Жмакин А.П. Архитектура ЭВМ (2006) (1186252), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Пусть А — делимое, В — делитель, С — частное, W — остаток.

Очевидно, при представлении чисел с фиксированной запятой как дробных, должно соблюдаться условие

|A|<|B| (3.29)

иначе С ≥ 1, что соответствует переполнению разрядной сетки.

Процесс деления двоичных чисел может быть сведен к последовательности вычитаний и анализа знаков получающихся остатков. Сформулируем словес­ный алгоритм деления следующим образом:

1. Вычетают из делимого делитель. Если знак разности 0, то деление невоз­можно в силу нарушения условия (3.29), и следует, установив OV = 1, за­вершить операцию; иначе в разряд целой части частного записывают О (в конце операции в этот разряд помещается знак частного).

2. Так как остаток (разность А-В) оказался отрицательным, восстанавли­вают остаток путем добавления делителя к остатку.

3. Сдвигают восстановленный остаток влево на один разряд.

4. Вычитают из сдвинутого остатка делитель; если полученная разность по­ложительна, то очередной цифрой частного становится 1, и следует перей­ти к п. 3; иначе очередная цифра частного — 0 и переходят к п. 2.

Пункты 2—4 повторяют столько раз, сколько цифр требуется получить в частном.

Пример 3.24

Деление дробных положительных чисел + (3/16):+(12/16) = +(1/4) = +(4/16) приведено на рис. 3.29.

3.9.1. Деление без восстановления остатка

Приведенный выше метод деления называется методом деления с восстанов­лением остатка. При получении отрицательного остатка на очередном шаге деления необходимо перед левым сдвигом восстановить остаток путем до­бавления к нему делителя. При этом для получения п -разрядного частного требуется в среднем 1,5и циклов сложения/вычитания.

Существует алгоритм деления без восстановления остатка, позволяющий корректировать отрицательные остатки без дополнительного цикла сложе­ния. Рассмотрим действия, производимые с остатками в цикле деления в за­висимости от полученного знака остатка (табл. 3.4).

Видно, что если на очередном шаге остаток получился отрицательный, его можно не восстанавливать, но на следующем шаге в этом случае нужно

вместо вычитания делителя из сдвинутого остатка добавить делитель к сдвину­тому остатку.

Действительно, если W - В < 0, то следует восстановление остатка и сдвиг восстановленного остатка влево (его удвоение) 2-(W-B + В). На сле­дующем шаге вычитаем делитель и получаем 2W-B . Тот же результат может быть получен, если сдвинуть невосстановленный остаток, но на следующем шаге вместо вычитания произвести добавление делителя: 2{W-B) + B = 2W-2B + B = 2W + B.

3.10. Арифметические операции с числами, представленными в формате с плавающей запятой

В таком формате число определяется значениями мантиссы и порядка:

N = m-q^p, (3.30)

где m — мантисса числа, р — порядок, q — основание.

Мантисса и порядок могут иметь свои знаки, причем знак мантиссы соответ­ствует знаку числа. Основание q может не совпадать с основанием системы счисления. При операциях с двоичными числами часто для расширения диа­пазона представления чисел выбирают q - 2^к, например, q = 16.

В машинном представлении формат числа с плавающей запятой (рис. 3.30) задается двумя полями— полем мантиссы m и полем порядка р, причем каждое поле имеет свой разряд знака. Значение порядка в формате числа не указывается — оно подразумевается одинаковым для всех чисел.

Мантисса и порядок представляются в формате с фиксированной запятой, причем обычно порядок — целое число со знаком (запятая фиксирована по­сле младшего разряда), а мантисса — правильная дробь (запятая фиксирована между знаковым разрядом и старшим разрядом модуля). С целью увеличения точности представления числа в заданном формате мантиссу представляют в нормализованной форме, когда старший разряд модуля мантиссы — не ноль (для прямых кодов). Действительно,

0,2364 10⁴ «0,0024 10⁶,

однако в последнем случае мантисса не нормализована и точность представ­ления числа — всего два десятичных разряда.

Существуют и другие форматы представления чисел с плавающей запятой. Так, стандарт IEEE¹, который, кстати, поддерживают (со)процессоры семей­ства х86(87) предусматривает числа с одинарной и двойной точностью.

Форматы представлены тремя полями:

□ s —знак числа;

□ е —характеристика;

□ m —мантисса.

Формат с одинарной точностью занимает 32-разрядное двоичное слово, при­чем знак s размещается в его старшем разряде, характеристика е — в сле­дующих 8 разрядах и, наконец, 23 младших разряда занимает мантисса т .

Порядок р, под который отводится один байт, может принимать значения в диапазоне +127. Характеристика в стандарте IEEE получается как порядок с избытком 127: е = р +127 . При этом характеристика всегда положительна, что упрощает выполнение арифметических операций.

Мантисса числа в стандарте IEEE нормализована и лежит в диапазоне

1≤ т < 2. Целая часть мантиссы всегда равна 1, поэтому значение целой части не хранится в формате числа, а подразумевается (т. н. "скрытая единица"). Дробная часть мантиссы хранится в 23 младших разрядах формата.

Формат с двойной точностью отличается длиной полей характеристики (11 битов с избытком 1023) и мантиссы (52 бита) и размещается в 64-раз­рядном двоичном слове.

Попробуйте самостоятельно оценить диапазон представления чисел в форма­тах IEEE. Подробности о выполнении операций с этими форматами можно посмотреть в [3, 12].

3.10.1. Сложение и вычитание

Ранее мы договорились, что алгебраическое вычитание легко свести к алгеб­раическому сложению путем замены знака второго операнда. Поэтому рас­смотрим процесс алгебраического сложения. Для уяснения принципа выпол­нения сложения чисел с плавающей запятой рассмотрим пример в десятичной системе.

Пример 3.25

Сложить два числа, представленные в формате с плавающей запятой:

Обратите внимание, мантиссы чисел нормализованы. Очевидно, прежде чем складывать мантиссы, требуется преобразовать числа таким образом, чтобы они имели одинаковые порядки. Выравнивание порядков можно выполнить двумя способами — уменьшением большего порядка до меньшего или уве­личением меньшего до большего (рис. 3.31).

В первом случае за разрядную сетку выходят старшие разряды сдвигаемой мантиссы и результат сложения оказывается неверным. Во втором случае при сдвиге теряются младшие разряды мантиссы, что не влияет на точность ре­зультата. Поэтому при выравнивании порядков всегда следует увеличивать меньший порядок до большего при соответствующем уменьшении мантиссы. Для выравнивания порядков следует определить разность порядков слагае­мых и сдвинуть мантиссу числа с меньшим порядком вправо на величину

этой разности. Если разность порядков превышает разрядность поля мантис­сы, то значение слагаемого с меньшим порядком может быть принята за 0, а результат суммирования будет равен слагаемому с большим порядком. После выравнивания порядков следует сложить мантиссы и определить в ка­честве порядка результата порядок любого из слагаемых (после выравнива­ния порядки слагаемых равны). Если при сложении мантисс возникает пере­полнение, то результат может быть исправлен путем сдвига мантиссы суммы на один разряд вправо и добавления единицы к порядку результата. Однако если в результате этого добавления произойдет переполнение раз­рядной сетки порядков, то результат окажется неверным — имеет место т. н. положительное переполнение: OV :=1 (рис. 3.32).

А = 0,96502-10⁺² Л = 0,96502 -10⁺²

В = 0,73005 10⁺¹ В = 0,07300 -10⁺²

С = 1,03802 • 10⁺² — переполнение мантисс!

С = 1,0380 • 10⁺³ — правильный результат

Рис. 3.32. Положительное переполнение

В результате алгебраического сложения мантисс результат может оказаться ненормализованным. Для нормализации результата необходимо сдвигат мантиссу результата влево до тех нор, пока в старшем значащем разряде не окажется цифра, отличная от 0 (в двоичной системе это 1), сопровождая каж­дый сдвиг уменьшением на 1 порядка результата (рис. 3.33). Этот процесс называется нормализацией результата.

A=0,24512-10^-8 В = -0,24392- 10~⁸

С = 0,00120 Ю^-8 =0,12000 10"¹⁰

Рис. 3.33. Положительное переполнение

В процессе уменьшения порядка при нормализации может оказаться, что мо­дуль порядка превысил максимальную величину, размещаемую в поле по­рядка. Этот случай называют отрицательным переполнением. Его можно из­бежать, оставив результат ненормализованным, однако принято считать, что сохранять ненормализованный результат в памяти недопустимо. Поэтому в случае отрицательного переполнения результат принимает значение "машин­ный ноль".

Итак, процедура алгебраического сложения чисел с плавающей запятой скла­дывается из следующих этапов:

1. Выравнивание порядков.

2. Алгебраическое сложение мантисс как чисел с фиксированной запятой.

3. Нормализация результата.

Алгоритм операции сложения с плавающей запятой представлен на рис. 3.34. Первая часть алгоритма — выравнивание порядков, представлена достаточно подробно, хотя можно предложить несколько различных способов реализа­ции этой процедуры (в зависимости от способа кодирования порядков, требо­вания к быстродействию и экономичности арифметического устройства). Ал­горитм алгебраического сложения мантисс (как чисел с фиксированной за­пятой) подробно обсуждался выше (см. разд. 3.4—3.6, рис. 3.3, 3.21, 3.22), поэтому в рассматриваемом алгоритме он представлен одним блоком. Нор­мализация результата приведена для случая представления чисел в прямом коде.

3.10.2. Умножение и деление

Положим

A=m_A ∙ q^pa ;

B=m_b ∙ q^pb

C=m_c ∙ q^pc

D=m_D ∙ q^pd

Тогда

C = AxB = (m_Axm_B)-q^PA+PB, т. е. m_c = m_Axm_B, p_c = p_A+p_B.

D = A + B = (m_A +m_B)-q^PA-PB, т. e. m_D =m_A + m_B, p_D=p_A-p_B.

Таким образом, умножение чисел с плавающей запятой сводится к двум опе­рациям (умножение мантисс и сложение порядков) над числами с фиксиро­ванной запятой, а деление — к делению мантисс и вычитанию порядков — также к двум операциям с фиксированной запятой, которые были подробно рассмотрены выше.

3.11. Арифметические операции над десятичными числами

^{3.11.1. Кодирование десятичных чисел}

При использовании в ЦВМ десятичные числа кодируются группой двоичных разрядов. Учитывая, что

Характеристики

Список файлов книги