−1 = , 2 = , = 1,2, … ?Выполняется ли усиленный закон больших чисел?Решение.

Для любого > 0 обозначим,1 + 2 + ⋯ + = {: |− | ≥ } , = 1,2, …1 + 2 + ⋯ + = {: |− | ≥ } , = 1,2, …1 + 2 + ⋯ + + 1 + 2 + ⋯ + = {: |− | ≥ } ,, = 1,2, …+Тогда для любых натуральных чисел и выполнено включение ⋂ ⊂ ,7Действительно, пусть ∈ ⋂ . В этом случае1 + 2 + ⋯ + − | < − < 1 + 2 + ⋯ + < + {⟺ {1 + 2 + ⋯ + − < 1 + 2 + ⋯ + < + |− | < |Складывая неравенства, получаем( + ) − ( + ) < 1 + 2 + ⋯ + + 1 + 2 + ⋯ + < ( + ) + ( + )откуда вытекает неравенство1 + 2 + ⋯ + + 1 + 2 + ⋯ + |− | < +Значит, ∈ , .Следовательно, для любых натуральных чисел и также выполнено включение, ⊂ ∪ Теперь заметим, что1 + 2 + ⋯ + [+1] + 1 + 2 + ⋯ + []1 + 2 + ⋯ + |− | = |22+1[ 2 ] + [ 2]− |Поэтому{: |1 + 2 + ⋯ + − | ≥ } = [+1],[] ⊂ [+1] ∪ []2222а, значит, выполнено неравенство1 + 2 + ⋯ + {|− | ≥ } ≤1 + 2 + ⋯ + [+1]≤ {|2+1[ 2 ]1 + 2 + ⋯ + []− | ≥ } + { |[ 2]2− | ≥ }Поскольку к каждой из последовательностей { } и { } применим закон больших чисел,то каждая из вероятностей в правой части неравенства стремится к нулю при → ∞1 + 2 + ⋯ + lim { |− | ≥ } = 0→∞то есть к последовательности { } применим закон больших чисел.Теперь рассмотрим множество1 + 2 + ⋯ + = } =→∞ = {: ∄ lim8= {: ∃ > 0 ∀ ∃ > : |1 + 2 + ⋯ + − | ≥ }Как мы уже доказали ранее, множество ⊂ ∪ , где1 + 2 + ⋯ + [+1]2 = {: ∃ > 0 ∀ ∃ > : | = {: ∃ > 0 ∀ ∃ > : |+1[ 2 ]1 + 2 + ⋯ + [][ 2]2− | ≥ }− | ≥ }Поскольку к каждой из последовательностей { } и { } применим усиленный закон больших чисел, то () = () = 0.

Значит, и(С) ≤ ( ∪ ) ≤ () + () = 0Таким образом, к последовательности { } применим усиленный закон больших чисел.Решение задачи 4 завершено.СХЕМА БЕРНУЛЛИСхемой Бернулли (последовательностью испытаний Бернулли) называют серию независимых случайных экспериментов, в результате каждого из которых событие А можетлибо произойти с вероятностью p, либо не произойти с вероятностью = 1 − .Рассмотрим серию из n испытаний Бернулли и обозначим через количествоиспытаний, в результате которых событие А произошло.

Величину μ часто называютчислом «успехов» в n испытаниях Бернулли.Теорема Бернулли. Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А произойдет ровно k раз, выражается формулой Бернулли:(μ = ) = − , = 0,  1, … ,  При больших значениях n расчеты по формуле Бернулли затруднительны, поэтомуобычно используют приближенные формулы, полученные на основании предельных теорем для формулы Бернулли при → ∞.Теорема Пуассона. Если → ∞, → 0, а → λ, тоλ −λ(μ = ) →    ,! = 0,  1,  2, … ,  Другими словами, при малых значениях p и большом числе испытаний n справедлива формула (пуассоновское приближение):9(μ = ) ≈   λ −λ ,!где  λ = , = 0,  1,  2, … ,  Таблица значений функцииλ −λ! () =приведена в разделе «Вероятностные таблицы».При малых значениях q и большом числе испытаний n пуассоновское приближение дает возможность получить приближенное значение также и для вероятностей числа«неудач».Обычно пуассоновское приближение для вероятностей числа «успехов» используют в случае, когда n велико, а p является малым и выполнено неравенство: ≤ 10.В случае, когда n велико, а p и q не являются малыми ( ≥ 20), более точным,чем пуассоновское приближение, является нормальное приближение, полученное при помощи теорем Муавра-Лапласа.Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций