Числовые характеристики случайных величин (1188225)
Текст из файла
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИНСамарова С.С.II курс, теория вероятностей, лектор А.В. Булинский, гр. 855СОДЕРЖАНИЕМАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ............................................................................................................. 3ДИСПЕРСИЯ. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ .............................................................. 5ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ .......................... 6КОВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ .................................................................................. 14ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ...................................................................................................................
15МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕСамыми важными числовыми характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание, имеющее смысл среднего значения, и дисперсия, характеризующая разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.Дадим определение математического ожидания для дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин.Определение 1.
Математическим ожиданием Eξ дискретной случайной величиныξ , принимающей значения x1 , x2 ,, xk ,, называют число, определяемое по фор-муле:Eξ = xk P ξ = xk ,(1)k =1если ряд в правой части формулы (1) сходится абсолютно.Замечание 1. Для математического ожидания случайной величины ξ также используют и обозначение Mξ , принятое, в основном, в отечественной литературе.Замечание 2. В случае, когда случайная величина ξ принимает конечное число значений x1 , x2 ,, xn с равными вероятностями, формула (1) превращается в среднее ариф-метическое возможных значений случайной величины ξ .Замечание 3. Физическая интерпретация математического ожидания дискретной случайной величины ξ заключается в следующем. Введем обозначения3pk = P ξ = xk ,ирассмотримp1 , p2 ,, pk ,x1 , x2 ,, xk ,системуматериальныхk = 1, 2,точекA1 , A2 ,, Ak ,смассами, расположенных в точках числовой оси с координатамисоответственно.
Тогда формула (1), записанная в виде xk p kk =1Eξ = pkk =1с учетом условияp1 + p2 +представляетA1 , A2 ,собой, Ak ,координату+ pk +центрамасс=1системыматериальныхточек.Определение 2. Математическим ожиданием Eξ непрерывной случайной величиныξ с плотностью распределения pξ ( x ) называют число+Eξ =−x pξ ( x ) dx ,(2)если интеграл в правой части формулы (2) сходится абсолютно.Теорема 1. Для случайного вектора ( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) , все компоненты которого яв-ляются дискретными случайными величинами со значениями( ξ1 , ξ 2 ,((1)( 2)( n), ξ n ) = xk1 , xk2 ,, xkn( x1 , x2 ,и произвольной функции n переменных fEf ( ξ1 , ξ 2 ,=k1 =1,k2 =1,ki = 1, 2,( i = 1, 2,, n), xn ) , имеет место равенство, ξn ) = f ( x( ) , x( ) ,1k1),2k2(n), xk n) P (ξ1(1)( 2)= xk1 , ξ 2 = xk2 ,kn =1при условии, что ряд в правой части формулы (3) сходится абсолютно.4(n), ξ n = xk n)(3)Теорема 2. Для непрерывного случайного векторараспределения pξ1 ,ξ2 , ,ξnf ( x1 , x2 ,( x1 , x2 ,( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) с плотностью, xn ) и произвольной функции n переменных, xn ) имеет место равенство(ξ1 , ξ2 , … , ξ ) = ∫ (1 , 2 , … , ) ξ1ξ2 ,…,ξ (1 , 2 , … , ) 1 … (4)при условии, что интеграл в правой части формулы (4) сходится абсолютно.Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:1) E ( C ) = C для любой случайной величины, принимающей единственное значениеС;2) E ( C ξ ) = C Eξ для любого числа ∈ и любой случайной величины ξ , имеющей математическое ожидание;3) E ( ξ + η ) = Eξ + Eηдля любых случайных величин ξ иη , имеющих матема-тические ожидания;4) E ( ξ η ) = Eξ Eη для любых независимых случайных величин ξ иη , имеющихматематические ожидания.ДИСПЕРСИЯ.
СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕОпределение 3. Дисперсией Dξ случайной величины ξ называют число, определяемое по формуле:Dξ = E ( ξ − Eξ )2(5)если математическое ожидание в правой части формулы (5) существует.Замечание. Использование свойств математического ожидания позволяет переписатьформулу (5) в эквивалентном виде:Dξ = Eξ − ( Eξ )22(6)Действительно,(Dξ = E ( ξ − Eξ ) = E ξ − 2ξ Eξ + ( Eξ )22= Eξ − 2 Eξ Eξ + ( Eξ ) = Eξ − ( Eξ ) ,22что и требовалось доказать5222)=Дисперсия случайной величины обладает следующими свойствами:1) Dξ 0 для любой случайной величины, имеющей дисперсию;2) D ( C ) = 0 для любой случайной величины, принимающей единственное значениеС;3) D ( C ξ ) = C Dξ для любого числа ∈ и любой случайной величины ξ ,2имеющей дисперсию;4) D ( ξ + η ) = Dξ + Dη для любых независимых случайных величин ξ иη , име-ющих дисперсии.()Определение 4.
Средним квадратическим отклонением σ ξ случайной величины ξназывают число, определяемое по формуле:σ (ξ) =DξВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОСНОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИННа примере основных распределений дискретных и непрерывных случайных величинпродемонстрируем приемы, наиболее часть применяемые для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайных величин.Задача 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей геометрическое распределение с параметром p(0 p 1) .Решение. Поскольку случайная величина ξ принимает значения 1, 2, 3, ... с вероятностямиpk = P ξ = k = p qk −1( k = 1, 2, 3, ) ,где q = 1 − p , то для подсчета математического ожидания ξ воспользуемся формулой(1):Eξ = k pk = k p qk =1k =1k −1= pk qk −1.(7)k =1Ряд в правой части формулы (7) представляет собой производную степенного ряда длясуммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем p, поэтому6Eξ = p q k k =1 = p q = p 1 = 1 .(1 − q )2 p1− q (8)2Перейдём к вычислению E ξ .
С этой целью выведем сначала формулу2Eξ = k (k − 1) pk + Eξ ,(9)k =2справедливую для случайных величин ξ , принимающих целые неотрицательные значения. Формулой (9) мы будем пользоваться далее неоднократно. Для того, чтобы получитьформулу (9), воспользуемся формулой (3):2Eξ =kk =12 pk =k =2k =1k =2 k (k − 1) pk + k pk = k (k − 1) pk + EξТеперь преобразуем ряд, стоящий в правой части получившейся формулы: k (k − 1) pk = pq k (k − 1)qk =2k −2k =2k = pq q = k =2 2 pq2q q 2 = pq ==,32p 1 − q (1 − q )откуда с помощью формулы (8) получаем равенство:2Eξ = k (k − 1) pk + Eξ =k =22qp2+1=p1+ qp.2Из формулы (6) находим дисперсию Dξ :Dξ = Eξ − ( Eξ ) =221+ qp2−1p2=qp2.После того, как дисперсия вычислена, среднее квадратическое отклонение случайнойвеличины ξ вычислить легкоσ (ξ) =Dξ =qp7Ответ:1Eξ =q, Dξ =pp2, σ (ξ ) =q.pЗадача 2. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей биномиальное распределение с параметромp(0 p 1) .Решение.1 способ.
Искомые характеристики можно вычислить непосредственно, используяформулу бинома Ньютона. Действительно, для дискретной случайной величины ξ , принимающей значения 0, 1, 2, 3, ..., n с вероятностямиpk = P ξ = k = Cn p q( k = 0,1, 2, 3,k n −kk, n) ,где q = 1 − p , то формуле (1) находим:Eξ =nn k pk = kk =0k =0k Cnk n−kp q( n − 1) !k n−k= np qk =1 ( k − 1) ! ( n − k ) != np Cnl −1 pl q(n −1) −l k !( n − k ) ! p k q n − k=k =1nn −1k n!n=nn Cnk−−11 p k q n−k(10)k =1= np ( p + q )n −1= np .l =0Теперь найдем Dξ , действуя аналогично тому, как это было сделано при решении задачи 1.
Посколькуnn k (k − 1) pk = k ( k − 1)k =2k =2k Cnk n−kp q( n − 2)!k n−k= n ( n − 1) p qk = 2 ( k − 2 ) !( n − k ) !n= n ( n − 1) p2n−2 Cnl −2 pl q(n − 2 ) −l=nk ( k − 1) n ! k !( n − k ) ! p k q n − kk =2= n ( n − 1)= n ( n − 1) pn Cnk−−22 p k q n−kk =22( p + q )n−2 = n ( n − 1) p 2 ,l =0то из формул (9) и (10) получаем:2Eξ = k (k − 1) pk + Eξ = n ( n − 1) p 2 + np = ( np )k =282+ npqТеперь по формуле (6) находим дисперсию Dξ :Dξ = Eξ − ( Eξ ) = ( np ) + npq − ( np ) = npq .2222(13)Среднее квадратическое отклонение ξ равноσ (ξ) =Dξ =npq .2 способ. Для получения характеристик биномиального распределения часто используют другой, более изящный, способ, не требующий проведения большого количества выкладок.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
