Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Схема Бернулли (1188227), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если p постоянно и существует С > 0 такое, что| − √|≤(1)то( = ) = 1√2− (−)22(1 + (1√))при→∞равномерно по всем k, для которых выполнено неравенство (1).Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если p постоянно, то ( ≤ − √ ≤ ) → 1√22∫ − 2 при→∞равномерно по a, b.Для практических вычислений используют следующие приближенные формулы:( = ) ≈ 1√⋅( − √) ,10где () =1√2− 22 ( ≤ − √где Φ() = ≤ ) ≈ () − () ,1√22∫ − 2 (2)− ∞В разделе «Вероятностные таблицы» приведена таблица значений функции0 () =1√2∫− 22 0Для того чтобы с помощью этой таблицы вычислить значения функции (), используются следующие свойства:•если ≥ 0, то () = 0,5 + 0 (),•если < 0, то () = 0,5 − 0 ().ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 5.
В урне находятся 5 красных и 8 синих шаров. Один шар наудачу извлекается из урны и возвращается в неё 4 раза. Найти вероятность того, что при извлечении:3) красный шар появится ровно 3 раза;4) красный шар появится не менее 2-х раз.Решение. Поскольку перед каждым извлечением одного шара из урны в ней находятся 13 шаров, из которых 5 красных, то вероятность появления красного шара при каж5дом извлечении одна и та же и равна 13.По формуле для вероятности числа «успехов» в последовательности из 4 независи5мых испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании = 13 , получаем:•в случае 1)(μ4 = 3) =•435 384000⋅( ) ⋅( )=≈ 0,14131328561в случае 2)(4 ≥ 2) = (4 = 2) + (4 = 3) + (4 = 4) = 1 − (4 = 0) − (4 = 1) == 1−40 (5 0 8 45 1 8 31) ( ) − 4 ( ) ( ) ≈ 1 − (0,62)4 − 4 ⋅ 0,38 ⋅ (0,62)3 = 0,4913131313Ответ: 0,14;0,4911Задача 6.
При производстве микросхем на 1000 готовых изделий в среднем приходится 5 бракованных. Найти вероятность того, что в партии из 180 микросхем окажетсяровно 3 бракованных микросхемы.Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно выбранная микросхема является бракованной.
Вероятность этого события равна = 0,005. Найдем вероятностьтого, что при = 180 испытаниях Бернулли событие А произойдет ровно 3 раза.Поскольку в нашем случаеλ = = 180 ⋅ 0,005 = 0,9 < 10,то, воспользовавшись пуассоновским приближением, по таблице 3 значений функции (λ) =для λ = 0,9;λ −λ! = 3 находим(μ180 = 3) ≈ 0,04940Ответ: 0,0494.Задача 7. Какова вероятность того, что при 4500 бросаниях игральной кости 6 очков на ней выпадет от 710 до 810 раз?Решение. Пусть событие А состоит в том, что при бросании игральной кости на ней1выпало 6 очков.
Вероятность этого события равна = 6 . Найдем вероятность того, чтопри = 4500 испытаниях Бернулли событие А произойдет от 710 до 810 раз.Поскольку в этой задаче5 = 6 , = 750, = 625 > 20,то будем использовать приближенную формулу (2), полученную из интегральной теоремыМуавра-Лапласа:710 − 750 μ4500 − 750 810 − 750)=≤≤252525μ4500 − 750= (−1,6 ≤≤ 2,4) ≈25(710 ≤ μ4500 ≤ 810) = (≈ 0 (2,4) + 0 (1,6) = 0,4918 + 0,4452 = 0,937Ответ: 0,937.12Задача 8.
В поселке 7350 жителей. Один раз в сутки из поселка в город ходит поезд.Каждый житель поселка раз в неделю ездит в город на этом поезде, выбирая день для поездки случайным образом и независимо от других жителей поселка. Какой наименьшейвместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще, чем 1раз в 100 дней?Решение. Рассмотрим какой-нибудь день недели, например, понедельник. Пусть событие А состоит в том, что житель поселка решил поехать в город в понедельник. Вероят1ность события А не зависит от выбора жителя поселка и равна p = 7 .Обозначим буквой M число мест в поезде.
Для того, чтобы поезд в понедельник небыл переполнен, нужно, чтобы число жителей, выбравших понедельник для поездки, непревышало M. Другими словами, при = 7350 испытаниях Бернулли событие А должнопроизойти не более M раз.В соответствии с условием задачи необходимо, чтобы(μ7350 ≤ ) ≥ 0,99.Поскольку6 = ,7 = 1050, = 900 > 20 ,то можно воспользоваться приближенной формулой (2):(μ7350 ≤ ) = (μ73500 − 1050 − 1050 − 1050) ≈ () ≥ 0,99≤303030С помощью таблицы 2 для значений функции α , определяемой равенством α =+∞∫ − 22 ,αпри α = 0,01 находим0,01 = 2,326 .Следовательно, − 1050≥ 2,32630⇔ ≥ 1119,78Ответ: 1120.13⇔ ≥ 11201√2ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ТАБЛИЦЫТАБЛИЦА 1.
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ЛАПЛАСА Φ0 () =x00,00000,03980,07930,11790,15540,19150,22570,25800,28810,31590,34130,36430,38490,40320,41920,43320,44520,45540,46410,47130,47720,48210,48610,48930,49180,49380,49530,49650,49740,49810,49870,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,32,42,52,62,72,82,93,010,00400,04380,08320,12170,15910,19500,22910,26110,29100,31860,34380,36650,38690,40490,42070,43450,44630,45640,46490,47190,47780,48260,48640,48960,49200,49400,49550,49660,49750,49820,498720,00800,04780,08710,12550,16280,19850,23240,26420,29390,32120,34610,36860,38880,40660,42220,43570,44740,45730,46560,47260,47830,48300,48680,48980,49220,49410,49560,49670,49760,49820,498730,01200,05170,09100,12930,16640,20190,23570,26730,29670,32380,34850,37080,39070,40820,42360,43700,44840,45820,46640,47320,47880,48340,48710,49010,49250,49430,49570,49680,49770,49830,4988Сотые доли450,0160 0,01990,0557 0,05960,0948 0,09870,1331 0,13680,1700 0,17360,2054 0,20880,2389 0,24220,2704 0,27340,2995 0,30230,3264 0,32890,3508 0,35310,3729 0,37490,3925 0,39440,4099 0,41150,4251 0,42650,4382 0,43940,4495 0,45050,4591 0,45990,4671 0,46780,4738 0,47440,4793 0,47980,4838 0,48420,4875 0,48780,4904 0,49060,4927 0,49290,4945 049460,4959 0,49600,4969 0,49700,4977 0,49780,4984 0,49840,4988 0,498960,02390,06360,10260,14060,17720,21230,24540,27640,30510,33150,35540,37700,39620,41310,42790,44060,45150,46080,46860,47500,48030,48460,48810,49090,49310,49480,49610,49710,49790,49850,498912− ∫ 2 √2π 070,02790,06750,10640,14430,18080,21570,24860,27940,30780,33400,35770,37900,39800,41470,42920,44180,45250,46160,46930,47560,48080,48500,48840,49110,49320,49490,49620,49720,4979049850,498980,03190,07140,11030,14800,18440,21900,25170,28230,31060,33650,35990,38100,39970,41620,43060,44290,45350,46250,46990,47610,48120,48540,48870,49130,49340,49510,49630,49730,49800,49850,499090,03590,07530,11410,15170,18790,22240,25490,2852031330,33890,36210,38300,40150,41770,43190,44410,45450,46330,47060,47670,48170,48570,48900,49160,49360,49520,49640,49740,49810,49860,4990ТАБЛИЦА 2.
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ α , ОПРЕДЕЛЯЕМОЙ РАВЕНСТВОМα2+∞ − = 2 ∫√2π α1 0,001 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 3,0902 2,5758 2,3263 2,1701 2,0537 1,9600 1,8808 1,8119 1,7507 1,6954 1,644914ТАБЛИЦА 3. ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ (λ) =λ01234567λ01234567891011121314151617λ! −λ0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,904840,090480,004520,000150,818730,163750,016380,001090,000060,740820,222250,033340,003330,000250,000020,670320,268130,053630,007150,000720,000060,606530,303270,075820,012640,001580,000160,000010,548810,329290,098790,019760,002960,000360,00040,496590,347610,121660,028390,004970,000700,000080,000010,449330,359460,143790,038340,007670,001230,000160,000020,406570,365910,164660,049400,011120,002000,000300,000041,02,03,04,05,00,367880,367880,183940,061310,015330,003070,000510,000070,000010,135340,270670,270670,180450,090220,036090,012030,003440,000860,000190,000040,000010,049790,149360,224040,224040,168030,100820,050410,021600,008100,002700,000810,000220,000060,000010,018320,073260,146530,195370,195370,156290,104190,059540,029770,013230,005290,001930,000640,000200,000060,000020,006740,033690,084220,140370,175470,175470,146220,104450,065280,036270,018130,008240,003430,001320,000470,000160,000050,0000115.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
