Числовые характеристики случайных величин (1188225), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Этот способ заключается в следующем. Рассмотрим n независимых одинаковораспределенных случайных величин ξ1 , ξ 2 ,, ξ n , каждая из которых может прини-мать только два значения 0 и 1, причемP ξ k = 1 = p,P ξ k = 0 = 1 − p = q,k = 0,1, 2, 3,, n.Тогда случайная величинаξ = ξ1 + ξ 2 ++ ξnбудет иметь биномиальное распределение с параметром p.Действительно, ξ может принимать только значения 0, 1, 2, 3, ..., n. Выясним, с какойвероятностью принимается каждое из этих значений.Для этого заметим, что случайная величина ξ принимает значение k в том, и тольков том, случае, если k из n случайных величин ξ1 , ξ 2 ,случайных величин равны 0.ξ m1 , ξ m 2 ,, ξ n равны 1, а остальные n − kЧисло способов выбрать k случайных величин, ξ m k из n случайных величин ξ1 , ξ 2 ,k, ξ n равно Cn , причем вероят-ность того, что выбранные случайные величины ξ m1 , ξ m 2 ,, ξ m k равны 1, а осталь-ные равны 0, в силу их независимости равнаk n−kp q.Поэтому,pk = P ξ = k = Cn p qkk n −k( k = 0,1, 2, 3,, n).Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины9ξ1 :Eξ1 = 1  p + 0  q = p ;Dξ1 = Eξ 1 − ( Eξ1 ) = 1  p + 0  q − p = p − p = pq .22Случайные величины ξ 2 ,2222, ξ n будут иметь такие же характеристики, поскольку ониξ1 .имеют то же самое распределение, что иНайдем теперь Eξ и Dξ , используя свойства математических ожиданий и дисперсийслучайных величин:Eξ = E ( ξ1 + ξ 2 ++ ξ n ) = Eξ1 + Eξ 2 +Dξ = D ( ξ1 + ξ 2 ++ ξ n ) = Dξ1 + Dξ 2 +Ответ:Eξ = np, Dξ = npq, σ ( ξ ) =+ Eξ n = nEξ1 = np ;+ Dξ n = nDξ1 = npq .npq .Задача 3.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей распределение Пуассона с параметромλ( λ  0) .Решение. Случайная величина ξ принимает значения 0, 1, 2, 3, ... с вероятностямиpk = P ξ = k =λkk!−λk = 0,1, 2, 3,e ,,поэтому по формуле (1) c учетом разложения в ряд Тейлора функции f ( λ ) = e полуλчаем:Eξ =  k  pk =  k k =0= λe−λk =0λλke−λ=e−λk!λk ( k − 1) ! =k =1m m ! = λ  e−λ  eλ = λ .m=0Кроме того,k =2k =2λk k (k − 1) pk =  k (k − 1)  k ! e2 −λ=λ eλm m ! = λ 2e− λ  eλ = λ 2 .m =010−λ=e−λλk ( k − 2 )! =k =2(11)Воспользовавшись формулой (9), с учетом формулы (11) получаем:2Eξ = k (k − 1)  pk + Eξ = λ 2 + λ.k =2Отсюда по формуле (6) находим дисперсию Dξ :Dξ = Eξ − ( Eξ ) = λ + λ − λ = λ .2222Среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ равноσ (ξ) =Ответ: Eξ = λ, Dξ = λ, σ ( ξ ) =Dξ =λ.λ.Задача 4.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей равномерное распределение на отрезке а, b  .Решение. Для вычисления математического ожидания Eξ воспользуемся формулой(2), в которую подставим плотность равномерного распределения на отрезке а , b :+Eξ =x pξ ( x ) dx =−baxb−axdx =b22 (b − a )=a+b2a2Вычислив E ξ по формуле (4),+2Eξ =x pξ ( x ) dx =2−bax2b−adx =xb33 (b − a )2=a + ab + b3aнаходим дисперсию Dξ по формуле (6):Dξ = Eξ − ( Eξ ) =222a + ab + b2−( a + b )234=( a − b )212Среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ равноσ (ξ) =Dξ =b−a2 311..2,a+bОтвет: Eξ =, Dξ =( b − a )22b−a, σ (ξ ) =12.2 3Задача 5.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей показательное распределение с параметромλ( λ  0) .Решение. Подставляя в формулу (2) плотность показательного распределения с пара-метромλ 0− λxλ  ep ( x) = при−   x  0,при0  x  +.найдем математическое ожидание Eξ+Eξ =x pξ ( x ) dx =−+λx e− λxdx = − x e− λx + +00+e− λxdx =0e− λx+( −λ ) 0=1λ2Теперь вычислим E ξ по формуле (4):+2Eξ =x pξ ( x ) dx =2−=−2 x e2λx e− λx2dx = − x e− λx + 0+2λ+e− λxdx = −2e− λx + λ02=2λ0+00− λx + λ+2+0.Найдем дисперсию Dξ по формуле (6):Dξ = Eξ − ( Eξ ) =222λ2−1λ2=1λ2.Среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ равноσ (ξ) =Ответ: Eξ =1λ, Dξ =1λ2, σ (ξ ) =1λDξ =.121λ2x e− λxdx =Задача 6.

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ , имеющей нормальное распределение с параметрамиa, σ(σ  0) .Решение. Для того, чтобы найти математическое ожидание Eξ , подставим в формулуa, σ :(2) плотность нормального распределения с параметрами+Eξ =x pξ ( x ) dx =−+1σ 2π−( x − a )22σ 2xedx .−Сделав в полученном интеграле замену переменнойy=x−aσ 21dy =;σ 2(12)dxи воспользовавшись равенствами+ye−y2dy =e− y2+= 0,2−+e− y dy = π2(интеграл Пуассона),−−находимEξ =1π+ (yσ)2 +a e−− y2dy =σ 2π+ye− y2ady +π−+−e− y dy = a .2Для вычисления дисперсии Dξ используем формулы (5) и (4):+∞212ξ = (ξ − ξ) = ∫ ( − ξ) ξ () =−∞σ√2π+∞2 −∫ ( − ) (−)22σ2−∞Сделав в последнем интеграле замену переменной (12), получаемDξ =σ2 +π2 − y22y e−dy =2σ  − y eπ− y2+−++e− y2−Среднее квадратическое отклонение случайной величины ξ равноσ (ξ) =Ответ:Dξ = σ .Eξ = a, Dξ = σ , σ ( ξ ) = σ .213 2dy  = σКОВАРИАЦИЯ.

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИВ качестве числовых характеристик зависимости случайных величин используют ихковариацию и коэффициент их корреляции.Определение 5. Ковариацией случайных величин ξ и η называют число, определяемоепо формулеcov ( ξ , η ) = E ( ξ − Eξ )( η − Eη )(13)Замечание. Формулу (13) можно переписать в эквивалентном виде:cov ( ξ , η ) = E ( ξη ) − Eξ  Eη(14)Действительно, воспользовавшись свойствами математического ожидания случайныхвеличин, получаем:cov ( ξ , η ) = E  ξη − η  Eξ − ξ  Eη + Eξ  Eη == E ( ξη ) − 2 Eξ  Eη + Eξ  Eη = E ( ξη ) − Eξ  Eη,что и требовалось доказать.Ковариация случайных величин обладает следующими свойствами, выполненнымидля любых случайных величин, имеющих дисперсию:1) cov ( ξ , ξ ) = Dξ  0 ;2) cov ( ξ , η ) = cov ( η , ξ )3) cov ( С ξ , η ) = С cov ( ξ , η ) для любого числа ∈ ;4)D ( ξ + η ) = Dξ + Dη + 2 cov ( ξ , η ) ;5) если случайные величины ξ иη независимы, то cov ( ξ , η ) = 0 .6) справедливо неравенствоcov ( ξ , η ) Dξ  Dη .Определение 6.

Матрицей ковариаций случайного вектора (вают матрицу с элементами cov ξ i , ξ j( ξ1 , ξ 2 ,, ξ n ) назы-) .Матрица ковариаций обладает следующими свойствами, вытекающими из свойств ковариации двух случайных величин:1) матрица ковариаций является симметричной матрицей;142) матрица ковариаций неотрицательно определена;3) элементы, стоящие на главной диагонали матрицы ковариаций, неотрицательны.ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 7. Случайные величины ξ иη независимы. Случайная величина ξ распре-делена равномерно на отрезке  0, 6  , а случайная величинаη имеет показательное рас-пределение с параметром λ = 0,5 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины2ξ − η .Решение. Воспользовавшись свойствами математических ожиданий и дисперсий случайных величин, а также результатами задач 4 и 5, в которых вычислены характеристикиравномерного и показательного распределений, получим(2ξ − η) = 2ξ − η  =  2 ⋅(2ξ − η) = 4ξ +(−1)2(0 + 6)− 2 = 4;2(6 − 0)2⋅ η  =  4 ⋅+ 4 = 16.12Ответ: η = 4,  η = 16 .Задача 8.

Найти математическое ожидание и дисперсию числа бросаний игральнойкости до первого выпадения «шестерки».Решение. Пусть ξ ̶ случайная величина, равная числу бросаний игральной кости допервого появления «шестерки». Тогда ξ может принимать значения 1, 2, 3, ... Выясним,с какой вероятностью принимается каждое из этих значений. Для этого обозначим черезA i событие, состоящее в том, что при i-ом бросании выпадает «шестерка». Тогда вероятностьpk = P ξ = k = P  A1 A2= P ( A1 )  P ( A2 ) Ak −1 Ak  =1 5 P ( Ak −1 )  P ( Ak ) =   6 6k −1Таким образом, случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром p =16.

Воспользовавшись результатами задачи 1, получаемξ = 6,  ξ = 30 .15Ответ: ξ = 6,  ξ = 30 .Задача 8. Случайная величина ξ равномерно распределена на отрезке [0, 2π], а случайные величины 1 = cos ξ ,2 = sin ξ . Найти математические ожидания 1 ,η2 и ковариацию cov(η1 , η2 ). Являются ли случайные величины η1 и η2 независимыми?Решение. По формуле (2) математическое ожидание η1 равно+∞η1 = (cos ξ) = ∫ cos ξ () −∞Поскольку по условию случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке[0,2π], то ее плотность ξ () имеет вид1ξ () = { 2π0при ∈ [0,2π],при ∉ [0,2π].Поэтому2π1sin 2πη1 =∫ cos =| =0.2π2π 00Действуя аналогичным образом, находим η2+∞2π1cos 2π2 = (sin ξ) = ∫ sin ξ () = ∫ sin = −| =0.2π2π 0−∞0Теперь по формуле (14) вычислим ковариацию cov(η1 , η2 )cov(η1 , η2 ) = (η1 η2 ) − (η1 )(η2 ) = (cos ξ sin ξ)+∞2π1cos 2 2π= ∫ cos sin ξ () =∫ sin 2 = −| =04π8π 0−∞0Заметим, что из того, что ковариация случайных величин оказалась равной нулю, ещене следует, что они независимы, и случайные величины η1 и η2 как раз подтверждаютэтот факт.16Действительно,11√3√3 (η1 > , η2 < ) = (cos ξ > , sin ξ < )2222π32ππ5π= (ξ ∈ (0, ) ∪ ( , 2π)) = ∫ ξ () + ∫ ξ () =335π30=1 π π1∙( + ) = .2π 3 3311π5π1 (η1 > ) = (cos ξ > ) = (ξ ∈ (0, ) ∪ ( , 2π)) = .22333 ( η2 <π2π 4π5π√3√3) = (sin ξ < ) = (ξ ∈ (0, ) ∪ ( , ) ∪ ( , 2π)) =2233 33π34π32π= ∫ ξ () + ∫ ξ () + ∫ ξ () =2π305π31 π 2π π2∙( ++ )= .2π 3333Таким образом, мы получили, что11√3√3 (η1 > , η2 < ) ≠ (η1 > ) ∙ ( η2 < )2222В соответствии с определением независимости случайных величин заключаем, чтослучайные величины η1 и η2 не являются независимыми.Ответ: η1 = 0, η2 = 0, cov(η1 , η2 ) = 0, случайные величины η1 и η2 не являются независимыми.17.

Характеристики

Список файлов лекций