Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

Отсюда^=2(l-VT^i)A, или^=2(1-7^)ДМожно привести и другие примеры использования соотношения(4.22). Но этот способ получения случайных чисел с заданнымзаконом распределения имеет ограниченную сферу примененияв практике моделирования систем на ЭВМ, что объясняется следу­ющими обстоятельствами: 1) для многих законов распределения,встречающихся в практических задачах моделирования, интеграл137(4.22) не берется, т. е.

приходится прибегать к численным методамрешения, что увеличивает затраты машинного времени на получе­ние каждого случайного числа; 2) даже для случаев, когда интеграл(4.22) берется в конечном виде, получаются формулы, содержащиедействия логарифмирования, извлечения корня и т. д., которыевыполняются с помощью стандартных подпрограмм ЭВМ, содер­жащих много исходных операций (сложения, умножения и т. п.), чтотакже резко увеличивает затраты машинного времени на получениекаждого случайного числа.Поэтому в практике моделирования систем часто пользуютсяприближенными способами преобразования случайных чисел, кото­рые можно классифицировать следующим образом: а) универсаль­ные способы, с помощью которых можно получать случайные числас законом распределения любого вида; б) неуниверсальные способы,пригодные для получения случайных чисел с конкретным закономраспределения [4, 46].Рассмотрим приближенный универсальный способ полученияслучайных чисел, основанный на кусочной аппроксимации функцииплотности.

Пусть требуется получить последовательность случай­ных чисел [у]} с функцией плотности fn(y), возможные значениякоторой лежат в интервале (а, Ь). Представим/,(у) в виде кусочнопостоянной-функции, т. е. разобьем интервал (а, Ь) на т интервалов,как это показано на рис. 4.14, и будем считать f4(y) на каждоминтервале постоянной. Тогда случайную величину TJ можно пред­ставить в виде г} = ак+щ*, где а*— абсцисса левой границы к-тоинтервала; rjk* — случайная величина, возможные значения которойрасполагаются равномерно внутри к-то интервала, т. е. на каждомучастке ctk-i-ak+i величина щ* считается распределенной равномерно.Чтобы аппроксимировать / ч (у) наиболее удобным для практическихцелей способом, целесообразно разбить (а, Ь) на интервалы так,чтобы вероятность попадания случайной величины г\ в любой ин­тервал (аь я*+0 была постоянной, т.

е. не зависела от номераинтервала к. Таким образом, для вычисления ак воспользуемсяследующим соотношением:Jfn(y)dy=\lm.(4.23)'кРис.138Алгоритм машинной реа­лизации этого способа полу­чения случайных чисел сво­дится к последовательномувыполнению следующих дей­ствий: 1) генерируется случай­ное равномерно распределен­ное число х, из интервала (О,4.14. Кусочная аппроксимация функции1); 2) с помощью этого числаплотностислучайным образом выбирается интервал (ак, ак+1); 3) генерируетсячисло х1+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу(ак, в/t+O» т. е. домножается на коэффициент (ak+l — ak)xi+1; 4) вычис­ляется случайное число yj=ak+{ak+i— ак)хм с требуемым закономраспределения.Рассмотрим более подробно процесс выборки интервала (ак,fljt+j) с помощью случайного числа х,. Целесообразно для этой целипостроить таблицу (сформировать массив), в которую предварите­льно поместить номера интервалов к и значения коэффициентамасштабирования, определенные из соотношения (4.23) для приве­дения числа к интервалу (а, Ь).

Получив из генератора случайноечисло х,-, с помощью этой таблицы сразу определяем абсциссу левойграницы ак и коэффициент масштабирования (ak+i —ak).Достоинства этого приближенного способа преобразования слу­чайных чисел: при реализации на ЭВМ требуется небольшое коли­чество операций для получения каждого случайного числа, так какоперация масштабирования (4.23) выполняется только один разперед моделированием, и количество операций не зависит от точ­ности аппроксимации, т. е. от количества интервалов т.Рассмотрим способы преобразования последовательности рав­номерно распределенных случайных чисел {xt} в последователь­ность с заданным законом распределения {у,} на основе предельныхтеорем теории вероятностей. Такие способы ориентированы наполучение последовательностей чисел с конкретным законом рас­пределения, т. е. не являются универсальными [29, 43]. Пояснимсказанное примерами.Пример 4.12.

Пусть требуется получить последовательность случайных чисел(уу), имеющих нормальное распределение с математическим ожиданием а и среднимквадратическим отклонением а:Л(у)=еЛ/2да.Будем формировать случайные числа yj в виде сумм последовательностей слу­чайных чисел {х,-}, имеющих равномерное распределение в интервале (0, 1). Так какисходной (базовой) последовательностью случайных чисел {х,} при суммированииявляется последовательность чисел, имеющих равномерное распределение в интерва­ле (0, 1), то можно воспользоваться центральной предельной теоремой для одина­ково распределенных случайных величин (см.

§ 4.1): если независимые одинаковораспределенные случайные величины х1г..., х„ имеют каждая математическое ожидание а, и среднее квадратическое отклонение аи то сумма £ х, асимптотическиi-iнормальна с математическим ожиданием a=Nat и средним квадратическим от­клонением a = a,JN.пКак показывают расчеты, сумма £ х, имеет распределение, близкое к нормальному, уже при сравнительно небольших N.

Практически для получения последовате­льности нормально распределенных случайных чисел можно пользоваться значени-1390mLA,N]||\T2Bbl4[PN] ||31J~Y3=0\_NO = uями N = 8 + 1 2 , а в простейших случа­ях — меньшими значениями N, напри­мер tf=4-r 5 [4].Пример 4.13. Пусть необходимополучить случайные числа, имеющиезакон распределения Пуассона:Р(т)-.mlДля этого воспользуемся предельнойтеоремой Пуассона (см. § 4.1): еслиР — вероятность наступления событияА при одном испытании, то вероят­ность наступления т событий в Nнезависимых испытаниях при N-*ao,р-*0, Np=X асимптотически равнаР(т).Выберем достаточно большое N,такое, чтобы p=X/N<l, будем прово­дить серии по N независимых испыта­ний, в каждом из которых событиеА происходит с вероятностью р, и бу­Рис.

4.IS. Схема алгоритма генерациидем подсчитывать число случаев yj фа­последовательности случайных чисел,ктическогонаступлениясобытияимеющих пуассоновское распределениеА в серии с номером у. Числа yj будутприближенно следовать закону Пуассона, причем тем точнее, чем больше N. Прак­тически N должно выбираться таким образом, чтобы /»< 0,1 •*- 0,2 [4].Алгоритм генерации последовательности случайных чисел yj, имеющих пуас­соновское распределение, с использованием данного способа показан на рис.

4.15.Здесь LA si; NsN; PN^p; Xl=xi — случайные числа последовательности, равноме­рно распределенной в интервале (0, 1); YJ&yj; NO — вспомогательная переменная;ВИД [...] — процедура ввода исходных данных; ВЫЧ [...] — процедура вычисления;ГЕН [...] — процедура генерация случайных чисел; ВРМ [...] — процедура выдачирезультатов моделирования.Моделирование случайных векторов. При решении задач исследо­вания характеристик процессов функционирования систем методомстатистического моделирования на ЭВМ возникает необходимостьв формировании реализаций случайных векторов, обладающих за­данными вероятностными характеристиками.

Случайный векторможно задать проекциями на оси координат, причем эти проекцииявляются случайными величинами, описываемыми совместным за­коном распределения. В простейшем случае, когда рассматрива­емый случайный вектор расположен на плоскости хбу, он можетбыть задан совместным законом распределения его проекций£ и у на оси Ох и Оу [4].Рассмотрим дискретный случайный процесс, когда двухмернаяслучайная величина (£, г\) является дискретной и ее составляю­щая £ принимает возможные значения хх, х2, ..., х„, а состав­ляющая г\ — значения у^,уг,...,у„, причем каждой паре (х„ у)соответствует вероятность р,}.

Тогда каждому возможному140значению х, случайной величины £, будет соответствоватьлр>= £ PIJТогда в соответствии с этим распределением вероятностей мож­но определить конкретное значение xt случайной величины £ (поправилам, рассмотренным ранее) и из всех значений ру выбратьпоследовательностьД ь Д 2 , -,Piln,(4.24)которая описывает условное распределение величины ц при усло­вии, что £=х,. Затем по тем же правилам определяем конкретноезначение д случайной величины г\ в соответствии с распределениемвероятностей (4.24). Полученная пара (хк, д ) будет первой ре­ализацией моделируемого случайного вектора. Далее аналогичнымобразом определяем возможные значения xh, выбираем последова­тельностьРьи Р>,ъ •••> Pi*(4.25)и находим д в соответствии с распределением (4.25).

Характеристики

Список файлов книги