Характеристические функции. Центральная предельная теорема (1188223)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАСамарова С.С.II курс, теория вероятностей, лектор А.В. Булинский, гр. 855СОДЕРЖАНИЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ....................................................... 1ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ................................................................................................. 3ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ....................................................................................................................... 3ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫОпределение 1.

Пусть ξ − случайная величина, принимающая действительныезначения. Характеристической функцией случайной величины ξ называют функциюξ () = ξ ,∈.Для непрерывных случайных величин характеристическая функция выражается формулой+∞ξ () = ∫ ξ ()−∞и представляет собой преобразование Фурье от плотности распределения случайной величины ξ .Для дискретных случайных величин характеристическая функция выражается формулой+∞ξ () = ∑ (ξ = )=0где через 0 , 1 , … , , … обозначены все значения случайной величины ξ .1(1)Характеристическая функция случайной величины ξ обладает следующими свойствами:1.

ξ (0) = 1 ;2. |ξ ()| ≤ 1 ,∀ ∈ ;3. ξ () равномерно непрерывна на ;4. Для характеристической функции случайной величины η = ξ + , где и – константы, справедлива формулаη () = ξ ()5. Существует взаимно-однозначное соответствие между функциями распределенияслучайных величин и их характеристическими функциями.6. Если у случайной величины ξ существует математическое ожидание ξ , то еехарактеристическая функция ξ () дифференцируема раз и справедлива формула()ξ(0) = ξ .В частности,•если случайная величина ξ имеет математическое ожидание ξ, тоξ = −ξ′ (0);•если случайная величина ξ имеет дисперсию ξ, то2ξ = ξ2 − (ξ)2 = −ξ′′ (0) + (ξ′ (0))7.

Для независимых случайных величин ξ и η выполнено равенствоξ+η () = ξ () ∙ η ()8. Рассмотрим последовательность случайных величинξ1 , ξ2 , … , ξ , …с характеристическими функциямиξ1 (), ξ2 (), … , ξ (), …Если при каждом существует пределlim ξ () = () ,→∞причем функция () непрерывна в нуле, то существует случайная величина ξ , длякоторой функция () является характеристической функцией и для любого числа имеет место сходимость2(ξ < ) → (ξ < ) при → ∞.ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАЦентральная предельная теорема является одной из основных теорем курса теориивероятностей.Центральная предельная теорема.

Если случайные величиныξ1 , ξ2 , … , ξn , …независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию, то(гдеξ1 + ξ2 + ⋯ + ξ − σ√1< ) →√2π∫− 22 при → ∞ ,− ∞σ2 = ξ . = ξ ,ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1 [задание 11 б), в)]. Вычислить характеристические функции для:1) распределения Пуассона с параметром λ;2) нормального распределения с параметрами и σ.Решение.1) Пусть случайная величина ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ.Тогда ξ принимает значения 0,  1,  2, …(ξ = ) =   с вероятностямиλ −λ ,! = 0,  1,  2, …Найдем характеристическую функцию ξ+∞ξ () = ξ= ∑=0+∞(ξ = ) = ∑ +∞=0(λ )λ −λ = −λ ∑= −λ λ = λ( −1)!!=02) Пусть случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами(, σ), т.е.

ее плотность распределения имеет видξ () =1σ√2π3− (−)22σ2Рассмотрим случайную величинуη=ξ−σТогдаξ−η () = (η ≤ ) = (≤ ) = (ξ ≤ σ + ) = ξ (σ + );ση () = η′ () = ξ′ (σ + ) ∙ σ = ξ (σ + ) ∙ σ =21√2π −  2 .Значит, случайная величина η распределена нормально с параметрами (0, 1).Найдем характеристическую функцию η+∞η () = η= ∫ η () =−∞=+∞1√2π∫ − 22 (cos + sin ) =−∞√2π+∞1√2π∫ +∞1− 22∫2 −  2 =−∞cos +−∞√2π+∞∫ − 22sin −∞Заметим, что при каждом вследствие нечетности функции− 22sin интеграл+∞√2π2∫ −  2 sin = 0−∞Таким образом,η () =1√2π+∞∫2 −  2cos =−∞2√2π+∞2∫ −  2 cos 0Формально продифференцировав этот интеграл по параметру , получим−2√2π+∞2∫ −  2 sin 04Поскольку этот интеграл сходится равномерно, то по теореме о дифференцировании несобственного интеграла по параметру заключаем, чтоη′ () = −+∞2√2π2∫ −  2 sin 0Интегрируя по частям, получаемη′ ()=−+∞2√2π∫ − 22sin =02√2π− 22+∞sin |−02√2π+∞∫ − 22cos =0= −η ()С учетом свойства 1 составляем задачу Кошиη′ () = −η (),η (0) = 1,решение которой имеет видη () = − 22Применение свойства 4 позволяет найти характеристическую функцию случайной величины ξξ () = ησ+ () = η (σ ) = −Ответ: 1) ξ () = λ( −1); 2) ξ () = − 2 σ222 σ22Задача 2 [задание 12].

Являются ли следующие функции характеристическимифункциями и, если являются, то найти законы распределения, которым они соответствуют:1. () = cos 2 ;2. () = cos( 2 );3. () =12− .Решение.1. Преобразуем функцию ()5() = cos2 =1 111111+ cos 2 = ∙0 + (∙2 + ∙(−2) ) = ∙0 + ∙2 + ∙(−2)2 224244Воспользовавшись формулой (1), замечаем, что () является характеристической функцией дискретной случайной величины ξ , которая принимает три значения 0, 2, −2 с вероятностями(ξ = 0) =1;2(ξ = 2) =1;4(ξ = −2) =1.42.

Если функция () является характеристической функцией какой-нибудь случайной величины, то по свойству 3 функция () должна быть равномерно непрерывнойна .Покажем, что функция() = cos( 2 )не является равномерно непрерывной на . Для этого на языке кванторов запишем отрицание того, что функция () является равномерно непрерывной на :∃ ε > 0 ∶ ∀δ > 0 ∃ 1 , 2|1 − 2 | < δ→|(1 ) − (2 )| ≥ εНайдем точки, в которых () = 1:cos( 2 ) = 1 2 = 2π, = 0, 1, 2, … = √2π, = 0, 1, 2, …Найдем точки, в которых () = −1:cos( 2 ) = −1 2 = −π + 2π, = 1, 2, … = √−π + 2π, = 1, 2, …Для одного и того же значения обозначим61 = √2π и 2 = √−π + 2π ,тогда|(1 ) − (2 )| = |1 − (−1)| = 2 = ε|1 − 2 | = |√2π − √−π + 2π| =π√2π + √−π + 2π<√π→ 0 ( → ∞)√π√π<δ ↔ > 2δ√Следовательно,∃ ε = 2 ∶ ∀δ > 0 ∃ 1 = √2π, 2 = √−π + 2π ,π|(1 ) − (2 )| ≥ ε = [ 2 ] + 1, |1 − 2 | < δ →δТаким образом, () не является равномерно непрерывной на и поэтому не может бытьхарактеристической функцией.3.

Преобразуем функцию ()112() ==2−1− 2Поскольку|2|=1<12то по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно записать∞∞1 () = ∑ ( ) = ∑ +12 22=0=07Воспользовавшись формулой (1) для характеристической функции дискретной случайной величины, заметим, что функция () является характеристической функцией случайной величины ξ , которая принимает значения = 0, 1, 2, …с вероятностями(ξ = ) =12+1Решение задачи закончено.Задача 3 [задание 18].

Случайная величина ξλ распределена по закону Пуассонас параметром λ . Найтиlim (ξλ − λλ→∞√λ< ) ,∈Решение. Найдем характеристическую функцию случайной величиныηλ =ξλ − λ√λ=1√λξλ − √λДля этого воспользуемся формулой для характеристической функции случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром λ , полученной в задаче 1:ξλ () = λ( −1)По свойству 4 характеристических функцийηλ () = − √λ λ( √λ−1)− √λ+λ( √λ −1)=Найдем предел2− √λ+λ(√λ −1)lim η () = lim λ→∞λ− √λ+λ(= lim λ→∞λ→∞ 21− +( ))λ√λ 2λ− √λ+λ(1+= lim 1 1+ ( ) +(λ )−1)√λ 2 √λλ→∞= lim − √λ+√λ−λ→∞82+(1)2= lim −λ→∞2+(1)2= −22== η ()При решении задачи 1 мы установили, что, если характеристическая функция случайной величины η имеет вид2η () = −  2 ,то случайная величина η имеет нормальное распределение с параметрами (0, 1). Отсюдапо свойству 8 характеристических функций получаем2ξλ − λlim (< ) = (η < ) = ∫ −  2   = ()λ→∞√λ−∞Ответ:2() = ∫ −  2  −∞Задача 4 [задание 19].

Пусть ξ, ( = 1, 2, … , ) независимые случайные величины с одинаковой плотностью распределения () = λ −λ , ≥ 0, λ = const > 0Найти предельное распределение при → ∞ для случайной величиныξ = ξ1, + ξ2, + ⋯ + ξ,Решение. Найдем сначала характеристическую функцию случайной величины ξ,+∞+∞+∞ξ, () = ξ, = ∫ () = ∫ λ −λ = λ ∫ (−λ) =−∞0+∞ (−λ)= λ| − λ 0=−0λ=1− − λ − λПоскольку случайные величины ξ, независимы и одинаково распределены, то сучетом свойства 7 характеристических функций получаемξ () = ξ1,+ξ2,+⋯+ξ, () = ξ1, () ∙ ξ2, () ∙ … .∙ ξ, () = (ξ, ()) = (1 −9) − λНайдем характеристическую функцию предельного распределенияlim ξ () = lim (1 −→∞→∞) = lim ln (1 − −λ) = lim − −λ = λ→∞→∞ − λХарактеристическая функция() = λявляется характеристической функцией дискретной случайной величины ξ , которая при1нимает единственное значениес вероятностью 1.λОтвет: Предельное распределение – это распределение случайной величины ξ , которая принимает единственное значение1с вероятностью 1.λОпределение 2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций