Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если бы имелась другая несмещенная оценка, танис зависящая только от Т, то должно было бы существовать ненулевое решение В(1) интегрального уравнения ~ 77(г) !на е ыс(1= — О. о Если введем нов) ю переменную интегрирования с =- е 77(г) !са с = 6(а], то из (8] будет следовать, что 1 )а" 'С(с)т(е.=-О зля а=1,2,3,....
о и положим (9) Но н интервале от О ло ! функции 1, з,за,... образуют полную систему функций'. Таким образолн из (9) следует, что 0(е) = О, т. е. это интегральное уравнение имеет лишь нулсиое решение. Следаааа!ельне, сменка (7) аеллется наилучшей. Оценка наибольшего правдоподобия л73 Т ' См., например. К у р а н т Р. и ! н л ь б е р т Д., й!столы математической физики, т. 1, гл. 2, ( 4, 1'остехиздат, 3(., 195!. уак как интеграл от 9(Т, а) в пределах от О до доли<си быть равен единице, то ! ' =Г( р). д яз, Приложения 21б формула (11) показывает, что У является достаточной статистикой для д.
Согласно (11), математическое ожидание У равно д от=яд- ~тпбг = " П. и+ 1 0 (12) Поэтому (! 3) является несмещсвной оценкой для д. тхиспсрсня этой оценки равна Юз и(я + 2) Если бы существовала другая несмещенная и зависящая лишь от Т оценка параметра ъ, то существовало бы ненулевое решение П(1) интегра тьного уравнения п(1) пд-пш — гас= О или ~ П(1) ! — бт = О. (15) 0 Но если (15) справедливо для всех д, то должно выполняться равенство П(!) =- О.
Следовательно, (! 3) явлнется наилучшей оценкой. Оценка наибольшего правдоподобия~ д = У при больших м незначительно отличается от )и. Следующий пример был мне любезно предоставлен Е. Л. Леманном. Этот пример особенно интересен тем, что в нем непосредственно используется метод улучшения несмещенной опенки, изложенный в $42 А. Пример 31. Поставщик поставляет некоторую пролукцию, упакованную в ящики. Г!отребитель нз каждого ящика берет случайную выборку, состоящую из я изделий, и проверяет качество каждого изделия.
Если в выборке окажется трн или больше дефектных иэделий, то соответствующий ящик бракуется н возвращается поставщику, который в этом случае несет определенную потерю. Количества дефектных изделий, обнаруженных в каждом из ящиков, обязательно сообщаются поставщику. Так как все изделия изготавливаются в одинаковых условиях, то предполагается, что любое изделие может оказаться дефектным с постоянной вероятностью р.
Пусть г — число ящиков, полученных потребителем, и пусть и„..., мг— обнаруженные количества дефектнык изделий в выборках объема я иэ т В данном случае функция правдоподобия дается формулой д ",если д-7, дауд) =- Π— в противном случае. для отыскания максимума д(я)д) достаточно ограничиться лишь теми д, которые удовлетворяют неравенству 0 ~ У. Так как при д 2' справедливо неравенство д л ~ У и, то д(я!д) 2' " = д(к)У).
Следовательно, У— оценка наибольшего правдоподобия. — Прим. перев. Гл, УП1. Оценки неизвестных парплетрсв Но поставщик желает знать также и несмещенную оценку для математического ожидания своих потерь. Вель улучшение качества продукции (напримср, посредством более строгой предварительной инспекции) сопряжено с затратой средств, и на эту затрату поставщик пойдет лишь тогда, когда убедится в се выгодности. Вероятность того, что данный япгик пс будет забракован потребителем.
равна б — д» р ггр и» вЂ” г + ~ ~рз»» т '12 ) й(атсматическое ожидание потерь поставщика пропорционально ! — Ю Следовательно, для отыскания несмещенной оценки потерь достаточш найти несмещенную оценку для д. Г!редположилг, что к„..., лг являются независимыми случайными величинами, подчиняющимися бнномнальному распределению. функпия правдоподобия в данном случае задается формулой гт(л) = ... ~ рз~ оп-л,...Рз, йп — и,. Если положяи кт+...
+ зг = У, то Р(к) будет иметь вид Из этой формулы следует, что У является лостаточной статистикой для р, а значит, и для д. Таким образом, если несмещенная, наилучшан оценка для д существует, то можно счнтатгч что она зависит лишь от У. Как найти такую функциюу Рассмотрим случайную величину 1, если первый ящик принят, С' = О, если первый ящик забракован. Так иак ( (Г =. д, то (à — несмещенная оценка для д, хотя и очень плохая. Вычислим теперь условное математическое ожидание й' при условии, что У = т. Первый ящик может быть принят лишь в следующих трех взаимно исключакшгнх друг друга случаях: когда в выборке нет дефснтных изделий, когда в выборке одно дефектное изделие н, наконец, когда в выборке лна лефсктных изделия. Следовательно, условное математическое ожидание ЕГ будет раино сумме условных вероятностей указанных нышс трех собы- тий, в предположении, что Х =-.
Г. Таким образом, Р((* = б) Г( (*т + + кг = гН + Р(лт + . + лг = 1) + + Р((зг ' 1)П(лт+." + лг т 1)) й Ег) г) )з(их+ . + *. = 1) + Р((кт =- 2) Г( (*з + + зг = т — 2)) Р(м +...+и,= Г) ящиков с номерами 1,..., т соответственно. Само собой разумеется, что несмещенной, наилучшей оценкой для р в данном случае будет лг + ° ° ° ~г й= — — —— тп хч 43. Приложения 217 Все вероятности в числителях и в знаменателе содержат олииаковый множитель р' ягч ', сокращая которыи, получим Слетоватсльио, улу'писаная шгсика для д имеет вид Для того чтобы показать, что Р является наилучшей несмещенной опсикои, нам иужпо еще убелиться в елииствсниостя несмещенной оценки лля д, зависящей лишь от 7.
Иначе говоря, мы лолжиы проверить, булет лн уравнение "г Спш У~ )рсд ->Р(с).= й ~с) !=и иметь единственное решение уг(с) = 1'(с). Если Р и Уд — лва решения этого уравнения, то их разность )0(с) должна удовлетворять олиородиому уравнению )р'9 — >1)(с) = О 1(о мпогочлен от Р иа отрезке 0 .р = 1 обращается тожлсственио в нуль тогда и только тогла, котла все его козффициеиты равны нули. Слеловательио, П = 0 — слииствеиное реи>ение однородного уравнения'. ' В лаипом прил>срс рассчатрипалась захача опспки потерь поставщика.
Потребители> более важно звать Лругую величииу, а именно, количество лсфектиых изделий, оставшихся в принятом ящике после > оптроля. Так как вероятность того, что выбранное наугад излелие окажется лефсктиыы, равна р, то припятые лефектпые изделия снова подчиняются бииомиалы>ому распределению. Слсаоаатсльио, если контроль пзлслий сопряжеп с ик уничтожеи нем, то изложсииаи процелура приемочного контроля ие ведет к улучшепию ка юства прип ягой продукции. Такая проислура иеле- сооГ>равна лишь в том ел>час, ес.>и лля различных ящиков вероятности р различны и потребитель хо >ет гарантировать себя от приема ящиков г р)ры глс рч — иеьоторый заранее установленный прелел лля поли брака.
О статистическом кои тропе качества продукции см. Д у и и и - Г> а ри о н с к и й И, В. и С м и р и о в Н. В., Теория веаоятиостей и математическая статистика а технике (обишя час>ь), ГИТТЛ, М.. 1955, гл. ЧШ, 4 — 5; К о.> ч о г о р о в Л Н.. Несчещснные оценки, Изв. ЛН СССР, серия матсмашш., 14 (1950). 303: К о,> м о г о р о в Л. Н., Статистический приемочный' контроль при,топустимоч числе дефектных излил ай, раппом нулю, Изл.
Ленингр. Общества иау шо-техн. пропагаилы (1951); С и р а жл и и о в С. Х., Одинарный статисшшсский приечочпый контроль, Трупы ип-та Математики и механики, ЛП Узп. ССР, 15 (1955). 41. — Прил. перса. 2!8 Ге. е111. Оценки неиввестних параметров 2 44. Оценка дисперсии нормального распределения Рао, а также Леманн и Шеффе свою теорию наилучших оценок распространили на случай нескольких неизвестных параметров. Мы здесь не будем касаться этой общей теории, а ограничимся лишь одним примером, который особенно важен для приложений.
Пусть х„..., х„— независимые и одинаково нормально распределенные случайные величины с неизвестным средним значением 1е и неизвестной дисперсией д. Следовательно, совместная плотность вероятности имеет вид и — —,1 (е — еи д(т„..., х„! р., д) = сд е п 1 2 ае~ =од е (1) Из формулы (1) непосредственно следует, что 'Ух и ~ хе — достаточные статистики для 1е и д. Как мы уже знаем, наилучшей оценкой для 1е является х = --~х. (2) Постараемся найти наилучшую оценку для й.
При всех (е и й эта оценка должна быть несмещенной. Сначала ортогональным преобразованием введем новые координаты уь..., у„, где ее,=х)п=-,т(х,+... +х). (з) ))еп В силу ортогональности преобразования, ~хе =~уе поэтому ~хе — 2р,~ х + п рее = ~ре — 2реу, )ггп + п,ке = = (У, — ее )еп)е -е- Ре е-1 ... + Уее Таким образом, совместная плотность вероятности для у„..., д„ имеет вид и 1 — — — [(де — Фуп) +у! е" +в„) Дуо...,у„(р.,й) = сд е " " . (4) В пространстве переменных уе,..., у, введем полярные координаты т, ан,..., а„е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
