Характеристические функции. Центральная предельная теорема (1188223), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть случайные величиныξ1 , ξ2 , … , ξ , … независимы и имеютнормальное распределение с параметрами (0, 1). Распределение случайной величиныχ2 = ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2называют распределением χ2 (хи-квадрат) с степенями свободы.Задача 5 [задание 20].1.Доказать, что для любого ε > 0 выполненоχ2lim (|− 1| > ε) = 0→∞2.Найтиlim (χ2 − χ2→∞√χ2≤ ) ,∈Решение.1. Найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин ξ2ξ12 =+∞1√2π=−ξ14 =1√2π∫2 2 −  2  =−−∞1√2π+∞∫−∞− 22|+∞+−∞2 4 −  2  √2π√2π−∞∫ − 22  =1−∞1√2π102∫ (−)−  2   =+∞1=−+∞1+∞2∫ 3 (−)−  2   =−∞=−1√2π2 3 −  2 |+∞+−∞+∞1√2π2∫ 3 2 −  2   = 3−∞ξ2 = ξ4 − (ξ2 )2 = 2Поскольку существует пределξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ22lim= lim 2 = 0 ,2→∞→∞ то к последовательностиξ12 , ξ22 , …применим закон больших чисел, поэтомуξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2lim {|−| < } = 1→∞lim {|→∞ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2− 1| ≥ } = 0Доказано.2.

Поскольку ξ1 , ξ2 , … , ξ , … независимы и одинаково распределены, тоχ2 = (ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2 ) = ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2 = ξ12 = χ2 = (ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2 ) = ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2 = ξ12 = 2Применяя центральную предельную теорему, получаем(χ2 − χ2√χ22ξ12 + ξ22 + ⋯ + ξ2 − 1≤ ) = (< ) →∫ −  2 √2π√2√− ∞Решение задачи закончено.11при → ∞ ..

Характеристики

Список файлов лекций