Лекция №19-20. Конспекты к слайдам (1186400), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Применив формулу Байеса, получим функцию апостериорной плотности (13)

Тогда уравнение для максимальной апостериорной вероятности можно записать в следующем виде:

(14)

Слайд 11

Полученные соотношения для оценки скалярного параметра иллюстрируются графиками, представленными на рис. 2, где изображены зависимости априорной плотности вероятности , апостериорной плотности вероятности и плотности вероятности (функции правдоподобия) оцениваемого параметра.

Рисунок 2 – Типичные зависимости априорной плотности вероятности, апостериорной плотности вероятности и функции правдоподобия оцениваемого параметра

Пологий характер кривой априорной плотности вероятности характеризует весьма ограниченную априорную информацию об оцениваемом параметре. Информация существенно уточняется после проведения измерения, что отражается на графике плотности вероятности — пик становится существенно уже. Отметим, что при полном отсутствии априорных данных ( ) график апостериорной плотности вероятности по форме совпадает с графиком функции правдоподобия.

Слайд 12

1.4 Оценка параметров сигнала по методу максимального правдоподобия

Как упоминалось ранее, на практике обычно отсутствует информация об априорной плотности распределения параметров сигналов. В этом случае считают, что измеряемый параметр является случайной величиной с равномерным законом распределения.

При этом при использовании простой функции потерь, оценка сводится к нахождению максимума апостериорной плотности вероятности, что описывается выражением (14).

С учетом того, что при равномерном априорном распределении оцениваемого параметра

, (15)

получаем, что процедура нахождения оценки параметров сигнала сводится к решению уравнения

. (16)

Слайд 13

Напомним, что плотность вероятности , рассматриваемая как функция от оцениваемого информативного параметра , называется функцией правдоподобия.

Само уравнение (16) называется уравнение правдоподобия.

Иногда более удобно вместо функции правдоподобия рассматривать отношение правдоподобия

(17)

Ранее отношение правдоподобия возникало в результате решения задачи обнаружения сигнала.

Так как знаменатель выражения (17) не зависит от информативных параметров сигнала , то отношение правдоподобия можно использовать в уравнении правдоподобия вместо функции правдоподобия.

Тогда оценки максимального правдоподобия можно искать из эквивалентного уравнения

(18)

Слайд 14

1.5 Методы нахождения оценок максимального правдоподобия

Как упоминалось ранее, поскольку, как правило, отсутствует информация об априорном распределении измеряемых параметров, на практике обычно используются оценки максимального правдоподобия.

При этом задача нахождения оценки сводится к решению уравнения (15) или (18).

В результате прямого решения уравнения правдоподобия, получается некоторое правило , которое ставит в соответствие каждой наблюдаемой реализации сигнала оценку параметра.

В этом случае схему обработки сигнала в РЛС строят в соответствии с полученным правилом.

При этом схема обработки сигнала может лишь приближенно соответствовать полученному аналитически выражению.

В случае, когда не удается найти аналитическое решение уравнения правдоподобия, его решают численными методами. Случаю численного решения уравнения правдоподобия в аппаратуре соответствует многоканальное измерение параметра и применение дискриминаторов.

Слайд 15

1.6 Многоканальное измерение.

Уравнение правдоподобия получено как результат минимизации среднего риска (11), что равносильно максимизации апостериорной плотности вероятности или отношения правдоподобия.

Данный метод фактически является численным методом расчета точки максимума функции (или отношения) правдоподобия.

В случае многоканального измерения параметра весь диапазон возможных значений измеряемого параметра разбивается на достаточно малых интервалов, при этом середина каждого интервала соответствует информативному параметру , .

Далее для каждого значения находится значение функции (или отношения) правдоподобия .

В качестве оценки параметра берется , которому соответствует наибольшее значение функции правдоподобия .

Слайд 16

Схема обработки, соответствующая многоканальному измерению приведена на рисунке 3.

Рисунок 3 – Многоканальное измерение параметров сигнала

Слайд 17

1.7 Измерение при помощи дискриминаторов.

Уравнение правдоподобия (16) можно решать каким-либо итерационным методом, например, методом Ньютона.

Суть любого итерационного метода решения произвольного уравнения вида

(19)

заключается в том, что уравнение (19) приводится к виду

(20)

Выбирают некоторое начальное приближение и вычисляют последовательные приближения

, (21)

Итерационный процесс продолжается до достижения заданной точности.

Имеется много способов приведения уравнения (20) к виду (21).

В методе Ньютона функцию разлагают в ряд в точке с использованием лишь линейного члена разложения.

При этом уравнение (20) принимает вид

. (22)

или

. (23)

Слайд 18

Вычисленное таким образом значение информативных параметров принимают в качестве нового значения итерационной процедуры, и процесс вычисления повторяется.

Так как в рассматриваемой задаче оценивания функции

, (24)

а равенство нулю в (19) соответствует равенству , то получим максимально правдоподобный информативный параметр

(25)

Таким образом, оценка максимального правдоподобия может быть выражена через некоторое опорное значение , лежащее в окрестности , по формуле:

. (26)

или

(27)

Слайд 19

Устройство, выделяющее информацию о рассогласовании между оценкой параметра и его опорным значением, в радиоавтоматике принято называть дискриминатором.

Определим нормированный сигнал рассогласования, формируемый дискриминатором, выражением

(28)

Тогда оценка максимального правдоподобия может быть записана как

(29)

Как отмечалось, такая оценка формируется итерационно за многое количество шагов.

Если измеряемый параметр неизменен во времени, то оценка (29) со временем сойдется к истинному значению параметра.

Если же измеряемый параметр меняется во времени, то процедура (29) обеспечивает слежение за этим параметром.

Слайд 20

Обобщенная структурная схема следящего измерителя представлена на рис. 4.

Измеритель включает в себя фильтр-экстраполятор, вырабатывающий опорное напряжение, соответствующее прогнозируемому значению (априорной оценке ) измеряемого параметра, и дискриминатор.

В дискриминаторе формируется максимально правдоподобная оценка рассогласования между текущим и опорным значениями измеряемого параметра (оценка невязки).

Рисунок 4 – Обобщенная структурная схема следящего измерителя

Как видно из выражения (28) в дискриминаторе должны формироваться первая и вторая производные функции правдоподобия в опорной точке, а затем вычисляться их отношение. При этом обеспечиваются: нечетная симметрия и линейность дискриминационной характеристики (которая является зависимостью выходного напряжения дискриминатора от отклонения параметра) при малых рассогласованиях и независимость выходного напряжения дискриминатора от амплитуды принимаемого сигнала.

Слайд 21

Пример дискриминационной характеристики представлен на рис. 4.5г.

Рисунок 4.5 – Дискриминационная характеристика и ее формирование:
а – изменение модуля корреляционного интеграла,

б – первая производная корреляционного интеграла,

в – вторая производная корреляционного интеграла,

г – дисперсионная характеристика

Слайд 22

Часто участок, в пределах которого дискриминационная характеристика линейна, называется рабочим.

На том же рисунке приведены графики, иллюстрирующие изменения модуля функции правдоподобия и ее первой и второй производных от отклонения параметров.

При большом отношении сигнал—шум зависимость модульного значения функции правдоподобия от параметра рассогласования можно аппроксимировать квадратичной функцией (рис. 5а), первой производной — линейной функцией (рис. 5б), а второй производной — постоянным значением (рис. 5в).

Учитывая, что функция правдоподобия и ее вторая производная меняются примерно одинаково, хотя и имеют противоположные знаки, можно упростить дискриминатор, заменив отношение на . Модифицированный дискриминатор содержит два канала обработки входного сигнала: измерительный и опорный.

В измерительном канале формируется нечетная функция рассогласования.

Сигнал опорного канала используется для нормировки.

Довольно часто вычисление функции правдоподобия и нормировка (с помощью автоматической регулировки усиления) могут выполняться в общем тракте приемника. Также приближенно может вычисляться производная функции правдоподобия.

Характеристики

Список файлов лекций